高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章第九節(jié)概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題課件

第十章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第九節(jié)概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題·考試要求·1．會求概率、統(tǒng)計與不等式的綜合問題．2．會求概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題．3．會求概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題．核心考點(diǎn)提升“四能”

(2)當(dāng)γ＝0時，若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值．解：若γ＝0，此時每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，則α＋β＝1，此時X的所有可能取值為2，4，5，可得P(X＝2)＝P(AA)＋P(BB)＝α2＋β2，P(X＝4)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ABBB)＋P(BABB)＝(2α3β＋2αβ3)＝2αβ(α2＋β2)，P(X＝5)＝P(ABAB)＋P(ABBA)＋P(BABA)＋P(BAAB)＝α2β2＋α2β2＋α2β2＋α2β2＝4α2β2，

X245Pα2＋β22αβ(α2＋β2)4α2β2

概率、統(tǒng)計與不等式有關(guān)的綜合問題的解法(1)根據(jù)概率的性質(zhì)、均值、方差公式等得出關(guān)于概率p的表達(dá)式或不等式．(2)通過不等式知識解不等式或利用基本不等式求最值．

某工廠A，B兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下，通過日常監(jiān)控得知，A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為p和2p－1(0.5≤p≤1)．(1)從A，B生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；解：至少有一件合格品的概率為1－(1－p)[1－(2p－1)]＝1－2(1－p)2.令1－2(1－p)2≥0.995，解得0.95≤p≤1.05.又0.5≤p≤1，所以0.95≤p≤1，故p的最小值p0＝0.95.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可通過返工修復(fù)變?yōu)楹细衿?，?1)中確定的p0作為p的值．已知A，B生產(chǎn)線的不合格品返工修復(fù)后，每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品，以返工修復(fù)后挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？解：由(1)可知，A，B生產(chǎn)線上產(chǎn)品為合格品的概率分別為0.95和0.9，所以A，B生產(chǎn)線上產(chǎn)品不是合格品的概率分別為0.05和0.1.故從A生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000×0.05＝50(件)，返工修復(fù)后，可挽回?fù)p失50×5＝250(元)，從B生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000×0.1＝100(件)，返工修復(fù)后，可挽回?fù)p失100×3＝300(元)，因為250<300，所以B生產(chǎn)線挽回的損失較多．

概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題【例2】(2024·濟(jì)寧模擬)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：樣本平均數(shù)的估計值為10(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62.所以樣本平均數(shù)的估計值為62.

概率、統(tǒng)計與函數(shù)有關(guān)的綜合問題的解法在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，解題時通常先結(jié)合概率、方差、均值的公式列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解．在2024年春節(jié)期間，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系．(1)現(xiàn)對某時間段100名觀看直播后選擇這兩個公司直播間購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：單位：名

是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)？用戶年齡段選擇甲直播間購物選擇乙直播間購物合計19～24歲40

5025～34歲

30

合計

用戶年齡段選擇甲直播間購物選擇乙直播間購物合計19～24歲40105025～34歲203050合計6040100(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進(jìn)行購物，第一天等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率．解：由題設(shè)，事件小李第二天去乙直播間包括第一天去甲直播間，第二天去乙直播間和第一天去乙直播間，第二天去乙直播間兩種情況，所以小李第二天去乙直播間購物的概率P＝0.5×(1－0.7)＋0.5×(1－0.8)＝0.25.

X3123P(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學(xué)未答對第二題，則第i輪比賽失敗，第i＋1號同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量Yn表示n名同學(xué)在第Yn輪比賽結(jié)束．①求隨機(jī)變量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；

Yn123…n－1nP…

概率、統(tǒng)計與數(shù)列有關(guān)的綜合問題的解法一是認(rèn)真審題，判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，并注意相互獨(dú)立事件的概率與互斥事件的概率的區(qū)別，求出隨機(jī)變量取各個值時的概率，從而列出隨機(jī)變量的分布列；二是將概率的參數(shù)表達(dá)式與數(shù)列的遞推式相結(jié)合，可得數(shù)列的通項公式，此種解法新穎獨(dú)特．

(2024·威海模擬)全民健身是全體人民增強(qiáng)體魄、健康生活的基礎(chǔ)和保障，為了研究杭州市民健身的情況，某調(diào)研小組隨機(jī)抽取了100名市民進(jìn)行調(diào)研，得到如下數(shù)據(jù)：

(1)如果認(rèn)為每周健身4次及以上為“喜歡健身”，請列出2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗，判斷喜歡健身與性別是否有關(guān)聯(lián)．每周健身次數(shù)1次2次3次4次