1.3 空間向量及其運算的坐標表示 (教學(xué)課件)高二數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 (人教A版2019)精美版

人教A版2019選擇性必修二第一章

空間向量1.3空間向量及其坐標運算素養(yǎng)/學(xué)習(xí)目標1.了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示。2.理解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性.借助空間直角坐標系理解空間中點的坐標和向量的坐標的概念及坐標表示.3.會用坐標表示空間向量的線性運算及數(shù)量積運算.會利用空間向量運算的坐標表示解決一些簡單的立體幾何問題.引入新知我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點排除了數(shù)量關(guān)系……對于集合,對于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法……”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標及其運算.引入新知情境二情境Ⅰ:如圖,數(shù)軸上有A,B兩點.情境Ⅱ:在平面直角坐標系中,點P,Q的位置如圖所示.【思考】(1)情境Ⅰ中如何表示A,B兩點的位置?(2)情境Ⅱ中如何表示P,Q兩點的位置?(3)對于情境Ⅲ,空間中如何表示板凳和氣球的位置?情境Ⅲ:一個房間的示意圖如圖所示,我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?問題1我們是如何建立平面向量的坐標表示的?你能類比平面直角坐標系與平面向量單位正交基的關(guān)系，你能利用空間向量單位正交基底概念構(gòu)建空間直角坐標系嗎?xyOij新知探究新知探究新知探究在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

新知探究問題2在平面直角坐標系中,每一個點和向量都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標）表示.對空間直角坐標系中的每一個點和向量,是否也有類似的表示呢?xyOijAa新知探究追問1：在空間直角坐標系中如何定義的坐標呢？xyOijaA平面直角坐標系內(nèi)空間直角坐標系內(nèi)取與

軸、

軸方向相同的兩個單位向量

，

為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數(shù)

，

，使得.我們把有序數(shù)對

，

叫做

的坐標，記作

，.取與軸、軸、軸方向相同的單位向量，，為基底，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得新知探究定義：在單位正交基底，

，下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，，，叫做點在空間直角坐標系中的坐標，記作,,，

其中叫做點的橫坐標，叫做點

的縱坐標，叫做點

的豎坐標.新知探究追問2：對于給定的向量

又該如何定義它的坐標呢？我們在空間直角坐標系中可以作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使

有序?qū)崝?shù)組，

，叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記為，，新知探究問題3在空間直角坐標系中，對空間任意一點，或任意一個向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標，，嗎？過點分別作垂直于軸、

軸和軸的平面依次交軸、

軸和

軸于點

，

和.即點或者向量的坐標就是

，，.可以證明在軸、軸、軸上的投影向量分別為，

，.

新知探究問題4有了空間向量的坐標表示,你能類比平面向量的坐標運算,得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎?請同學(xué)們類比平面向量運算的坐標表示研究空間向量運算的坐標表示，獨立完成下列表格，并進行小組交流設(shè)

設(shè)設(shè)

設(shè)加法運算減法運算平面向量坐標運算空間向量坐標運算數(shù)乘運算數(shù)量積運算有向線段的向量坐標表示線性運算新知探究新知探究下面我們證明空間向量數(shù)量積運算的坐標表示.請同學(xué)們證明剩下運算的坐標表示設(shè)為空間的一個單位正交基底，則所以因為所以

新知探究問題5平面向量的坐標運算可以幫助我們解決平行、垂直等位置關(guān)系以及距離，角度等度量問題.空間向量的坐標運算是否仍然可以幫助我們解決這些問題？新知探究追問1：如何用平面向量的坐標運算刻畫平面向量的平行和垂直？平面向量的特殊位置關(guān)系平面向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當

時，當

時，設(shè)能否表示為？?新知探究當

時，設(shè)能否表示為？?至少一個不為0.例如：當與平面平行時，.此時

無意義.例如：當

與平面平行時，.此時無意義.因此，只有均不為0時，特殊地，

與任意向量平行.當時，新知探究平面向量的特殊位置關(guān)系空間向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當

時，當

時，設(shè)新知探究追問2：能否用空間向量的坐標表示長度和夾角？平面向量的長度和夾角空間向量的長度和夾角你能證明空間兩點間的距離公式嗎？設(shè)

則設(shè)設(shè)設(shè)

則你能證明空間兩點間的距離公式嗎？設(shè)

，

是空間中任意兩點，如圖，建立空間直角坐標系，于是所以這就是空間兩點間的距離公式.則新知探究例1應(yīng)用新知應(yīng)用新知反思感悟根據(jù)點的坐標確定點的位置,要先確定點(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由豎坐標確定點(x0,y0,z0)在空間直角坐標系中的位置.(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi);(2)充分利用幾何圖形的特性.一般先找出這一點在某一坐標平面上的射影,確定其兩個坐標,再找出它在另一坐標軸上的射影(或者通過它到這個坐標平面的距離加上正號或負號),確定第三個坐標.2.建立空間直角坐標系時應(yīng)遵循的原則3.求點的坐標的方法應(yīng)用新知1.在空間中根據(jù)點的坐標確定點的位置的方法變式訓(xùn)練詳解應(yīng)用新知例2應(yīng)用新知應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z例3應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知規(guī)律方法(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標，進而獲得相關(guān)向量的坐標；(3)利用向量數(shù)量積的坐標公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出線段端點的坐標；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．2．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟1．利用向量數(shù)量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟應(yīng)用新知變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標系中的對稱性問題例題能力提升題型一空間直角坐標系中的對稱性問題解析能力提升方法總結(jié)求對稱點的坐標可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰對稱誰不變，其余的符號均相反．”在空間直角坐標系中，任一點P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點的坐標如下：對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點坐標坐標原點x軸y軸z軸xOy平面yOz平面xOz平面(a，－b，－c)(－a，b，－c)(－a，－b，c)(a，b，－c)(－a，b，c)(a，－b，c)(－a，－b，－c)P(a，b，c)能力提升方法總結(jié)能力提升題型一空間直角坐標系中的對稱性問題變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標系中的對稱性問題解析能力提升題型二空間向量的坐標運算例題能力提升題型二空間向量的坐標運算解析能力提升題型二空間向量的坐標運算解析題型二空間向量的坐標運算解析能力提升方法總結(jié)進行空間向量的數(shù)量積坐標運算的技巧能力提升應(yīng)用新知方法總結(jié)應(yīng)用新知方法總結(jié)判斷空間向量垂直或平行的步驟題型二空間向量的坐標運算變式訓(xùn)練解析能力提升能力提升題型二空間向量的坐標運算變式訓(xùn)練能力提升題型二空間向量的坐標運算解析能力提升題型二空間向量的坐標運算解