山東省德州市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題第I卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以由，所以，所以，所以.故選：D.2.以下有關(guān)不等式的性質(zhì)，描述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，，，則，【答案】B【解析】A.當時，，選項A錯誤.B.由得，故，選項B正確.C.，由得，，所以，故，選項C錯誤.D.令，滿足，，，，結(jié)論不正確，選項D錯誤.故選：B.3.已知向量，，若與平行，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，若若與平行可知，解得.故選：A4.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（）A.180 B.200 C.220 D.240【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，可得；解得，因此.故選：C5.已知：，：，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，解之得或，設(shè)：，對應(yīng)，：，其解集對應(yīng)，則是的充分不必要條件等價于A是B的真子集，所以.故選：A6.已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，∵，∴在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，∴，則，∴故選：D7.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，當時，，因為方程在區(qū)間上恰有3個實數(shù)根，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為gx=fx所以的圖象有三個交點，在同一平面直角坐標系中作出的圖象，當經(jīng)過點時，代入坐標可得，解得；當與的圖象相切時，設(shè)切點為，因為此時，所以，所以切線方程為，即，所以，可得；結(jié)合圖象可知，若的圖象有三個交點，則，故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.B.，C.若，，D.的值域為【答案】BC【解析】A選項：因為，故不滿足“一正”，A選項錯誤；B選項：因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以B選擇正確；C選項：，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以C選項正確；D選項：因為，所以，當且僅當時取等號，但無解，所以，所以D選項錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個零點B.是的極小值點C.是的對稱中心D.當時，【答案】ABD【解析】由，解得或，所以函數(shù)有兩個零點，故A正確；由，得，令，解得或，當時，，當時，，所以是的極小值點，故B正確；由函數(shù)的對稱軸為，此時的對稱中心是兩個極值點的中點，所以是的對稱中心，故C不正確；當時，，所以在上單調(diào)遞增，若，可得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的各項均為負數(shù)，其前項和滿足，則（）A. B.為遞減數(shù)列C.為等比數(shù)列 D.存在大于的項【答案】ABD【解析】對于A選項，當時，由題意可得，因為，所以，，當時，由可得，整理可得，因為，解得，A對；對于B選項，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，因為，即，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，B對；對于C選項，若數(shù)列為等比數(shù)列，則，因為，，，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，不合乎題意，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯；對于D選項，假設(shè)對任意的，，則，此時，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，D對.故選：ABD第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知正三角形的邊長為2，為中點，為邊上任意一點，則______.【答案】3【解析】因為三角形是正三角形，為中點，所以，所以，又正三角形的邊長為2，所以，所以.13.設(shè)，當時，，則______.【答案】【解析】，由，所以，所以，因為，又，所以，所以.14.已知函數(shù)的定義域為，，為偶函數(shù)，且，則______，______.【答案】1-2026【解析】由得，，，∴，故是周期為的函數(shù).∵為偶函數(shù)，∴，∴，令，得，令，得.在中，令，得，∴.令，得，故，令，得，故.由函數(shù)的周期性得，.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知中的三個角的對邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若的角平分線交于，，求面積的最小值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，又因為，所以，即，又，所以；（2），即，化簡得，所以，所以所以，當且僅當時取“=”，所以，所以面積的最小值為.16.某企業(yè)計劃引入新的生產(chǎn)線生產(chǎn)某設(shè)備，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售量（單位：臺）與每臺設(shè)備的利潤（單位：元，）滿足：（a，b為常數(shù)）.當每臺設(shè)備的利潤為36元時，銷售量為360臺；當每臺設(shè)備的利潤為100元時，銷售量為200臺.（1）求函數(shù)的表達式；（2）當為多少時，總利潤（單位：元）取得最大值，并求出該最大值.解：（1）由題意知，得，故.（2）設(shè)總利潤，由（1）得當時，，在上單調(diào)遞增，所以當時，有最大值10000當時，，，令，得.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，有最大值20000.當時，.答：當為100元時，總利潤取得最大值為20000元.17.在數(shù)列中，，其前n項和為，且（且）.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，代入，整理得，所以，以上個式子相乘得，.當時，，符合上式，所以.（2）.所以，①，②①②得，，所以.由得：，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)存在正零點，求的取值范圍.解：（1）由題知，，于是，所以切線的斜率，于是切線方程為，即（2）由已知可得的定義域為，且，因此當時，，從而，所以的單增區(qū)間是，無單減區(qū)間；（3）由（2）知，，令，，當時，.①當時，可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，又，故當時，，所以不存在正零點；②當時，，又，，所以存在滿足，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.令，則當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當時，，即，所以，又因為，所以，因此，，使得即此時存在正零點；③當時，，，從而為減函數(shù).又，所以當時，.故時，恒成立，又，故當時，，所以函數(shù)不存在正零點；綜上，實數(shù)的取值范圍為.19.已知數(shù)列，從中選取第項、第項、…第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，，則稱新數(shù)列為的長度為m的子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的長度為1的子列.（1）寫出2，8，4，7，5，6，9三個長度為4的遞增子列；（2）若數(shù)列滿足，，其子列長度，且的每一子列的所有項的和都不相同，求的最大值；（3）若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為q，當為何值時，數(shù)列為等比數(shù)列.解：（1）根據(jù)題意可知，從所有數(shù)字中任意取4個并按照從小到大的順序排列即可得出符合題意的遞增子列；可取2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；2，4，6，9；2，5，6，9；4，5，6，9中任意三個；（2）因為長度，且的每一子列的所有項的和都不相同，由可知，為使值最大，所以盡量使的取值最小即可，從而的最小值為2，的最小值為5，取，，因為，則的最小值為8，??；若，，