2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.1 等腰三角形(1)(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.1等腰三角形(1)(含答案)-12.3.1等腰三角形(1)第1課時(shí)◆課前預(yù)習(xí)1．等腰三角形是有________相等的三角形．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等腰三角形的_______相等，簡稱“等邊對等角”．（2）性質(zhì)2：等腰三角形的________，_______，________相互重合，簡稱“等腰三角形三線合一”．◆互動(dòng)課堂（一）基礎(chǔ)熱點(diǎn)【例1】已知一個(gè)等腰三角形的兩角分別為（2x-2）°，（3x-5）°，求這個(gè)等腰三角形各角的度數(shù)．解：（1）當(dāng)（2x-2）°作為頂角時(shí)，三角形三個(gè)角的度數(shù)分別為46°，67°，67°．（2）當(dāng)（3x-5）°為頂角時(shí)，三角形三個(gè)角的度數(shù)分別為：52°，52°，76°．（3）當(dāng)以上兩個(gè)角均為底角時(shí)，即（2x-2）=（3x-5），解得x=3，因此，三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為4°，4°，172°．點(diǎn)撥：利用等腰三角形的性質(zhì)解題時(shí)易犯考慮不周全的錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，分析已知條件，分清是頂角還是底角．（二）易錯(cuò)疑難【例2】如圖，已知AB=AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC=2∠DBC．分析：利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)．解：作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1=∠2=∠BAC．又∵AB=AC（已知）∴AE⊥BC∴∠2+∠ACB=90°∵BD⊥AC（已知）∴∠DBC+∠ACB=90°∴∠2=∠DBC∴∠BAC=2∠DBC（三）中考鏈接【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E，連接BE．（1）如果∠ABE=40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC的周長為82cm，一邊為30cm，求△BCE的周長．解：（1）由已知得∠ABE=∠A=40°，∴∠C=（180°-40°）=70°．（2）在△BCE中，BE+EC=AC，由三角形兩邊之和大于第三邊得AC>BC，∴AC為30cm，BC為22cm，∴△BCE的周長為52cm．名師點(diǎn)津在等腰三角形中，常常需要作底邊上的高，運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，對于解決所有的問題能起到事半功倍的效果．◆跟進(jìn)課堂1．已知等腰三角形的一個(gè)角為50°，則其余兩個(gè)角的度數(shù)為______．2．已知等腰三角形的一個(gè)外角為120°，則它的另外兩個(gè)角的度數(shù)為_______．3．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的7倍，則它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為_________．4．已知等腰三角形的兩邊長為7和3，則它的周長為________．5．如圖1，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD是∠ABC的平分線，則圖中共有______個(gè)等腰三角形．6．在△ABC中，AB=AC，如果∠A=100°，那么∠B為（）．A．100°B．80°C．40°D．120°7．如圖2所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF=，那么∠FEM等于（）．A．90°B．75°C．70°D．60°(1)(2)(3)8．一等腰三角形的周長為20，兩條邊的比為1：2，那么其底邊長為（）．A．10B．4C．4或10D．5或89．一等腰三角形的底邊長為5，周長被一腰上的中線分成的兩部分的差為3，則腰長為（）．A．2B．8C．2或8D．710．（2007，荊門）如圖3，D是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，如果將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數(shù)是（）．A．25°B．30°C．35°D．45°◆漫步課外11．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．12．在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一點(diǎn)，若BD=AB，CD=AD，求△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．13．（2008，內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點(diǎn)F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．◆挑戰(zhàn)極限14．如圖①，在等腰△ABC中，底邊BC上有任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足為E、E，再過C作CF⊥AB于點(diǎn)F；（1）求證：PD+PE=CF；（2）若點(diǎn)P在BC的延長線上，如圖②，則PE、PD、CF之間存在什么樣的等量關(guān)系，請寫出你的猜想，并證明．答案:1．50°，80°或65°2．60°，60°3．12°，84°，84°或140°，20°，20°4．175．36．C7．B8．B9．B10．D11．∠B=77°，∠C=38.5°12．∠BAC=108°，∠ABC=∠ACB=36°13．△AFC是等腰三角形，證明略．14．（1）提示：連接AP；（2）PD-PE=CF，連接AP，證明略．12.3.1等腰三角形（1）◆課堂測控測試點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，則∠B=______．2．等腰三角形的一個(gè)底角等于40°，則頂角為____．3．如圖，AB=AC=5cm，BC=3cm，∠A=40°，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線L對稱，AC與L相交于點(diǎn)D，則∠C=______，△BDC的周長等于______．4．下列命題中，正確的是（）A．兩個(gè)全等的三角形合在一起是一個(gè)軸對稱圖形B．等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線C．等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線D．一條線段可看作以它的垂直平分線為軸的軸對稱圖形5．下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請回答下面的問題：學(xué)習(xí)等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，請你求出其余兩角．”同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手說：“其余兩角是30°和120°”；王華同學(xué)說：“其余兩角是75°和75°”．還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……（1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）◆課后測控6．等腰三角形一底角的外角為105°，那么它的頂角為______度．7．如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)是____．圖1圖2圖38．△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分線交于P點(diǎn)，且∠BPC=100°，則∠A=_____．9．如圖2，兩平面鏡α、β的夾角為θ，入射光線AO平行于β入射到α上，經(jīng)兩次反射后的出射光線O′B平行于α，則角θ=______度．10．如圖3，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠DEF等于（）A．90°B．75°C．70°D．60°11．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°12．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD，找出圖中相等的角并說明理由．13．如圖，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于H，且AE=BE，求證：AH=2BD．◆拓展測控14．（探究題）如圖，A，D，B三點(diǎn)在同一直線上，△ADC，△BDO為等腰直角三角形，連結(jié)AO，BC．（1）AO，BC的大小位置關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論，如圖①．（2）當(dāng)△ODB繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)任一角度得到圖②，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．參考答案1．55°（點(diǎn)撥：∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠A）2．100°（點(diǎn)撥：頂角=180°-2底角）3．70°8cm（點(diǎn)撥：∠C=（180°-∠A），由L垂直平分AB得DA=DB，△BCD的周長=AC+BC）4．D（點(diǎn)撥：B選項(xiàng)中對稱軸應(yīng)該是中線所在的直線）5．（1）上述兩同學(xué)的回答均不全面，應(yīng)該是：其余兩角的大小是75°和75°或30°和120°，理由如下：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，設(shè)底角是α，則30°+α+α=180°，α=75°，所以其余兩角是75°和75°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，設(shè)頂角是β，所以30°+30°+β=180°，β=120°，所以其余兩角分別是30°和120°．（2）如考慮問題必須全面．[總結(jié)反思]等腰三角形兩個(gè)底角相等，利用該性質(zhì)可求等腰三角形的底角或頂角．6．30（點(diǎn)撥：底角為180°-105=75°）7．36°（點(diǎn)撥：設(shè)∠A為x，則∠BDC=2x，∠C=2x，在△ABC中，有x+2x+2x=180°，x=36°）8．20°（點(diǎn)撥：由∠BPC=100°知兩底角和為160°）9．60（點(diǎn)撥：根據(jù)入射角等于反射角及平行線的性質(zhì)求解）10．D（點(diǎn)撥：∠A=15°，則∠CBD=∠CDA=2∠A=30°，∠DCE=∠DEC=45°，∠EDF=∠DFE=60°，故∠DEF=60°）11．C（點(diǎn)撥：分頂角為銳角或鈍角兩種情況討論）．12．∵AB=AC，AD=BD，∴∠C=∠B，∠B=∠1，∴∠C=∠1．∵∠3=∠2+∠C=∠2+∠1∴∠3=∠BAC．[解題規(guī)律]將等邊對等角和外角性質(zhì)聯(lián)用解題．13．∵∠DAE+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠DAE=∠EBC．在△AHE和△BCE中，∴△AHE≌△BCE（ASA），∴AH=BC．又∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∴BC=2BD，∴AH=2BD．[解題規(guī)律]具有等腰三角形的底邊中線或高或頂角平分線的條件時(shí)要充分利用“三線合一”的性質(zhì)．14．解：（1）AO=BC，AO⊥BC．證明如下：∵△ADC和△BDO為等腰直角三角形，∴AD=DC，OD=BD，∴△ADO≌△CDB，∴OA=BC，∠OAD=∠BCD．延長AO交BC于E，則∠COE=∠AOD．∴∠COE+∠BCD=∠AOD+∠OAD=90°，∴∠CEO=90°，即AO⊥BC．（2）（1）中結(jié)論依然成立，證明方法圖（1）[方法技巧]圖形在旋轉(zhuǎn)過程中位置發(fā)生了變化，但其相等關(guān)系沒有發(fā)生變化．12.3.1等腰三角形(1)班級姓名座號月日主要內(nèi)容:理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)1一、課堂練習(xí):1.(課本51頁)如圖,在下列等腰三角形中,分別求出它們的底角的度數(shù).底角的度數(shù)為.底角的度數(shù)為.2.(課本51頁)如圖,在中,,,求和的度數(shù).3.(課本58頁)求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.已知:求證:證明:二、課后作業(yè):1.(課本56頁)⑴等腰三角形的一個(gè)角是,它的另外兩個(gè)角的度數(shù)為.⑵等腰三角形的一個(gè)角是,它的另外兩個(gè)角的度數(shù)為.2.如圖,中,,在上,且,,則.

3.具有下列條件的兩個(gè)等腰三角形,不能判斷它們?nèi)鹊氖?)A.頂角、一腰對應(yīng)相等B.底邊、一腰對應(yīng)相等C.兩腰對應(yīng)相等D.一底角、底邊對應(yīng)相等4.(課本56頁)如圖,五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形,為了畫出五角星,還需要知道的度數(shù),算一算等于多少度.5.(課本57頁)如圖,,,的垂直平分線交于點(diǎn),求的度數(shù).6.(課本58頁)求證:等腰三角形兩腰上的高相等.三、新課預(yù)習(xí):如圖,在等腰中,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)2,填空:(1)∵,∴,；(2)∵,是中線∴,；(3)∵,是的平分線∴,.

參考答案一、課堂練習(xí):1.(課本51頁)如圖,在下列等腰三角形中,分別求出它們的底角的度數(shù).底角的度數(shù)為.底角的度數(shù)為.2.(課本51頁)如圖,在中,,,求和的度數(shù).解:∵∴∵∴∵∴∴和的度數(shù)分別為,3.(課本58頁)求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.已知:如圖,在中,,、是的角平分線.求證:.證明:∵∴∵、是的角平分線∴,∴在和中∴≌∴二、課后作業(yè):1.(課本56頁)⑴等腰三角形的一個(gè)角是,它的另外兩個(gè)角的度數(shù)為.⑵等腰三角形的一個(gè)角是,它的另外兩個(gè)角的度數(shù)為.2.如圖,中,,在上,且,,則.

3.具有下列條件的兩個(gè)等腰三角形,不能判斷它們?nèi)鹊氖?C)A.頂角、一腰對應(yīng)相等B.底邊、一腰對應(yīng)相等C.兩腰對應(yīng)相等D.一底角、底邊對應(yīng)相等4.(課本56頁)如圖,五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形,為了畫出五角星,還需要知道的度數(shù),算一算等于多少度. 解:連接,依題意,得點(diǎn)在同一直線上∵∴∴即5.(課本57頁)如圖,,,的垂直平分線交于點(diǎn),求的度數(shù).解:∵∴∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上∴∴∴即6.(課本58頁)求證:等腰三角形兩腰上的高相等.已知:如圖,在中,,、分別是的高.求證:.證明:∵∴又∵、分別是的高∴在和中∴≌()∴三、新課預(yù)習(xí):如圖,在等腰中,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)2,填空:(1)∵,∴,；(2)∵,是中線∴,；(3)∵,是的平分線∴,.12.3.1等腰三角形(2)第2課時(shí)◆課前預(yù)習(xí)等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角_______，那么這兩個(gè)角所對的邊也_______．簡稱“等角對等邊”．◆互動(dòng)課堂（一）基礎(chǔ)熱點(diǎn)【例1】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F，且BD=CD．求證：△ABC是等腰三角形．分析：欲證△ABC是等腰三角形，可先證明DE=DF，再證明△BDE≌△CDF即可．證明：略．（二）易難疑難【例2】已知，如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．（1）求證：BD+EC=DE；（2）若AB=15，AC=12，求△ADE的周長．證明：（1）∵DE∥BC（已知）∴∠DFB=∠CBF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵BF平分∠ABC（已知）∴∠ABF=∠CBF（角平分線定義）∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF（等角對等邊）．同理：EF=CE∴BD+EC=DF+EF即BD+EC=ED（2）由題意可知△ADE的周長為：AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=15+12=27（三）中考鏈接【例3】如圖，BC是等腰△ABC與等腰△DBC的公共底邊．（1）求證：AD⊥BC；（2）M是AB上的一點(diǎn)，在BC上是否存在一點(diǎn)P，使得：PM+PD最小？若存在，請通過作圖確定點(diǎn)P的位置，若不存在請說明理由．分析：等腰三角形的性質(zhì)與對稱變換是解決問題的關(guān)鍵．（1）證明：∵BC是公共的底邊∴AB=AC，DB=DC又∵AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分線，故AD⊥BC．（2）存在，作圖略．名師點(diǎn)津?qū)τ谂袛嗳切问欠袷堑妊切芜@一類問題，常常是抓一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，轉(zhuǎn)化到對應(yīng)的邊相等，可以借助計(jì)算，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，以及同角或等角的余角相等等方法去輔助證明．◆跟進(jìn)課堂1．已知三角形兩角為50°和80°，則這個(gè)三角形是_______．2．如圖1所示，已知AB=CD=CA=CB=BE，則此圖中共有_______個(gè)等腰三角形．3．已知等腰三角形的一腰長是底邊長的，若其中一邊長為12cm，則它的周長為_______．4．一個(gè)三角形不同頂點(diǎn)的三個(gè)外角的度數(shù)比是3：3：2，則這個(gè)三角形是______三角形．5．（2007，重慶）已知，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．(1)(2)(3)6．下列命題為真命題的是（）．A．等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行;B．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合C．頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等D．等腰三角形是銳角三角形7．下列命題正確的是（）．A．一組腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等B．等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和都大于一腰上的高C．有一組角相等和底邊相等的兩個(gè)等腰三角形全等D．等腰三角形是以底邊上