湖南省永州市零陵區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題

湖南省永州市零陵區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個正確答案，請將正確選項填涂到答題卡上相應的位置．每小題3分，共30分）1．sin30°的值為（）A．12 B．32 C．222．若點P(1,3)在反比例函數(shù)y=kA．13 B．3 C．?3 D．3．用配方法解一元二次方程x2A．(x+6)2=28 B．(x?6)2=28 C．4．已知拋物線y=(x?3)A．拋物線開口向上 B．對稱軸是直線x=?3C．頂點坐標為(3,?2) D．當x>3時，y隨x的增大而減小5．為慶祝2023年5月30日神舟十六號成功發(fā)射，學校開展航天知識競賽活動，經(jīng)過幾輪篩選，某班決定從甲、乙、丙、丁四名同學中選擇一名同學代表班級參加比賽，經(jīng)統(tǒng)計，四名同學成績的平均數(shù)（單位：分）及方差（單位：分2）如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要選一名成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，應選擇（）甲乙丙丁平均數(shù)95989698方差2.30.61.21.9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．下列式子錯誤的是（）A．sin260°+cosC．cos60°=2cos30°7．如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABCA．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,48．如圖，下列條件不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠1=∠2，∠B=∠D B．∠1=∠2，ABC．ABAD=ACAE=9．如圖，反比例函數(shù)y=?2xx>0的圖像上有一點P，PA⊥x軸于點A，點B在yA．1 B．2 C．4 D．810．我們知道函數(shù)y=1x+a的圖象可以由反比例函數(shù)y=1①y=1x+3的圖象可以由②y=1x+a的圖象關于點③y=1x+a的圖象關于直線④若a=4，根據(jù)圖象可知，1x+4>1其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．若a:a+1=1:2，則a的值為12．為了解家庭丟棄塑料袋對環(huán)境造成的影響，某班研究性學習小組的六位同學記錄了自己家中一周內(nèi)丟棄塑料袋的數(shù)量，結果如下（單位：個）：30，27，23，15，22，33．若該班有50名學生，請你估算本周全班同學的家里共丟棄塑料袋個．13．如圖，已知斜坡AB的坡度為1:3，若鉛直高度BC為150m，則坡長AB為m14．若兩個相似多邊形的周長分別為6cm和9cm，若較小多邊形的面積為8cm2，則較大多邊形的面積為15．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，則樹高PQ=m．16．構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要體現(xiàn)．在計算tan15°時，如圖，∠C=90°，∠ABC=30°，BD=AB，設AC=k，則BC=3k，AB=BD=2k，CD=2+3k，所以三、解答題（本大題共9個小題，共72分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）17．（1）解方程：x2（2）計算：3cos18．初三年級數(shù)學教師對試卷講評課中學生參與的深度與廣度進行評價調查，其評價項目為主動質疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項，四項中每人只選一項.評價組隨機抽取了若干名初中學生的參與情況，繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖（均不完整），請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）在這次評價中，一共抽查了______名學生；（2）請將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）如果全市有80000名初三學生，那么在試卷講評課中，“主動質疑”的初三學生約有多少人？19．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(0,?1)（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點坐標．20．如圖是小明家新房客廳地面，地上鋪了大小相同的矩形地板磚，小明的媽媽想在靠墻ABDC處擺一組沙發(fā)，沙發(fā)的長是客廳長AB的三分之一，為了美觀，沙發(fā)必須擺在矩形ABDC的中央，于是小明媽媽要把沙發(fā)擺放到CD的三等分點處．當時媽媽沒有直尺，不能度量，聰明的小明靈機一動，他用一根繩索連接AH，交CD于點P，則P即是CD的三等分點．（1）請仿照小明的方法，找出線段CD的另一個三等分點；（2）請你證明：P是CD的三等分點．21．已知關于x的一元二次方程x2（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若x1，x2是方程的兩個根，且22．某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．（1）如圖2，在P點觀察所測物體最高點C，當量角器零刻度線上A，B兩點均在視線PC上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為α，設仰角為β，請直接用含α的代數(shù)式示β；（2）為弘揚革命傳統(tǒng)精神，某校組織學生前往永州市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀念碑的雄偉壯觀所震撼，想知道紀念碑的高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進行測量．如圖3，他們在地面的B點用測角儀測得碑頂A的仰角為35°，在C點處測得碑頂A的仰角為45°，已知BC=15m，（B，C，D在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀念碑的高AD．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，23．湖南農(nóng)業(yè)大區(qū)零陵區(qū)土地資源豐富，近年來，該區(qū)利用農(nóng)業(yè)特色資源優(yōu)勢，大力發(fā)展特色種植，帶動農(nóng)民門口致富，尤其是各種水果的種植馳名省內(nèi)外．下面是一家果農(nóng)所遇到的問題，請你閱讀下面材料幫忙解決果農(nóng)所遇到的問題.信息及素材素材一在專業(yè)種植技術人員的正確指導下，果農(nóng)對紐荷爾臍橙的種植技術進行了研究與改進，使產(chǎn)量得到了增長，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年紐荷爾臍橙平均每株產(chǎn)量是50千克，2022年達到了72千克，每年的增長率是相同的．素材二一般采用的是長方體包裝盒．（1）任務1：求紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率；（2）任務2：為了放下適當數(shù)量的紐荷爾臍橙，現(xiàn)有邊長為80cm的正方形紙板，將四角各裁掉一個正方形，折成無蓋長方體紙盒．折成的長方體盒子側面積（四個側面的面積之和）有沒有最大值？如果沒有，說明理由；如果有，求出此時剪掉的正方形邊長．24．定義：若x，y滿足x2=4y+t，y2=4x+t且（1）請直接判斷點(1,?5)是否為“和諧點”；（2）P(2,m)是“和諧點”，求m值；（3）若雙曲線y=k25．【問題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關系．（1）如圖1，當m=1時，直接寫出AD，BE的位置關系：__________；（2）如圖2，當m≠1時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】（3）當m=3，AB=27，DE=2時，將△CDE繞點C旋轉，使A，D，E三點恰好在同一直線上，求

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：sin30°=12故選A．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可以求得sin30°的值．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵點P(1,3)在反比例函數(shù)y=k∴1=k3，解得：故答案為：B.

【分析】將點P（1，3）代入y=kx(k≠0)3．【答案】D【解析】【解答】∵x2?6x+8=0，

∴x2-6x+9=1，

∴(x?3)24．【答案】A【解析】【解答】解：A、∵a=1>0，∴拋物線開口向上，結論正確，∴A符合題意；B、∵對稱軸是直線x=3，結論錯誤，∴B不符合題意；C、∵頂點坐標為(3,2)，結論錯誤，∴C不符合題意；D、∵當x>3時，y隨x的增大而增大，∴D不符合題意；故答案為：A．

【分析】利用拋物線的頂點式可直接得到拋物線的頂點坐標及對稱軸，再利用二次函數(shù)的性質和圖形與系數(shù)的關系逐項分析判斷即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵要選一名成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，∴可以從方差角度思考，即方差越大越不穩(wěn)定，方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定，∵2.3>1.9>1.2>0.6，∴選擇乙同學參賽，∵從平均數(shù)考慮，平均數(shù)越大，成績越好，∴乙同學和丁同學成績都最好，∵乙同學方差穩(wěn)定，∴成績又好又穩(wěn)定的同學為乙，故答案為：B．

【分析】利用平均數(shù)的定義及計算方法（一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商）和方差的性質（方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。┘坝嬎惴椒ǚ治銮蠼饧纯?6．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵sin260°+cosB、∵tan30°?tan60°=C、∵cos60°=12,2cos30°=2×D、∵tan45°=1,sin45°故答案為：C．

【分析】先利用特殊角的三角形函數(shù)值化簡，再計算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC的位似比為2的位似圖形是△A'B∴C'2×3,2×2故選：C．【分析】利用位似圖形的性質解題．8．【答案】D【解析】【解答】解：A、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，可證明△ABC∽△ADE，∴A不符合題意；B、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由ABAC=ADAE，可證明C、由ABAD=ACAE=D、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由ABAD=BCDE，不可證明故答案為：D．

【分析】利用相似三角形的判定方法（①三邊對應成比例的兩個三角形相似，②有兩組角對應相等的兩個三角形相似，③兩組邊對應成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似）逐項分析判斷即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：設P(x,y)，∵點P在反比例函數(shù)y=?2∴xy=?2．∵PA⊥x軸，∴S△PAB故答案為：A．

【分析】設P(x,y)，利用反比例函數(shù)k的幾何意義可得xy=?2，再利用三角形的面積公式求出S△PAB10．【答案】B【解析】【解答】解：①y=1x+3的圖象可以由②∵y=1x的圖象關于0,0對稱，當x+a=0時，x=?a，∴y=1③∵y=1x的圖象關于直線y=?x對稱，y=1④如圖，根據(jù)圖象可知，1x+4>1正確的有②③；故答案為：B．【分析】利用函數(shù)圖象（解析式）平移的特征：左加右減，上加下減分析求解，再利用函數(shù)圖象的作圖步驟（①列表、②描點、③用平滑的直線（或曲線）連線）作圖函數(shù)圖象，最后結合函數(shù)圖象逐項分析判斷即可.11．【答案】1【解析】【解答】解：∵a:(a+1)=1:2，∴a+1=2a，解得：a=1．故答案為：1．

【分析】利用“a:a+1=1:2”可得12．【答案】1250【解析】【解答】解：六位同學家中平均一周丟棄塑料袋：30+27+23+15+22+336則50×25=1250（個）．∴全班同學家一周共丟棄塑料袋1250個．故答案為：1250.

【分析】先利用平均數(shù)的定義及計算方法（一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商）求出一周丟棄的塑料袋，再乘以50即可.13．【答案】300【解析】【解答】解：∵斜坡AB的坡度為1:3∴BCAC∵BC為150m，∴AC=1503∴在Rt△ABC中，AB=A故答案為：300．

【分析】利用“斜坡AB的坡度為1:3”可得BC14．【答案】18【解析】【解答】解：∵若兩個相似多邊形的周長分別為6cm和9cm，∴兩個相似多邊形的周長比是6:9=2:3，∴兩個相似多邊形的相似比是2:3，∴兩個相似多邊形的面積比是4:9，∵較小多邊形的面積為8cm∴較大多邊形的面積為18cm故答案為：18．

【分析】利用相似多邊形的性質（相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方）分析求解即可.15．【答案】6【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均為直角∴BD∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴BD∵AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，∴PQ=AQ×BD故答案為：6．【分析】根據(jù)平行得到△ABD∽△AQP，然后利用相似三角形的對應邊成比例解題即可．16．【答案】2【解析】【解答】解：延長CB使BD=AB，連接AD，如圖所示：

在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=45°，得∠D=22.5°，設AC=BC=1，則AB=BD=2∴tan22.5°=AC故答案為：2?1．

【分析】延長CB使BD=AB，連接AD，設AC=BC=1，則AB=BD=2，再利用正切的定義可得17．【答案】解：（1）x+3x?3即：x1=3，（2）原式=3==1【解析】【分析】（1）利用直接開方法的計算方法及步驟分析求解即可.

（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，再計算即可.18．【答案】（1）300（2）解：講解題目的人數(shù)：300?45+90+120將頻數(shù)分布直方圖補充完整如圖所示．（3）解：45300×100%×80000=12000（人）【解析】【解答】（1）解：在這次評價中，一共抽查了120÷40%故答案為：300?！痉治觥浚?）利用“專注聽講”的人數(shù)除以對應的百分比可得總人數(shù)；

（2）先利用總人數(shù)求出“講解題目”的人數(shù)，再作出條形統(tǒng)計圖即可；

（3）先求出“主動質疑”的百分比，再乘以80000可得答案.19．【答案】（1）解：∵y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A0,?1，B1,2，

∴c=?11+b+c=2，

（2）解：y=x2+2x?1=x+12【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）先利用配方法的計算方法及步驟將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接求出其頂點坐標即可.20．【答案】（1）解：如圖，∴Q為線段CD的另一個三等分點；（2）證明：根據(jù)題意得DH=2AC，∵四邊形ABHG是矩形，∴AG∥BH，∴△ACP∽△HDP，∴PC∴PC∴PC∴P是CD的三等分點．【解析】【分析】（1）結合網(wǎng)格的特點及相似三角形的性質作出圖形即可；

（2）先證出△ACP∽△HDP，再利用相似三角形的性質可得PCPD=ACHD，再求出21．【答案】（1）解：∵二元一次方程x2?3x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴Δ=9?4m?1=13?4m>0（2）解：∵x1，x2是方程的兩個根，且x1+x2?2x1【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式（①當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△<0時，方程沒有實數(shù)根；）分析可得Δ=9?4m?1=13?4m>0，再求解即可.

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系（x1+x2=-b/a；x1x222．【答案】（1）解：如圖所示：

由題意知OD⊥PD

在Rt△POD中，∠D=90°，則∠P+∠POD=90°，

即α+β=90°

∴β=90°?α；

（2）解：根據(jù)題意可得：AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，

由等腰直角三角形性質得到CD=AD，

在Rt△ABD中，∠ABD=35°，

由tan∠ABD=tan35°=ADBD=ADCD+15=ADAD+15，

即0.7=ADAD+15，

解得：AD=35m，

檢驗：把AD=35m代入AD+15【解析】【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和及∠D=90°可得∠P+∠POD=90°，即α+β=90°，從而可得β=90°?α；

（2）先利用三角形的內(nèi)角和及角的運算求出∠ABD=35°，再利用正切的定義可得tan∠ABD=tan35°=23．【答案】（1）解：設紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率為x，

根據(jù)題意得：50解得：x1=0.2，∴紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率為20答：紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率為20%（2）解：設裁掉正方形的邊長為m，

根據(jù)題意得：480?2mm=?8m2+320m=?8m?202+3200，

∴當m=20時，?8【解析】【分析】（1）設紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)“2022年達到了72千克”列出方程501+x2=72，再求解即可；

（2）設裁掉正方形的邊長為m24．【答案】（1）解：∵x2=4y+t，y2=4x+t，

∴x2?4y=t，y2?4x=t，

∴x2?4y=（2）解：∵P2,m是“和諧點”，

∴22=4m+t，m2=4×2+t，

∴22?4m=t，m2?8=t，

∴22?4m=m2（3）解：設點a,b為雙曲線y=kx（?3<x<?1）上的“和諧點”，

∴a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka（?3<a<?1），

∴a2?4b=b2?4a，即a2?b2+4a?4b=0，

∴a?ba+b+4=0，

∵a≠b，

∴a+b+4=0，即b=?a?4，

∵b=ka（?3<a<?1），

∴k=ab=a?a?4=?a2?4a=?a+22+4，且?3<a<?1【解析】【分析】（1）利用“和諧點”的定義分析求解即可；

（2）利用“和諧點”的定義可得22?4m=m2?8，即m2+4m?12=0，再求出m的值即可；

（3）設點a,b為雙曲線y=25．【答案】解：（1）BE⊥AD．

（2）成立；理由如下：

∵∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，

∴∠DCA=∠ECB，

∵DCCE=ACBC=1m，

∴△DCA∽△ECB，

∴∠DAC=∠CBE，

∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，

=∠CBE+∠CAB+∠ABG

=∠CAB+∠CBA

=180°?∠ACB

=90°，

∴∠AGB=180°?90°=90°，