高中數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題6納皮爾（以納皮爾為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）（含解析）

專題6納皮爾（以納皮爾為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）一、單選題1．16、17世紀(jì)，隨著社會(huì)各領(lǐng)域的科學(xué)知識(shí)迅速發(fā)展，龐大的數(shù)學(xué)計(jì)算需求對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算提出了更高要求，改進(jìn)計(jì)算方法，提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確度成了當(dāng)務(wù)之急．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，是簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對(duì)數(shù)稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算.【詳解】，所以．故選：A.2．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺，可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（

）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B【解析】【分析】由題意可知，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可知，整理得，，所以，，解得．空氣溫度是．故選：B．3．17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此可得答案.【詳解】,所以.故選：C4．1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)方法；1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)．若，，則的值約為（

）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化公式得，再結(jié)合換底公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：由指對(duì)數(shù)互化公式得故選：B5．17世紀(jì)初，約翰?納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始?微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.這一偉大發(fā)明被廣泛運(yùn)用至今，例如：我國(guó)自主研發(fā)的第一個(gè)火星探測(cè)器“天問(wèn)一號(hào)”，于2020年7月23日發(fā)射升空，2021年2月10日成功地進(jìn)入火星軌道，并于2021年3月4日傳來(lái)3幅高清火星影像圖.已知火星的質(zhì)量約為，“天問(wèn)一號(hào)”的質(zhì)量約為，則（

）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以故選：C6．如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)P沿線段AB（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離．令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)表示x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，當(dāng)點(diǎn)P從線段AB靠近A的三等分點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】易知，它們的初速度相等，故點(diǎn)的速度為，然后可以根據(jù)，求出在中點(diǎn)、三等分點(diǎn)時(shí)的，則點(diǎn)移動(dòng)的距離可求，結(jié)合速度、時(shí)間可求．【詳解】解：由題意，點(diǎn)初始速度即為點(diǎn)的速度．當(dāng)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)：，解得：，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)：，解得：，所以經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：．故選：D．7．納皮爾在他的《奇妙的對(duì)數(shù)表》一書(shū)中說(shuō)過(guò)：沒(méi)有什么比大數(shù)的運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛，更阻礙了天文學(xué)的發(fā)展.許凱和斯蒂菲爾這兩個(gè)數(shù)學(xué)家都想到了構(gòu)造了如下一個(gè)雙數(shù)列模型的方法處理大數(shù)運(yùn)算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我們發(fā)現(xiàn)512是9個(gè)2相乘，1024是10個(gè)2相乘.這兩者的積，其實(shí)就是2的個(gè)數(shù)做一個(gè)加法.所以只需要計(jì)算.那么接下來(lái)找到19對(duì)應(yīng)的數(shù)524288，這就是結(jié)果了.若，則落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從表格數(shù)據(jù)入手，得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】，設(shè)，，由表格得知：，，，，所以，，所以，，則故選：B8．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺，可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B【解析】【分析】依題意可得，即，即可得到方程，解得即可；【詳解】：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B9．如圖，假定兩點(diǎn)以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)沿直線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離（）.令與同時(shí)分別從出發(fā)，定義為的納皮爾對(duì)數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)表示與的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，當(dāng)點(diǎn)從線段的中點(diǎn)移動(dòng)到靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】它們的初速度相等，故點(diǎn)的速度為，然后可以根據(jù)，求出在中點(diǎn)、靠近的分點(diǎn)時(shí)的，則點(diǎn)移動(dòng)的距離可求，結(jié)合速度，時(shí)間可求．【詳解】解：由題意，點(diǎn)初始速度即為點(diǎn)的速度．當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)：，解得：，當(dāng)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)：，解得：，所以經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：．故選：C．10．1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；1707年歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這已成為歷史珍聞.若，，，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，估計(jì)的值約為（

）A．0.4961 B．0.6941 C．0.9164 D．1.469【答案】C【解析】利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得，再利用換底公式即可求出的近似值．【詳解】解：，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了換底公式的應(yīng)用；11．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)表，這一發(fā)明為當(dāng)時(shí)天文學(xué)家處理“大數(shù)運(yùn)算”提供了巨大的便利．已知正整數(shù)的31次方是一個(gè)35位數(shù)，則由下面的對(duì)數(shù)表，可得的值為（

）236789111213141516170.300.480.780.850.900.951.041.081.111.151.181.201.23A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得,即可求出,根據(jù)表即可求出.【詳解】因?yàn)檎麛?shù)的31次方是一個(gè)35位數(shù)，所以，則，即，所以，故選：B12．17世紀(jì)初，約翰·納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始?微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，經(jīng)常會(huì)把原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后再進(jìn)一步處理，之所以這樣做是基于對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且取對(duì)數(shù)后不會(huì)改變數(shù)據(jù)的相對(duì)關(guān)系，也可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，據(jù)此可判斷數(shù)(取)的位數(shù)是（

）A．108 B．109 C．308 D．309【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，選令，再兩邊取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)、計(jì)算、分析后就可以確定其位數(shù).【詳解】記.因?yàn)?，所以，于是，又因?yàn)槭且粋€(gè)309位數(shù)，是最小的310位數(shù)，且為整數(shù)，所以數(shù)的位數(shù)是309.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：事實(shí)上，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都可以表示成的形式，此時(shí)).當(dāng)時(shí)，是位數(shù).13．在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾（Napier，15501617年）．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽(yáng)中心說(shuō)”剛剛開(kāi)始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科．可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間．納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛(ài)好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)．在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來(lái)看看下面這個(gè)例子：

12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪．如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積，可以通過(guò)第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的和來(lái)實(shí)現(xiàn)．

比如，計(jì)算64×256的值，就可以先查第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字:64對(duì)應(yīng)6，256對(duì)應(yīng)8，然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加和起來(lái)：6＋8＝14；第一行中的14，對(duì)應(yīng)第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照這樣的方法計(jì)算：16384×32768=A．134217728 B．268435356 C．536870912 D．513765802【答案】C【解析】【分析】先找到16384與32768在第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字，進(jìn)行相加運(yùn)算，再找和對(duì)應(yīng)第二行中的數(shù)字即可.【詳解】由已知可知，要計(jì)算16384×32768，先查第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字:16384對(duì)應(yīng)14，32768對(duì)應(yīng)15，然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加起來(lái)：14＋15＝29，對(duì)應(yīng)第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)運(yùn)算的另外一種算法，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理解題意，屬于簡(jiǎn)單題.14．2013年9月7日，習(xí)近平總書(shū)記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講在談到環(huán)境保護(hù)問(wèn)題時(shí)提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論新．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（

）（其中，，）A．2559萬(wàn)元 B．2969萬(wàn)元 C．3005萬(wàn)元 D．3040萬(wàn)元【答案】B【解析】【分析】前7年投入資金可看成首項(xiàng)為160，公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項(xiàng)為260，公比為1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求．【詳解】2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，成等差數(shù)列，則2020年投入資金萬(wàn)元，年共7年投資總額為，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2024年投入資金成首項(xiàng)為，公比為1.1，項(xiàng)數(shù)為4的等比數(shù)列，故從2021年到2024年投入總資金為，故到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為萬(wàn)元．故選：15．16、17世紀(jì)之交，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，我們來(lái)估計(jì)2100有多大，2100為乘方運(yùn)算，我們對(duì)2100取常用對(duì)數(shù)，將乘方運(yùn)算降級(jí)為乘法運(yùn)算：lg2100=1001g2≈100×0.3010=30.10，所以2100≈1030.10=1030×100.10，則2100是幾位數(shù)（）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】C【解析】【分析】先閱讀題意、理解即時(shí)運(yùn)算，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】解：由100.1∈（1，2），所以1030×100.1∈（1030，2×1030），即2100是31位數(shù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)即時(shí)運(yùn)算的理解及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.16．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)表，這一發(fā)明為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)運(yùn)算”做出了巨大貢獻(xiàn)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)過(guò)：“對(duì)數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽命”比如在下面的部分對(duì)數(shù)表中，16，256對(duì)應(yīng)的冪指數(shù)分別為4，8，冪指數(shù)和為12，而12對(duì)應(yīng)的冪4096，因此根據(jù)此表，推算x123456789102481632641282565121024x111213141516171819202048409681921638432768655361310722621445242881048576x21222324252097152419430483886081677721633554432A．524288 B．8388608 C．16777216 D．33554432【答案】B【解析】【分析】先通過(guò)閱讀，理解題意后再進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理即可得解.【詳解】由上表可知：，，即512，16384對(duì)應(yīng)的冪指數(shù)分別為9，14，冪指數(shù)和為23，而23對(duì)應(yīng)的冪為8388608，因此．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀理解能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬簡(jiǎn)單題.17．16、17世紀(jì)之交，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，在此基礎(chǔ)上，布里格斯制作了第一個(gè)常用對(duì)數(shù)表，在科學(xué)技術(shù)中，還常使用以無(wú)理數(shù)e為底數(shù)的自然對(duì)數(shù)，其中稱之為“歐拉數(shù)”，也稱之為“納皮爾數(shù)”對(duì)數(shù)是簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，依據(jù)下表數(shù)據(jù)，的計(jì)算結(jié)果約為（

）x1.31023.1903.7974.71557.3970.27000.69311.16001.33421.5501.60942.001A．3.797 B．4.715 C．5 D．7.397【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及表格數(shù)據(jù)求，即確定的值.【詳解】，∴根據(jù)表格對(duì)應(yīng)關(guān)系知：結(jié)果約為3.797．故選：A.18．1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的反函數(shù)為（且）．已知函數(shù)，，則對(duì)于任意的，有恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)為增函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】由題意，的反函數(shù)．對(duì)于任意的，有，即，可轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．設(shè)，則在上恒成立即在上恒成立又，則，故選：D．二、填空題19．十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來(lái)天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即，現(xiàn)已知，，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)互化以及換底公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由，可得，所以，所以，故答案為?20．16/17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).后來(lái)天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即.現(xiàn)在已知，，則__________.【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)要求將指數(shù)式轉(zhuǎn)為對(duì)數(shù)式，作乘積運(yùn)算時(shí)注意使用換底公式去計(jì)算.【詳解】∵，∴，∴故答案為2【點(diǎn)睛】底數(shù)不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，有時(shí)可以利用換底公式：將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算.21．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的研究，最終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件．他的朋友布里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對(duì)數(shù)，并出版了常用對(duì)數(shù)表，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號(hào)是_______．①在區(qū)間內(nèi)；②是15位數(shù)；③若，則；④若是一個(gè)70位正整數(shù)，則．參考數(shù)據(jù)如下表：真數(shù)x235711131719（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279【答案】①④##④①【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此分析求解即可．【詳解】解：，則，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，即?6位數(shù)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，所以，則，則③錯(cuò)誤；因?yàn)椋驗(yàn)槭且粋€(gè)70位正整數(shù)，所以，所以，所以，故④正確故答案為：①④22．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來(lái)數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即，現(xiàn)已知，則______________.【答案】【解析】由題，分別化簡(jiǎn)的值代入即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、雙空題23．十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算發(fā)明了對(duì)數(shù)直到十八世紀(jì)才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，即．現(xiàn)在已知，則______；______．【答案】

8

【解析】利用對(duì)數(shù)指數(shù)互化求出的值，再求的值.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：（1）8；（2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)指數(shù)互化和指數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.24．在研究天文學(xué)的過(guò)程中，約翰納皮爾為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始?微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.已知，則實(shí)數(shù)x，y的大小關(guān)系為_(kāi)__________，___________.【答案】

##

【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系即可化簡(jiǎn)得到x，y的大小關(guān)系和的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故答案為：?5．十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰·納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來(lái)天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即．現(xiàn)已知，則________，________．【答案】

1【解析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可知，，即可求出的值；用對(duì)數(shù)式表示出和，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式即可求出．【詳解】因?yàn)椋?，即，，故．故答案為：?．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．26．十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算發(fā)明了對(duì)數(shù)直到十八世紀(jì)才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，即，現(xiàn)在已知，，則______，______用最簡(jiǎn)結(jié)果作答【答案】

8

【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)恒等式、換底公式即可得出．【詳解】，，則，．故答案為8，．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)恒等式、換底公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．27．16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).后來(lái)天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即.①若，則______；②若，，則______.【答案】

1【解析】【分析】①由有，即可得出答案.②由，,則，再由對(duì)數(shù)的換底公式可得答案.【詳解】①由，若有所以.②若，,則所以故答案為：(1).

(2).1【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互換和對(duì)數(shù)的換底公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.28．如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿直線作勻速運(yùn)動(dòng)，令，點(diǎn)P沿線段(長(zhǎng)度為單位)運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離.令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號(hào)表示x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)初速度___________；當(dāng)點(diǎn)P從線段的三等分點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為_(kāi)__________.【答案】

【解析】【分析】利用分別求出Q運(yùn)動(dòng)到線段的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)的距離，故經(jīng)