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文檔簡介
2025屆阿壩市重點中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.22.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.3.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.4.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.45.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.6.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.7.正的邊長為2,將它沿邊上的高翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.9.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A. B. C. D.11.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)滿足,則的最小值是______________.14.在數(shù)列中,,,曲線在點處的切線經(jīng)過點,下列四個結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號是______.15.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,求證:對于,恒成立;(3)若存在,使得當(dāng)時,恒有成立,試求的取值范圍.19.(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=bnan,求數(shù)列20.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.21.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點,連接,為的中點,連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點,且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,由圖可知,.4、D【解析】可以是共4個,選D.5、A【解析】
先計算出兩個圖像的交點分別為,再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.6、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.7、D【解析】
如圖所示,設(shè)的中點為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)的中點為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因為,故,因為,故.由正弦定理可得,故,又因為,故.因為,故平面,所以,因為平面,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算,本題有一定的難度.8、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.9、B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進行判斷.10、B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由題先畫出基本圖形,結(jié)合向量加法和點乘運算化簡可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題12、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先畫出不等式組對應(yīng)的可行域,再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系,平移直線,易知當(dāng)直線經(jīng)過點時,直線的縱截距最小,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,且.故答案為:-8【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.14、①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號.【詳解】∵,∴曲線在點處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號是①③④.故答案為:①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)組合的知識,結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項來源可以是:(1)取1個,4個(2)取2個,3個的系數(shù)為:故答案為:【點睛】本題主要考查組合的知識,熟悉二項式定理展開式中每一項的來源,實質(zhì)上每個因式中各取一項的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識,屬中檔題.16、10【解析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面ABC,所以因為.所以.即又.所以平面因為平面.所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)詳見解析;(3).【解析】
試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減,且,則,故原不等式成立.(3)同(2)構(gòu)造函數(shù),對分成三類,討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1),當(dāng)時,.解得.當(dāng)時,解得.所以單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)設(shè),當(dāng)時,由題意,當(dāng)時,恒成立.,∴當(dāng)時,恒成立,單調(diào)遞減.又,∴當(dāng)時,恒成立,即.∴對于,恒成立.(3)因為.由(2)知,當(dāng)時,恒成立,即對于,,不存在滿足條件的;當(dāng)時,對于,,此時.∴,即恒成立,不存在滿足條件的;當(dāng)時,令,可知與符號相同,當(dāng)時,,,單調(diào)遞減.∴當(dāng)時,,即恒成立.綜上,的取值范圍為.點睛:本題主要考查導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)數(shù)與不等式的證明,導(dǎo)數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,這是導(dǎo)數(shù)問題的基本題型,也是基本功,先求定義域,然后求導(dǎo),要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問題,一個是存在性問題,要注意取值是最大值還是最小值.19、(1)an=(2)Tn【解析】
(1)利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項公式;P點代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由點P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因為cn=b則13兩式相減得:23所以Tn【點睛】用遞推關(guān)系an=Sn-20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.(2)根據(jù)題意,求導(dǎo),令,易知;,易知當(dāng)時,,;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,由零點存在定理得,使得,,使得,有從而得證.【詳解】(1)依題意,,因為,且,故,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,故.(2)依題意,,令,則;而,可知當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時,;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,故,使得,故,使得,即函數(shù)單調(diào)遞增,即單調(diào)遞增;故當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時,函數(shù)有極小值.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想,屬于難題.21、(1)見解析;(2)【解析】
(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點,,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.22、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標(biāo)原點,
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