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安徽省亳州市第三十二中學(xué)2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.2.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.4.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④5.在四面體中,為正三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.6.已知方程表示的曲線為的圖象,對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn);③的最大值為;④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則由方程所確定;則正確命題序號(hào)為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④7.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.28.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡(jiǎn),得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.9.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.11.1777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí),在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.12.已知集合,則元素個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)全集,集合,,則集合______.14.若,則_________.15.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.16.如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.18.(12分)如圖,在四棱錐中,,,.(1)證明:平面;(2)若,,為線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn),為橢圓的右端點(diǎn),過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.20.(12分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.22.(10分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.2、D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題.5、A【解析】
推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.6、C【解析】
分四類情況進(jìn)行討論,然后畫出相對(duì)應(yīng)的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)不存在圖象;(2)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(4)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對(duì)于①,在上單調(diào)遞減,所以①正確;對(duì)于②,函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn),即沒有零點(diǎn),所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知③錯(cuò)誤;對(duì)于④,函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)概念,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.7、A【解析】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點(diǎn)睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述,則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.9、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.10、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對(duì)稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.11、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計(jì)概率,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象,可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,集合A表示以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn),作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示,得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B,所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素,所以元素個(gè)數(shù)為2,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集,再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.【詳解】由題可知,集合A中集合B的補(bǔ)集,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
因?yàn)?,所?因?yàn)椋?,又,所以,所?.15、4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二:因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.16、1【解析】
寫出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù),去掉最高分,最低分,再求平均分.【詳解】解:所有的數(shù)為:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個(gè)數(shù),去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個(gè)數(shù),平均分為,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析;【解析】
(1)推導(dǎo)出,由是的中點(diǎn),能證明是有中點(diǎn).(2)作于點(diǎn),推導(dǎo)出平面,從而,由,能證明平面,由此能證明平面平面.【詳解】證明:(1)在三棱錐中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中點(diǎn),是有中點(diǎn).(2)在三棱錐中,是銳角三角形,在中,可作于點(diǎn),平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明,考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)利用線段長(zhǎng)度得到與間的垂直關(guān)系,再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明;(2)以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值,計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)∵,,∴,∴,∵,平面,∴平面(2)由(1)知,,又為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,∵,∴,設(shè)是平面的一個(gè)法向量則,即,取得∴∴直線與平面所成的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦,難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時(shí),注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值.19、(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結(jié)合橢圓的對(duì)稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系(互為相反數(shù)),然后設(shè)直線的方程為,將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo),最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把點(diǎn)代入橢圓方程,求得,所以橢圓方程為;(2)由題易得直線、斜率均存在,又,所以,設(shè)直線代入橢圓方程,化簡(jiǎn)得,其一解為,另一解為,可求,用代入得,,為定值.考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.兩點(diǎn)間連線的斜率20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點(diǎn),,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點(diǎn),以,,為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計(jì)算,屬于中檔題.21、(1):,
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