專題01 高二上期末真題精-選（人教A版（2019）選擇性必修第一冊?？?23題23類考點專練）（原卷版）-25學年高二數(shù)學上學期期末考點大串講

專題01高二上期末真題精選（常考123題23類考點專練）用基底表示向量空間向量共面空集中兩個向量乘銳角（鈍角）借助向量證明平行（垂直）關(guān)系借助向量求點到直線距離向量法求異面直線所成角向量法解決線面角問題向量法解決二面角問題向量法解決點到平面的距離問題直線的傾斜角和斜率求直線方程兩條直線平行于垂直的判斷直線中的距離問題二元二次方程表示圓的條件求圓的方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓錐曲線中的定義問題圓錐曲線中上的點到定點的和差問題焦點三角形問題離心率問題弦長問題（含焦點弦）中點弦問題一、用基底表示向量（共3小題）1．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分別是的中點，，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·浙江金華·期末）如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則．二、空間向量共面（共3小題）1．（22-23高二上·遼寧丹東·期末）已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（

）A． B．6 C． D．122．（22-23高二上·浙江寧波·期末）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內(nèi)任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（

）A． B． C． D．三、空集中兩個向量乘銳角（鈍角）（共4小題）1．（23-24高一下·山西長治·期末）已知平面向量，滿足，，，夾角為，若與夾角為銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（20-21高三上·安徽安慶·期末）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是.4．（23-24高一下·四川自貢·期末）已知向量．(1)證明：；(2)與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．四、借助向量證明平行垂直關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在直三棱柱中，四邊形是邊長為3的正方形，，，點分別是棱的中點．(1)求的值；(2)求證：．2．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；(2)求證：面.3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）正方體中分別是的中點.(1)證明：平面；4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.

(1)證明：平面平面；5．（23-24高二上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點.(1)證明：平面；五、借助向量求點到直線距離（共4小題）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三點，則到直線的距離為.3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在空間直角坐標系中，，則點B到直線的距離為．4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為．六、向量法求異面直線所成角（共5小題）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江西上饒·期末）在正四棱柱中，，點是的中點，則與所成角的余弦值．3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是.4．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.(1)求證：平面.(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.5．（21-22高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)線段PB上是否存在一點M（不含端點），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.七、向量法解決線面角問題（共7小題）1．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點是線段上的動點，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·遼寧鞍山·期中）長方體中，，為線段上的動點，則與平面所成角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·云南迪慶·期末）如圖形中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面體中，平面，平面.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）如圖，在三棱柱中，底面，點到平面的距離為2.

(1)證明：.(2)若直線與之間的距離為4，求直線與平面所成角的正弦值.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由7．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面，，，為的中點.

(1)證明：平面；(2)點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.八、向量法解決二面角問題（共7小題）1．（23-24高二下·青?！て谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，平面，.

(1)證明：平面.(2)若，，且直線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為的中點，為四邊形的中心．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點．(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．4．（23-24高二下·浙江溫州·期末）在三棱錐中，平面平面，，，分別為的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.6．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長度．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在長方體中，點，分別在，上，且，．(1)求證：平面；(2)當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．九、向量法解決點到平面的距離問題（共5小題）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，E為中點，與交點為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點C到平面的距離．2．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點．

(1)證明：平面平面；(2)求到平面的距離．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如圖，在直三棱柱中，是的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖所示，正方體的棱長是2，E、F分別是線段AB、的中點．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．十、直線的傾斜角和斜率（共4小題）1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知直線方程為，則其傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標系中，是直線上不同的兩點，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標為，則直線的傾斜角為．十一、求直線方程（共5小題）1．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知頂點，邊AC上的高BH所在直線方程為，邊AB上的中線CM所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求的面積.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程.(1)過點；(2)平行于直線.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直線．(1)若直線與直線垂直，且經(jīng)過，求直線的斜截式方程；(2)若直線與直線平行，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，求直線的一般式方程．4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的頂點的坐標分別為邊所在直線過點.(1)求邊所在直線的方程；(2)求對角線所在直線的方程.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三個頂點分別為．(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；(2)求邊上的高線的長．十二、兩條直線平行與垂直問題（共5小題）1．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或12．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）若兩條直線和平行，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．3．（23-24高一下·重慶·期末）已知直線和直線垂直，則實數(shù).4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知直線：與直線：.若，則.5．（22-23高二上·遼寧·期中）已知直線：，直線：(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．十三、直線中的距離問題（共3小題）1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點到直線l：的距離為（

）A． B． C． D．2．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標原點的距離可能為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣東江門·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．十四、二元二次方程表示圓的條件（共4小題）1．（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高二上·廣東·期末）若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是．十五、求圓的方程（共3小題）1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點，則圓的標準方程是（

）A．B．C．D．2．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是．3．（23-24高二上·河北滄州·期末）在△OAB中，O是坐標原點，，．(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求△OAB的外接圓方程十六、直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線和曲線，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過圓心3．（23-24高三上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標系中，若對任意，圓與直線恒相切，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．4．（多選）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6十七、圓與圓的位置關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓：（，）與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．外離 D．與m的取值有關(guān)3．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是．5．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知圓與圓外離，則實數(shù)a的取值范圍為.十八、圓錐曲線中的定義問題（共4小題）1．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┰O(shè)橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，其中一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓上的任意一點到兩個焦點的距離的和等于10，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高二上·山東聊城·期末）若平面內(nèi)的動點Px,y滿足，則（

）A．時，點的軌跡為圓B．時，點的軌跡為圓C．時，點的軌跡為橢圓D．時，點的軌跡為雙曲線3．（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓，圓，圓，圓，直線，則（

）A．與圓都外切的圓的圓心軌跡是雙曲線的一支B．與圓外切?內(nèi)切的圓的圓心軌跡是橢圓C．過點且與直線相切的圓的圓心軌跡是拋物線D．與圓都外切的圓的圓心軌跡是一條直線4．（23-24高二下·上海寶山·期末）我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常常可以巧妙地解決問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程的解為.十九、圓錐曲線中上的點到定點的和差問題（共6小題）1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．53．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，點是拋物線上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（多選）（21-22高二上·河北滄州·期末）已知點為雙曲線右支上一點，、分別為圓：、：上的動點，則的值可能為（

）A．2 B．6 C．9 D．125．（23-24高二上·山東臨沂·期中）已知是橢圓的左焦點，點為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為；的最小值為．6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．二十、焦點三角形問題（共6小題）1．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，P是橢圓C上的動點，點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．面積的最大值是C．橢圓C的離心率為 D．最小值為2．（多選）（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上項點為B，直線與橢圓C相交于M、N兩點，點，則下列選項正確的是（

）A．四邊形的周長為12B．當時，的面積為C．直線，的斜率之積為D．若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為3．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構(gòu)成直角三角形，則點坐標可能是（

）.A． B．C． D．4．（多選）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點，A，B分別為橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論正確的有（

）A．存在點P使得B．的最小值為C．若，則的面積為1D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值5．（多選）（23-24高二下·貴州六盤水·期末）圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)．雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個焦點，且雙曲線在點處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線過點，其左、右焦點分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點反射的光線為，點處的切線交軸于點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．過點且垂直于的直線平分C．若，則D．若，則6．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點A為雙曲線右支上任意一點，點，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．若，則的面積為2C．過P點且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條D．存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點二十一、離心率問題（共11小題）1．（23-24高二下·廣東廣州·期末）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（某時刻，陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，則該橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．2．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎菣E圓C的兩個焦點，P是C上的一點，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·山西長治·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，，過點的直線交的左支于兩點，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

A． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最小值為.7．（23-24高二下·四川德陽·期末）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為.8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知橢圓的左?右焦點分別是是橢圓上兩點，四邊形為矩形，延長交橢圓于點，若，則橢圓的離心率為.9．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為．10．（23-24高二下·貴州遵義·期末）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點作垂直于一條漸近線的直線l，分別交兩漸近線于A，B兩點，且A，B分別在第一、四象限，若，則該雙曲線的離心率為．11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望遠鏡的設(shè)計中利用了雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是的右支上一點，直線與相切于點.由點出發(fā)的入射光線碰到點后反射光線為，法線（在光線投射點與分界面垂直的直線）交軸于點，此時直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為.

二十二、弦長問題（含焦點弦）（共10小題）1．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知直線與橢圓交于，兩點，當取最大值時的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知直線與拋物線：交于兩點，則（

）A． B．5 C． D．3．（23-24高二上·寧夏固原·期末）直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于不同的兩點?，若，則弦的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高三上·河南·期末）已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·山東聊城·期末）已知橢圓的上頂點為A，過點A的直線與C交于另一點B，則的最大值為．6．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則.7．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線與交于A，B兩點，若，則直線的傾斜角為.8．（23-24高二下·安徽安慶·期末）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，且，過點且與x軸不重合的直線與橢圓C交于P，Q兩點，已知的周長為8．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作直線與直線垂直，且與橢圓C交于A，B兩點，求的取值范圍.9．（23-24高二上·重慶·期末）已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓的短軸頂點到長軸頂點的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓左