揭陽市重點中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

揭陽市重點中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.3.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.4.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.325.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.8.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點,且,則()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為則()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.11.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要12.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號為_____.14.已知數(shù)列滿足,則________.15.三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考,三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本,若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為____________.16.已知,,,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左,右焦點分別為,直線與橢圓相交于兩點;當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的下頂點和右焦點時,的周長為,且與橢圓的另一個交點的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點為內(nèi)一點,為坐標(biāo)原點,滿足,若點恰好在圓上,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設(shè),,求證:為定值.19.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系.(1)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.3、B【解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.4、B【解析】

根據(jù)隨機數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個編號為21.故選:B【點睛】本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應(yīng)的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應(yīng)的信息,對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一,經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.8、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運算,可求得點的坐標(biāo),進而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.9、B【解析】

求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查復(fù)數(shù)模的計算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因為恒成立,故可以推出且,若成立,當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,因為恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、④【解析】

根據(jù)直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①,當(dāng)m∥n時,由直線與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯誤;對于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時,由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯誤;對于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時,由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯誤;對于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時,由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號是④.故答案為:④.【點睛】本題考查了直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.14、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當(dāng)時,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當(dāng)時不滿足上式,∴故答案為:【點睛】本題考查了利用求,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算,分類討論的能力,屬于中檔題.15、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x,由已知,,解得.故答案為:【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣,考查學(xué)生基本的運算能力,是一道容易題.16、【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】

(1)由橢圓的定義可知,焦點三角形的周長為,從而求出.寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點橫坐標(biāo)為,求出和,從而寫出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點坐標(biāo),由可知點為的重心,根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點用P、Q兩點坐標(biāo)來表示.由點在圓O上,知點M的坐標(biāo)滿足圓O的方程,得式.為直線l與橢圓的兩個交點,用韋達定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線的方程為∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標(biāo)為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點為的重心,∵點在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點睛】本題考查了橢圓的焦點三角形的周長,標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標(biāo)公式、韋達定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運算能力,屬于較難的題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動圓圓心,由拋物線定義知:點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【點睛】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.19、(1)(2)【解析】

(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因為,則,因為,故,故,解得,故,則.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1);(2)或.【解析】

(1)利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡,根據(jù)余弦定理求解余弦值;(2)根據(jù)余弦定理求出b=1或b=3,結(jié)合面積公式求解.【詳解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化簡得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2

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