專題07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 15個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清單02】根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，的次方根用符號(hào)表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，叫做的次算術(shù)根；負(fù)的次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成().③負(fù)數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號(hào)中，注意：①，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意都有意義③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只有當(dāng)時(shí)才有意義.3、與的區(qū)別：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（）②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（）③當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，④為偶數(shù)時(shí)，且，【清單03】分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.【清單04】有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識(shí)點(diǎn)05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【清單05】指數(shù)函數(shù)的概念1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量，定義域是.2、學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點(diǎn)（1）定義域?yàn)椋海?）規(guī)定是因?yàn)椋孩偃?，則（恒等于1）沒有研究價(jià)值；②若，則時(shí)，（恒等于0），而當(dāng)時(shí)，無意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，無意義.④只有當(dāng)或時(shí)，即，可以是任意實(shí)數(shù).（3）函數(shù)解析式形式要求：指數(shù)函數(shù)只是一個(gè)新式定義，判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個(gè)自變量，而不是含自變量的多項(xiàng)式.【清單06】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱2、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對(duì)圖象的影響函數(shù)的圖象如圖所示：觀察圖象，我們有如下結(jié)論：2.1.底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.（1）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值增長的越快.（2）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.2.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標(biāo)系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低；在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；【清單07】指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1、定義域：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）的定義域與函數(shù)的定義域相同（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.2、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結(jié)合得性質(zhì)確定的值域（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.【清單08】指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)1、平移變換①②③④2、對(duì)稱變換①②③3、翻折變換①（去掉軸左側(cè)圖象，保留軸右側(cè)圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）【考點(diǎn)題型一】根式的化簡求值核心方法：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（）②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（）③當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，④為偶數(shù)時(shí)，且，【例1】（24-25高一上·上海浦東新·期中）當(dāng)時(shí)，化簡.【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】根式的化簡求值【分析】將根式里面進(jìn)行配方，結(jié)合的范圍即可化簡.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故答案為：4.【變式1-1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知，則（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根式的化簡求值【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B【變式1-2】（多選）（24-25高一上·浙江·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】根式的化簡求值、指數(shù)冪的運(yùn)算【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可判斷.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確.故選：CD.【考點(diǎn)題型二】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡求值核心方法：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）計(jì)算下列各式：(1)（其中a>0，結(jié)果化為冪的形式）；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)根式的運(yùn)算與指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡即可；（2）根據(jù)根式的性質(zhì)與指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡即可；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【變式2-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）計(jì)算：.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，結(jié)合根式與指數(shù)冪的互化即可得解.【詳解】.故答案為：3.【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）計(jì)算:.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的化簡、求值【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知原式；故答案為：【考點(diǎn)題型三】條件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的化簡、求值【分析】根據(jù)，再結(jié)合時(shí)，則，即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，則，故，即得.故答案為：.【變式3-1】（24-25高一上·寧夏吳忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】①7；②47【知識(shí)點(diǎn)】根式的化簡求值、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及根式的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果；①由求解出結(jié)果；②由求解出結(jié)果.【詳解】①因?yàn)?，所以，即，所以；②由①知，兩邊平方得?【變式3-2】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，求下列各式的值：①；②.【答案】（1）；（2）①7；②【知識(shí)點(diǎn)】根式的化簡求值、指數(shù)冪的運(yùn)算、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】利用平方關(guān)系求解.【詳解】①因?yàn)?，所以，即，所以；②因?yàn)?，又因?yàn)椋浴究键c(diǎn)題型四】指數(shù)冪的綜合運(yùn)算【例4】（23-24高一上·天津南開·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）.（2）.【變式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）計(jì)算下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式直接求值；（2）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式化簡求值.【詳解】（1）；（2）.【變式4-2（23-24高一上·山東泰安·期中）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）108；（2）2【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)?，所以，所?【考點(diǎn)題型五】指數(shù)函數(shù)的定義與求值（參數(shù)）【例5】（24-25高一上·河北張家口·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【分析】令系數(shù)為，解出的值，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得答案．【詳解】解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選：B【變式5-1】（24-25高一上·云南紅河·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.【答案】27【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得，進(jìn)而代入求解即可.【詳解】因?yàn)闉橹笖?shù)式，則，解得或，又因?yàn)榍?，可得，即，所?故答案為：27.【變式5-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義要滿足條件得到關(guān)于的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，，由解得或，.所以a的取值范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)題型六】指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)定點(diǎn)分析求解即可.【詳解】令，解得，且，所以函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)為.故答案為：.【變式6-1】（24-25高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得定點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程得的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由得，又，所以定點(diǎn)為，從而，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：C【變式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)的性質(zhì)即可確定的坐標(biāo)．【詳解】令，解得，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【考點(diǎn)題型七】指數(shù)（型）函數(shù)圖象的識(shí)別【例7】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀【分析】根據(jù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的圖象特征，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，所以，排除AC，且，排除D.故選：B【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值排除即可.【詳解】定義域?yàn)?，且，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.再取特殊值，且為正數(shù).排除D.當(dāng)時(shí)，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.故選：A.【變式7-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識(shí)別、具體函數(shù)的定義域【分析】由奇偶性及函數(shù)值即可判斷.【詳解】由知：，，偶函數(shù)，AC錯(cuò)，，B錯(cuò)，故選：D【變式7-3】（多選）（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)且的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，分，分別研究單調(diào)性和漸近線，進(jìn)而得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故A，B不符合；對(duì)于C，D，因?yàn)闈u近線為，故，故時(shí)，，故選項(xiàng)C符合，D不符合；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故B符合，A，C，D不符合；故選：BC.【考點(diǎn)題型八】畫指數(shù)（型）函數(shù)圖象核心方法：根據(jù)函數(shù)圖象變換方法【例8】（2024高三·全國·專題練習(xí)）作出函數(shù)的圖象.【答案】圖象見解析【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】根據(jù)圖象變換的知識(shí)，由的圖象進(jìn)行圖象變換，從而畫出函數(shù)的圖象.【詳解】設(shè)，其圖象可看作由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，而，其圖象可由的圖象保留時(shí)的圖象，然后將該部分關(guān)于y軸對(duì)稱得到，則圖象如圖示：【變式8-1】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】畫出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】依題意，作出函數(shù)的圖象，要使兩者有兩個(gè)公共點(diǎn)，需使，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由，作出函數(shù)的圖象如圖．由圖知，要使直線與該圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則有，即.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【變式8-2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由的圖象通過怎樣的變換得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像的平移和對(duì)稱法則得到答案.【詳解】（1）的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的．（2）的圖象是由的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的．（3）與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，作的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形便可得到的圖象．（4）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故保留當(dāng)時(shí)，的圖象，再作其關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，即可得到的圖象．【考點(diǎn)題型九】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例9】（多選）（24-25高一上·河南洛陽·期中）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)單調(diào)性來比較各選項(xiàng)中數(shù)的大小.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于指數(shù)函數(shù)，因?yàn)?，指?shù)函數(shù)單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，?所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),對(duì)于，是單調(diào)遞減函數(shù)，.在單調(diào)遞增，,所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),，.是單調(diào)遞增函數(shù)，.所以，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng),，.是單調(diào)遞增函數(shù)，，則，其倒數(shù)關(guān)系為.所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【變式9-1】（浙江省臺(tái)州市山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】，，，單調(diào)遞減，，所以，即.故選：D【變式9-2】（24-25高一上·天津南開·期中）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，又，所以.故選：D.【考點(diǎn)題型十】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例10】（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1，(2)【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)奇偶性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出m的值；由可得，即可求解；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，則有，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.又，則，即，即，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?另解：顯然是R上的增函數(shù)，且，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得在上遞增，即也在上遞增，故當(dāng)時(shí)，，同時(shí)，由增函數(shù)性質(zhì)可得，故函數(shù)的值域?yàn)?（2）由，可得，又函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，又是R上的單調(diào)增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得是R上的單調(diào)減函數(shù)，即是R上的單調(diào)增函數(shù)，由可化為，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式10-1】（23-24高一上·廣東深圳·期中）設(shè)函數(shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn)．(1)求t和a的值；(2)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】(1)直接利用奇函數(shù)性質(zhì)可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點(diǎn)代入求a.(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故滿足題意，又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，，且，解得或（舍去），綜上t和a的值分別為2，2.（2）由（1）可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，即，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【變式10-2】（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（注：無需證明的單調(diào)性）；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)，在和上都是減函數(shù)．(2)．【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求得參數(shù)，再由單調(diào)性定義證明．（2）利用奇函數(shù)性質(zhì)變形不等式，再由單調(diào)性求解．【詳解】（1）由題意恒成立，即，整理得，∴，，，它在和上都是減函數(shù)，設(shè)且均不為0，，若，則，，，所以，即，∴在上是減函數(shù)，同理若，則，，，所以，即，∴在上是減函數(shù)．（2），時(shí)，，時(shí)，，，是奇函數(shù)，則，，若，則，不合題意，∴且，解得．【變式10-3】（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，證明見解析；(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，再利用定義證明單調(diào)性的步驟，取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性原不等式等價(jià)于，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，證明如下：證明：．設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以在上是減函數(shù)；（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以成立，等價(jià)于成立，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【考點(diǎn)題型十一】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性核心方法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則【例11】（24-25高三上·四川廣安·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：【變式11-1】（多選）（24-25高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域?yàn)镽B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷A；求出的值域再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故函?shù)的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.【變式11-2】（2024高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】易知，顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，且，所以.故選：A【考點(diǎn)題型十二】與指數(shù)函數(shù)（指數(shù)型復(fù)合函數(shù)）有關(guān)的值域核心方法：換元法【例12】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若對(duì)，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）首先利用指數(shù)運(yùn)算，化簡函數(shù)，再利用換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；（2）首先將函數(shù)和在定義域的最小值設(shè)為，由題意可知，首先求得，，確定的取值范圍，再討論去絕對(duì)值，求，然后解不等式，即可求解.【詳解】（1）若，，因?yàn)?，令，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值；（2）設(shè)在上的最小值為，在上的最小值為，由題意可知，，若，，因?yàn)?，令，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值2，即；所以在上的最小值應(yīng)該滿足，；因?yàn)?，解得：或，?dāng)時(shí)，且，則，可得，可得的最小值為，則，解得：，當(dāng)時(shí)，且，，可得，可知，的最小值為，則，解得：，綜上可知，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是求函數(shù)的最小值，根據(jù)，縮小的取值范圍，再討論去絕對(duì)值.【變式12-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知定義在上的函數(shù)()(1)若，求函數(shù)在上的最大值；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)8(2)【知識(shí)點(diǎn)】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）換元，令，可得，結(jié)合二次函數(shù)求最值；（2）由，換元令，整理得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】（1）若，則，因?yàn)閤∈0,2，令，可得的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，可知：當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以函數(shù)在0,2上的最大值為8.（2）因?yàn)?，即，整理得，令，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，，則，整理得，由題意可知：方程在內(nèi)有解，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式12-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有最小值3，求的值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2).【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析求解；（2）設(shè)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知的最小值為1，然后分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)最值分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)遞增函數(shù).又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）設(shè)，則.因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)增函數(shù).因?yàn)橛凶钚≈?，所以，的最小值為1.當(dāng)時(shí)，，無最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得.【考點(diǎn)題型十三】可化為一元二次函數(shù)型指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域問題核心方法：換元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)記的最小值為，求的解析式.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】與二次函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、復(fù)合函數(shù)的最值【分析】（1）當(dāng)時(shí)代入，再結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)即可；（2）由（1）知，令，，則原函數(shù)可化為，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系分情況討論即可求得．【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，則，則，，當(dāng)時(shí)，，，∴時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）知，，其圖象的對(duì)稱軸為．①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.綜上，.【變式13-1】（23-24高一上·吉林長春·期中）已知函數(shù)，且，．(1)求a，b的值，并寫出的解析式；(2)設(shè)，求在的最大值和最小值．【答案】(1)，，(2)最大值為，最小值為．【知識(shí)點(diǎn)】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、求解析式中的參數(shù)值【分析】（1）根據(jù)，列出方程組，解出的值，進(jìn)而可得的解析式；（2）先求出，然后利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可求出結(jié)果．【詳解】（1）由，得，解得，．且．所以a，b的值分別為1，2，的解析式為．（2），令，則由得，所以變?yōu)?，．?duì)稱軸為直線，，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．綜上時(shí)，的最大值為，最小值為．【變式13-2】（24-25高一上·青海海東·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)值域?yàn)?；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)解析式、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值【分析】（1）由可求出的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）令，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，并由此求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象過點(diǎn)，則，解得，因此，.（2）解：，令，因?yàn)?，則，令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上的減區(qū)間為，增區(qū)間為.故當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，故，所以，函?shù)在上的值域?yàn)?【考點(diǎn)題型十四】與指數(shù)函數(shù)的相關(guān)的綜合問題（單調(diào)性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等問題）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)判斷hx的奇偶性，判斷并用定義法證明h(3)已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)為奇函數(shù)，證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義研究式子恒成立即可求得的值；（2）利用奇偶性定義判斷，利用單調(diào)性定義證明即可；（3）可將不等式轉(zhuǎn)化為，再應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成，再分類討論解出的取值范圍即可.【詳解】（1）解：由題意，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以f?x=?fx所以恒成立，所以；所以，即，所以恒成立，所以（2）因?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以hx為奇函數(shù)；因?yàn)?，于是任取，且，則，，所以hx為上增函數(shù)；（3）解：因?yàn)?，所以即，又因?yàn)閔x為R上增函數(shù)，所以對(duì)任意x∈R恒成立，當(dāng)時(shí)，解集不為R，所以；當(dāng)時(shí)，只需，可得到.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是【變式14-1】（24-25高一上·河南南陽·期中）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若不等式對(duì)恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求指數(shù)函數(shù)解析式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義及函數(shù)圖象所過點(diǎn)求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)得解.【詳解】（1）設(shè)（，且），由，得，所以.（2）在上單調(diào)遞增.證明如下：由題意得.，，且，則.由，得，，則，.所以，即，故在上單調(diào)遞增.（3）由題意得，所以是偶函數(shù).由，得，易得，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以由，得.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，得，即t的取值范圍為.【變式14-2】（24-25高一上·貴州黔西·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)定義證明單調(diào)性即可；（3）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，得.又，得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（2）任取，且，則.因?yàn)椋鶕?jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，所以.又因?yàn)?，所以，所以為R上的減函數(shù).（3）因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，所?因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因?yàn)闉镽上的減函數(shù)，所以，即恒成立，而，取得等號(hào).所以.【變式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并用定義法證明；(3)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)為上的增函數(shù)，證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)與定義求參數(shù)即可得結(jié)論；（2）利用單調(diào)性的定義，取值，作差，變形，定號(hào)，從而可證得函數(shù)單調(diào)性；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得不等式為，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得結(jié)論.【詳解】（1）∵為上的奇函數(shù)．∴，∴，∴檢驗(yàn)：此時(shí)為奇函數(shù)，滿足條件；（2）為上的增函數(shù)，證明：，且，，∵，∴，∴，∴，即，∴為上的增函數(shù)．（3）∵，∴，∵在上的奇函數(shù)，∴，∵為上的增函數(shù)，∴，∵對(duì)恒成立，∴，∵在上單調(diào)遞增，∴，，使不等式成立，∴，∵在上單增，在上單減，∴，∴，∴，另解：，使不等式成立，∴，∵，∴在上單減，在上單增∴∴即

∴對(duì)恒成立∴，∵在上單增，∴，∴，∴．【考點(diǎn)題型十五】指數(shù)函數(shù)中新定義問題【例15】（24-25高一上·上海徐匯·期中）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”(1)已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”，并說明理由；(2)若冪函數(shù)使得在上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求m的取值集合．【答案】(1)不是偽奇函數(shù)；不是偽偶函數(shù)，理由見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、一元二次方程根的分布問題、函數(shù)新定義、等式的性質(zhì)與方程的解【分析】（1）求出即可判斷是否為“偽奇函數(shù)”；求解方程即可判斷是否為“偽偶函數(shù)”；（2）利用冪函數(shù)的定義求出，從而得到的解析式，由條件可知在上存在非零實(shí)數(shù)解，然后利用參變量分離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出范圍；同時(shí)根據(jù)是“偽偶函數(shù)”求出范圍，進(jìn)而可得到答案；（3）由定義，將問題轉(zhuǎn)化為(在上存在非零實(shí)數(shù)解，令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?，其定義域?yàn)?，則，，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑥亩?，故在函?shù)定義域內(nèi)不存在使得，即不存在使得f?x=?fx，所以不是“偽奇函數(shù)”．若，則，則，且，解得，故在函數(shù)定義域內(nèi)不存在非零實(shí)數(shù)滿足，所以不是“偽偶函數(shù)”．（2）因是冪函數(shù)，則，所以，，所以，，因?yàn)樵谏鲜恰皞纹婧瘮?shù)”，所以在上存在非零實(shí)數(shù)解，所以在上存在非零實(shí)數(shù)解，則，且，令，則，且，令，且，，當(dāng)且時(shí)，，則，當(dāng)且時(shí)，，則，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，當(dāng)且時(shí)，，即，故，因?yàn)槭恰皞闻己瘮?shù)”，所以存在非零實(shí)數(shù)解，即存在非零實(shí)數(shù)解，顯然，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）由定義可得，在上存在非零實(shí)數(shù)解，則在上存在非零實(shí)數(shù)解，即在上存在非零實(shí)數(shù)解，所以(在上存在非零實(shí)數(shù)解，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，∴，則方程在上有實(shí)數(shù)解，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，則，所以，故；當(dāng)時(shí)，則，即，故，綜上，，又為整數(shù)，則，所以的取值集合為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為新概念題，解題關(guān)鍵是正確理解“偽奇函數(shù)”“偽偶函數(shù)”的概念，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，利用換元的思想簡化運(yùn)算并完成計(jì)算.【變式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若.(1)已知試寫出、的表達(dá)式;(2)設(shè)且函數(shù)如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；(3)若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的"k階收縮函數(shù)"，已知，函數(shù)是上的“3階收縮函數(shù)”，求b的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)函數(shù)、在上的單調(diào)性可得出、的表達(dá)式；（2）若與恰好為同一函數(shù)，只需要在上是單調(diào)遞減，討論的取值由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合在上的單調(diào)性和值域，分，，三種情況討論求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則.（2）若與恰好為同一函數(shù)，只需要在上是單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，由，則，對(duì)稱軸，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)顯然在為單調(diào)遞減，故成立．當(dāng)時(shí)，令，由，則，只需，化簡得，解得，綜上所述，a的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，，由題意，對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在1,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，當(dāng)時(shí)，，即，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在1,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，由題意，當(dāng)時(shí)，，即，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，不恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，不恒成立，不符合題意.綜上所述，b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義問題，解題的關(guān)鍵在于確定新函數(shù)的解析式，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式成立的問題，再結(jié)合恒成立思想求解.【變式15-2】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)c，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“卷函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“卷函數(shù)”？并說明理由：(2)設(shè)是（1）中的“卷函數(shù)”，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，求的值.【答案】(1)函數(shù)為上的“卷函數(shù)”，理由見解析(2)(3)4【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）寫出函數(shù)的分段函數(shù)形式，再結(jié)合新定義判斷即可；（2）令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及題意可得不等式恒成立，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的值域可得，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)題意可得存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立，即，列出方程組即可求得m、c、n的值，代入函數(shù)驗(yàn)證是否滿足題意即可確定m、n的值，進(jìn)而求解.【詳解】（1）函數(shù)為上的“卷函數(shù)”，理由如下：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)或時(shí)，恒成立，所以函數(shù)為上的“卷函數(shù)”.（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，令，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，由題意，不等式對(duì)恒成立，即不等式恒成立，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)或時(shí)，恒成立，則，解得，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為.（3）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，則存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.所以恒成立，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立.此時(shí)，是區(qū)間上的“卷函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不是區(qū)間上的“卷函數(shù)”.綜上所述，，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）設(shè)指數(shù)函數(shù)且，則“”是“是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系直接判斷即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，“是增函數(shù)”“”，所以“”是“是增函數(shù)”的充要條件，故選：C.2．（24-25高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】利用函數(shù)，和的單調(diào)性，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，又是增函數(shù)，所以，則，故選：A.3．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【詳解】由題知，解得.故選：A.4．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】令，因?yàn)?，所以，則，令，，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，且，又，，所以，即函數(shù)的值域是.故選：C5．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別【分析】根據(jù)奇偶性可排除CD，根據(jù)或時(shí)，可排除B.【詳解】由于的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除CD,又當(dāng)或時(shí)，，可排除B,故選：A6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在R上的奇函數(shù)是常數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式、結(jié)合能成立思想，可得所求范圍．【詳解】因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以，所以.因?yàn)?，所以，解得，所以，檢驗(yàn)，此時(shí)為R上的奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)fx因?yàn)槟艹闪?，所以能成立，參變分離，即能成立.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），故選：D.7．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，則滿足不等式的的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】分別用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，然后將轉(zhuǎn)換為求解即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，在定義域?yàn)閮?nèi)任意選取兩個(gè)自變量，且，，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，即，即，結(jié)合單調(diào)性知，即，解得，所以的范圍是，故選：A.8．（24-25高一上·福建福州·期中）設(shè)函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】依題意可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減，則根據(jù)同增或同減分兩種情況討論即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增,若區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同增或者同減，①若兩函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，可得，解得；②若兩函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立，即，不等式組無解；綜上所述；.故選；C.二、多選題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)，，且，則下列關(guān)系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較AB,作出函數(shù)的圖像，借助函數(shù)圖象結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷CD.【詳解】，故可作出的圖象如圖所示，

由圖可知，要使且成立，則有且，故必有且，又，即為，所以．由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，故AD可能，CB不可能，故選：BC．10．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．若是偶函數(shù)，則B．無論取何值，都不可能是奇函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值小于1【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、由奇偶性求參數(shù)【分析】對(duì)于A，由函數(shù)定義得，由此即可驗(yàn)算；對(duì)于B，由實(shí)數(shù)域上奇函數(shù)的必要條件即可判斷；對(duì)于C，由指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于D，由復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的值域和最值即可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若是偶函數(shù)，則，所以，即可得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，不過點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，又在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以最大值大于等于1，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】利用圖象以及的值域來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，，，，當(dāng)時(shí)，，由解得或，而，結(jié)合圖象可知：.故答案為：12．（24-25高一上·福建福州·期中）設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】首先求出與的取值范圍，依題意可得的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集，即，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】函數(shù)，，則，函數(shù)，，則，因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，所以的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．（山東省百師聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若的最小值為3，求k的值；(3)在（2）的條件下，若不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、對(duì)勾函數(shù)求最值、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）由題設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）令，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論對(duì)稱軸的位置及題設(shè)求參數(shù)值；（3）問題化為有解，求右側(cè)最小值，即可得范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，而，所以；（2）令，則，開口向上且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上遞增，此時(shí)無最值，不滿足；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以，可得（正值舍）.（3）由題意有解，即有解，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又趨向正負(fù)無窮時(shí)，分別趨向于0、正無窮，故均趨向于正無窮，故只需，即.14．（廣西壯族自治區(qū)玉林市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且.(1)求出a，b的值，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由