考研題庫(kù) 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》（第3版）配套題庫(kù)（真題+課后習(xí)題+章節(jié)題庫(kù)+模擬試題）（下冊(cè)）

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》(第3版)是我國(guó)高校電子信息類專業(yè)廣泛采用的權(quán)威教材之一，也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專業(yè)課參考書目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定考研參考書目為北京大學(xué)數(shù)學(xué)3版)的考生復(fù)習(xí)專業(yè)課，我們根據(jù)教材和名校考研真題的命題規(guī)律精心編寫了北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)輔導(dǎo)用書(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí)):1.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解[免費(fèi)下載]2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)配套題庫(kù)【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+章節(jié)題庫(kù)+模擬試題】(上冊(cè))[免費(fèi)下載]3.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)配套題庫(kù)【名校考研真題+課后習(xí)題+章節(jié)題庫(kù)+模擬試題】(下冊(cè))[免費(fèi)下載]第一部分為名?？佳姓骖}及詳解。本部分從指定北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》(第3版)為考研參考書目的名校歷年考研真題中挑選最具代表性的部分第二部分為課后習(xí)題及詳解。本部分對(duì)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》(第3版)教材第三部分為章節(jié)題庫(kù)及詳解。本部分嚴(yán)格按照北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》(第3版)教材內(nèi)容進(jìn)行編寫，每一章都精心挑選經(jīng)典常見(jiàn)考題，并予以第四部分為模擬試題及詳解。參照北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》(第3版)教材，根據(jù)各高校歷年考研真題的命題規(guī)律及熱門考點(diǎn)精心編寫了1套考前模擬試題，并提供詳盡、()提供全國(guó)各高校電子信息類專業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對(duì)一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(kù)(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí))、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、電子信息類國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書等。加研究生入學(xué)考試指定考研參考書目為北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)的考生，也1.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)2.質(zhì)量保證：每本e書都經(jīng)過(guò)圖書編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，顧問(wèn)團(tuán)隊(duì)嚴(yán)格審核目的考試要點(diǎn)，把重要考點(diǎn)全部固化為試題(或講義)形式，形成精準(zhǔn)領(lǐng)先及時(shí)的備考e3.免費(fèi)升級(jí)：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級(jí)4.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)e書閱讀器——工具欄豐富實(shí)用【為考試教輔量身定做】(2)便箋工具——做筆記、寫反饋【獨(dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好【獨(dú)家推出】5.品種齊全：包括全部職稱資格考試、、主要包括：、、,共3萬(wàn)余種，每天新上線約30種e書，每天下載約1萬(wàn)次。為您處理!()是一家為全國(guó)各類考試和專業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過(guò)班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫(kù)】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語(yǔ)、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類),合計(jì)近萬(wàn)小時(shí)的面授班、網(wǎng)授如您在購(gòu)買、使用中有任何疑問(wèn)，請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們，我們將竭誠(chéng)為您服務(wù)!全國(guó)熱線：(8:30～00:30),(8:30～00:30)詳情訪問(wèn)：http://(理工類)編輯部第一部分名?？佳姓骖}第8章λ-矩陣第9章歐幾里得空間第10章雙線性函數(shù)與辛空間第二部分課后習(xí)題第8章λ-矩陣*第9章歐幾里得空間第10章雙線性函數(shù)與辛空間第三部分章節(jié)題庫(kù)第8章λ-矩陣第9章歐幾里得空間第10章雙線性函數(shù)與辛空間第四部分模擬試題北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》(第3版)配套模擬試題及詳解第一部分名?？佳姓骖}第6章線性空間1.下面哪一種變換是線性變換().[西北工業(yè)大學(xué)研]2.在n維向量空間取出兩個(gè)向量組，它們的秩().[西北工業(yè)大學(xué)研]A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等若選(I)(IⅡ),秩(I)≠秩(II),從而否定A,若選(Ⅱ)(Ⅲ),秩(Ⅲ)=秩(Ⅱ),V={(a+bi,c+di)|a,b,【答案】2;4.查看答案則若kiβ+k?β+kB+k;B=0,其中k:∈R(i=1,2,3.4),則1.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上n維線性空間，V?和V?各為V的r?維和r?維子空間，試求V+V.之維數(shù)的一切可能值.[南京大學(xué)研]V?=L(a?,a2,…,a),V?=L(ai,a?,…2.設(shè)U是由((1,3.-2,2.3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2.9)生成的R的子空間，W是由((1,3,0,2,1),(1.5,-6,6,3),(2,5,3,2,1)生成的R3的子空間，求(2)LNW的維數(shù)與基底.[同濟(jì)大學(xué)研]a?=(1,3,-2.2.3),a?=(1.4,-3,4,2),a=(2.3可得U=L(a,a2,a)=L(α,a2).W=L(β,B,β)=L(B,B).所以U+W=L(ai·a2·β,B?).由于α1,a2,β為a1,a2,βi·β的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，因此又可得U+W=L(a?·a2·β).①因?yàn)橹葅aa2,β,β?=3.所以齊次方程組①的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量組成：,則故(為UNW的一組基.3.設(shè)A是數(shù)域K上的一個(gè)m×n,矩陣，B是一個(gè)m維非零列向量.令(1)證明：W關(guān)于K"的運(yùn)算構(gòu)成K"的一個(gè)子空間；(2)設(shè)線性方程組AX=B的增廣矩陣的秩為r.證明W的維數(shù)dimW=n-r+1:(3)對(duì)于非齊次線性方程組求W的一個(gè)基.[華東師范大學(xué)研]因?yàn)榇嬖趖i,t2使Aα=t?B,Aβ=t?B.所以A(ka+Iβ)=kAα+IAβ即ka+1β∈W,此說(shuō)明W是K"的子空間.(2)對(duì)線性方程組(A,B)Xn+1=0,由題設(shè)，其解空間V的維數(shù)為(n+1)-r(A,B)=n-r+1.Aα=LB.所是線性方程組(A,B)Xn+1=0的解.這樣，存在W到V的映射，顯然，這是W形到V的一個(gè)雙射.又Va?,α?∈W,k∈K,存在t?,t?∈K,使Aα?=t?B且可見(jiàn)W與V同構(gòu)，從而有dimW=dimV=n-r+1.(3)由(2)W與如下齊次線性方程組解空間同構(gòu).該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：51=(-1,-1,1,0,0)',ξ2=(-1,1,0,1,0)',ξ=(即為W的一組基.4.設(shè)V?,V?均為有限維線性空間V的子空間，且dim(V?+?)-dim(V,nV?)=1,則和空間Y+V?與V,V?中一個(gè)重合VnV?與另一個(gè)重合.[上海交通大學(xué)研]證明：因?yàn)閂,nv?CV,CV,+V?.由題設(shè)dim(V,+V?)=dimV,nV?+1,當(dāng)dimV,-dimV,nv,=0時(shí)，由V,nV?CV得V,nV?=V?,dimV,=dimV,nV?+1=dim(V?+V?).(1)存在α∈V,使得αEV,U…UV(f+g)(x)=f(x)+g(x),(a/)(x)=a((x)),VxER,解：(1)令kofo+kifi+kzf?+ksfs=0,分別取x=0,,π得說(shuō)明fo,fi,f?,f3(2)因?yàn)?lt;f,g>=L(f,g),<f?f>+<f?f>=L(?fif?S).第7章線性變換證明：取定線性空間V的一組基.設(shè)T,T?在該基下的矩陣仍記為T?,T?,顯見(jiàn)問(wèn)題等價(jià)于矩陣T?與T?相似的充要條件是，存在可逆陣S,使Pn中任給向量α.T?α=β如.可得必要性因T?與T?相似，則存在可逆矩陣S,使S?'T?S=T?.充分性由題設(shè)，存在可逆陣S,對(duì)Pn的自然基E,E?,…,E.由T?e,=β,可得T,S(e.)=SB..i=1.2.…,n.從而有即2.已知3階正交矩陣A的行列式為1.證明A的特征多項(xiàng)式一定為f(A)=x1-ax2+aλ-1.證明：由于A為3階正交矩陣.且AI=1.所以A特征值的模為1,且A必有特征值1.設(shè)A的特征值為因此A的特征多項(xiàng)式為f(A)=x3-(1+A?+A,)x2+(A,A?+A=λ3-(1+A,+λ)λ2+(1+λ?+λ,)A-1.-2=-(IA?I+IA,1)≤A?+λ,可得-1≤a=I+λ?+λ?≤3.3.(1)設(shè)σ為n維線性空間V的線性變換，f(λ)為σ的最小多項(xiàng)式.證明：如果f(λ)=g(λ)h(λ),且g(λ)與h(λ)L=|α∈VIg(a)α=0|,L?=|αEVI(2)設(shè)3維線性空間V的線性變換σ在一組基e,e?,e?下的矩陣求σ的最小多項(xiàng)式f(λ),并對(duì)于f(λ)的一次因式方冪的分解式將V分解成直和形式.[南京大學(xué)研]解：(1)證明：由題設(shè)f(σ)=g(σ)h(σ)=0.由于g(λ),h(λ)互素，所以存在多項(xiàng)式μ(λ)、v(λ)使u(A)g(A)+v(A)h(A)=1.從而有u(σ)g(σ)+b(σ)h(σ)=E.(E為恒等變換)h(σ)X?=h(σ)u(σ)g(σ)ξ=u(σ)g(σ)h(α)ξ=0.所以7=u(α)g(a)η+v(a)h(a)η=0.由(1)知V=L,④L?.α?=(1,0,0)',α?=(0,-1,1)與β=(0.1,0),A.B=0(1≤i≤n,i≠i).得k,=0(1≤i≤n,j≠i).n)均不是A的特征值.試證明V的變換ψ:X→XA+A'X為同構(gòu).[上海交通大學(xué)研]以V是滿射，證完.T(α)=x,T(a,)+…+x,T(a,)=x,b?+…+x,b,=0.而b?,…,bn為T(V)的基，所以x;=0(i=1,2,…故W+N(T)是直和.又因?yàn)閎,…,bn線性無(wú)關(guān)，且T(aj)=bi(i=1,2,.….,r),所7.問(wèn)是否存在n階方陣A,B,滿足AB-BA=E(單位矩陣)?又，是否存在n維線性空京大學(xué)2007研]并注意到tr(AB)=tr(BA),得0=n,矛盾.所以不存在方陣A,B,使AB-BA=E.AB-BA=E,則相應(yīng)的有AB-BA=E,矛盾.所以不存在n維線性空間上的線性變換A,Te?=e,Tez=e+e?,Te?=e+e?+e?.試求(1)T在E1,E2,E3中的變換公式；解：(1)設(shè)T在基ei+E2,e3下的矩陣為A,由①知(3)T'(T(e),T(e?),T(es))=(ee答：是.設(shè)7=(1,1,…,1)是n維列向量，則由A的各行元素之和為常數(shù)C,Aη=cy→A3=c3710.設(shè)(2)求A100.[清華大學(xué)研]當(dāng)λ=-2時(shí)，由(2E-A)x=0,數(shù).①11.構(gòu)造一個(gè)3階實(shí)對(duì)稱陣A,使其特征值為1,1,-1,并且對(duì)應(yīng)特征值1有特征向量B=(1.1.1)',β(2,2,1)·[復(fù)旦大學(xué)研]解：設(shè)屬于特征值-1的特征向量為β=(x?,xz,x?),因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱陣，所以β必由此可解得對(duì)應(yīng)于特征值-1的特征向量為將這些特征向量正交化得再單位化得則則故12.設(shè)A,B都是n階實(shí)矩陣，且A與A-B'AB都是正定矩陣，證明：(1)det(E+A)>1,其中E是n階單位矩陣(2)如果λ是B的特征值，那么|A<1.[武漢大學(xué)2009研]證明：(1)設(shè)，λ,…,λ是A的特征值，則1+λ是E+A的特征值，因?yàn)锳是正定矩陣，所以λ>0,i=1,2,…,n故det(E+A)=(1+A:)(1+λ?)…(1+λ)>1.ξ(A-B'AB)∈=EAE-(Be)'A(BE13.已知3階矩陣A的特征值為1,-1,2,設(shè)矩陣B=A1-5A2,試求：(1)矩陣B的特征值及其標(biāo)準(zhǔn)形，并說(shuō)明理由；(2)行列式B||及|A-5I|(I為3階單位陣).[清華大學(xué)研]解：(1)設(shè)A相應(yīng)于特征值為1,-1,2的特征向量分別為a1+az,as,由于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的，令T=(ai,a2,a),則T為可逆陣，且①(2)由①得|B|=(-4)(-6)(-12)=-正定實(shí)對(duì)稱方陣?如是，說(shuō)明理由；如不是，舉出反例.[南京大學(xué)研]答：A是正定的.下證A的任一特征值λ>0.設(shè)α是A屬于特征值的特征向量.則從而0=(A3-3A2+5A-3Ia=(A3-因?yàn)棣痢?,所以λ3-3x2+5λ-3=0,即(A-1)(2-2λ+3)=0.由于實(shí)對(duì)稱陣的特征值均為實(shí)數(shù)，因而知λ=1.即A的特征值全為1,所以A為正定陣.15.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上以(eeae.e為基底的線性空間，ψ為V上的線性變換①記Imψ={yly=ψ(x),Vx∈V為函的象空間，Kerψ=xlψ(x)=0,x∈V為ψ的核，試求Imψ,Kerψ.Imψ+Kerψ,ImψNKerψ[南京大學(xué)研]解：因?yàn)镮mψ=ψV=ψL(e,e?,,e)所以dim(Imψ)=2,ee為它的一組基.且dim(Kerψ)=4-dim(Imψ)=2.設(shè)中在1,ere,下矩陣為A,由①知且齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為6:=(eiezee)a:=e-e?·則Kerb=L(E.&),其中&,&為Ker的一組基.Imy+Kery=L(e?,e)+L(Imy+Kery=L(e,es.es),dim(Imp∩Kery)=dim(Imd)+dim(Kery)-dim(Imd令6=e-e,則ImsNKerd=L(&),且6為Im∩Kerv的一組基.16.設(shè)T是線性空間V上的線性變換，Z是V的非零向量.若向量組2.TZ.….TZ線性無(wú)關(guān)，而T"Z與它們線性相關(guān).證明：子空間W=L(Z.TZ,….T-Z)是T的不變子空間，并求在該組基下的矩陣.[華中科技大學(xué)研]設(shè)T在基Z.TZ.….TZ下的矩陣為A,則17.(1)設(shè)n階矩陣A和B有相同的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式，問(wèn)A與B是否相似?若dimV,(A)=dimV.(B)·這里V(A).V(B分別表示A,B的屬于λ的特征子空間.[武漢大學(xué)2009研]解：(1)矩陣A與B不一定相似，例如：塊構(gòu)成，B由兩個(gè)jordan塊構(gòu)成，是兩個(gè)不同的jordan標(biāo)準(zhǔn)形，所以A與B不相似.故dimV(A)=3-rank(AaE-A)=3-rank(A?E-B)=dimV,(B).和In都只能有以下3種可能性：現(xiàn)在，由于dimV(A)=dimV.(rank(A.E-J)=rank(AE-因此⊥=Jn,故A與B相似.第8章λ-矩陣一、分析計(jì)算題1.設(shè)n維線性空間V上的線性變換A一的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式相同.求證：3aEV,使得a,Aa,A'a,…,A?1a為v的一個(gè)基.[北京大學(xué)2007研]則A的前n-1個(gè)不變因子為1,1,.….,1,第n個(gè)不變因子為d.(A),容易知道，矩陣矩陣為A,即現(xiàn)在令a=EV,則Aa=8,A'a=62.證明：矩不能用相似變換對(duì)角化.[中國(guó)科技大學(xué)研]證明：由有一個(gè)一階子式為非零常數(shù)，因此有d?(A)=1,d.(A)=|AE-A|=a-3).即A的最小多項(xiàng)式為λ-3)2,它有重根，所以A不能對(duì)角化.3.設(shè)有一個(gè)6階矩陣①在①的右上角有一個(gè)5階子式等于b3,而b≠0.所以D(A)=1.d?(A)=d(A)=…=d(A)=1.A的初等因子為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為4.設(shè)A是n級(jí)冪等陣，且秩為r,試求(1)矩陣A的相似標(biāo)準(zhǔn)形，并說(shuō)明理由；(2)計(jì)解：(1)因?yàn)锳2=A,從而A有無(wú)重根的零化多項(xiàng)式g(A)=A-λ.由于e(A)無(wú)重根，所以A相似于對(duì)角陣，且特征值只能是1或0.再由秩A=r,所以存在可逆陣T,并有A的相似標(biāo)①其中Er,為r級(jí)單位陣.5.已知g(A)=(A2-2A+2)2(A-1)是6階方陣A的極小多項(xiàng)式，且tr(A)=6,(1)A的特征多項(xiàng)式f(λ)及若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.(2)A的伴隨矩陣A*的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.[華東師范大學(xué)研]解：(1)設(shè)A的不變因子為d(A),i=1,2,….,6.由于A的極小多項(xiàng)式是A的最后一個(gè)不變因子，所以d(A)=(A2-2A+2)2(A-1).又A的特征多項(xiàng)式/(A)=lλE-AI=d,(A)d?(A)…d?(A)為6次多項(xiàng)式，且tr(A)=6,所以d,(A)=A-1,d,(A)=1,i從而A的特征多項(xiàng)式S(A)=d?(A)d?(A)…d?(A)=(A有初等因子λ-1,λ-1,(λ-1+i)2,(λ-1+i)2,(λ-1-i)2.A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為(2)由(1)知，存在可逆陣P,使由于所以A*的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為6.設(shè)A為n階復(fù)方陣.證明：存在一個(gè)n維向量α,使α,Aα,…,A1α線性無(wú)關(guān)的充要條件是A的每一個(gè)特征根恰有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.[南京大學(xué)研]證明：→:由于3α,使n維向量組α.Aα,…,A*?1α線性無(wú)關(guān)，所以可令且由A(α,Aα,…,A?α)=(Aα,A2α,…,A*'αf(A)=IAE-Al=d.(A)=A?+bA?1+…+b,λ+b?令f(A)=(A-A.)'(A-A,)2…(A-A.)°,(A≠A.i≠j)則A的初等因子為所以A的每個(gè)特征子空間的維數(shù)均為1,即A的每個(gè)特征根恰有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.r(At-A)=n-1,從而A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中不同若當(dāng)塊的對(duì)角線元素互不相同，因此A的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.設(shè)A的最小多項(xiàng)式為則A與有相同的不變因子，因而A與B相似.取α=α?,則有α≠0,且α.Aα.….A?'α線性無(wú)關(guān).第9章歐幾里得空間矩陣.[浙江大學(xué)研]證明：(1)2.設(shè)n維歐氏空間的兩個(gè)線性變換0,T在V的基》:,n.下的矩陣分別是A和B,證則A'PA=B'PB.證：證法1:由于V恰由一切與V正交的向量組成，所以只要證明V∩V?≠0即可.所以V:④V?CV④V.所以dimV?≤dimV,與dimV,<dim而方程組(1)的方程個(gè)數(shù)r<未知量個(gè)數(shù)s,所以它有非零解.(a,t(β)).證明：(1)τ是V的線性變換；(2)t的值域Imt等于σ的核ker(σ)的正交補(bǔ).[武漢大學(xué)研]證明：(1)Vβ,α,γ∈V∈V,由題設(shè)可得(α,r(β+γ))=(o(α),β+α)=(σ(α=(α,7(β)+r(γ)).T(β+y)=T(β)+T(γ).(1)同理，有所以由式(1)、式(2)得t是V的線性變換.(2)可等價(jià)地證明ker(α)=(Imr)(α,T(β))=(σ(α),β)=(0,β)=0.所以(a(B),a(B))=(β.7(σ(β))=0.5.設(shè)S是酉空間V的一個(gè)非空集合，記證明：S是子空間，且SC(S+),并舉例說(shuō)明S=(S)不一定成立.[西安交通大學(xué)研](復(fù)數(shù)域),對(duì)任一γ∈S有所以(kα+Iβ,y)=k(α,y)+l(β.γ)=0.又Vξ∈S,ηeS+,由題設(shè)知(E.n)=0.S=(S+)不一定成立，如在酉空間C3=|(x?,x?,x,)lx?∈C,i=1,2,3中，取S={(0,0,6.在歐氏空間V中S是V的子空間，且①②[四川大學(xué)研]證明：(1)因?yàn)?a,a)=(β.β),所以(a+β,a-β=(a,a)+(a,-β)=(a,a)-(β.β)-(a,β)+(幾何解釋：表示菱形兩對(duì)角線互相垂直.(2)由已知有S1=(a∈V|(a,B)=0.VBES)仿上題可證S1是V的予空間，且V=SOS1,故①成立，且故S和(S1)+是同一子空間S的正交補(bǔ)，由正交補(bǔ)的惟一性，即證②.7.nXn實(shí)矩陣A和B,證明：A和B實(shí)相似的充要條件是復(fù)相似.[復(fù)旦大學(xué)研]證明：必要性顯然.下證充分性，設(shè)A與B復(fù)相似，即存在復(fù)可逆陣T=M+iH,使T'AT=B.其中M和H都是n階實(shí)方陣，由①有AT=TB,此即AM+iAH=MH+iHB>AM=MB.AH=HB.②因?yàn)門I=|M+iH≠0.故M+AHI不是零多項(xiàng)式，它在復(fù)數(shù)域上僅有有限個(gè)根，從而存在實(shí)數(shù)AP=AM+aAH=MB+aHB=PB.>P'AP=B.8.設(shè)T是酉空間V的一個(gè)線性變換，證明：下面四個(gè)命題互相等價(jià).(1)T是酉變換；(2)T是同構(gòu)映射；(3)如果E1,",En是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么Te,…,Te.也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；(4)T在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為酉矩陣.[湖南大學(xué)研]取E1,…,E。為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且令A(yù)=(A….A.),A為A的列向量，由①有③所以Te….Te.也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.基，且由⑤知B為酉矩陣.設(shè)④⑤G⑦由于D是酉矩陣，因此D|=±1.D可逆.故丁是V到V的雙射.Va.βEV.Vk∈C.有a=(e…e)x,β=(c,…)y.Ta=[T(…e)]x=(e,….e)(Dx)⑧Ts=(c…,c.)Dy所以T(ka)=(,….c.)kD=k(e由③,④,知故綜上所述丁是V的同構(gòu)映射.第10章雙線性函數(shù)與辛空間(a,kβ+k?β)=k?(a,β)+k?(a,β).(k?β+k?β,a)=k?(β,a)+k?(B,a).是一個(gè)雙線性函數(shù).求證：f為對(duì)稱的或反對(duì)稱的.[北京大學(xué)2007解：令Y=a.有f(a,β)f(a,a)=f(β,a)f((2)若Vα.都有f(a,a)=0,則Va,β·有/(a-β,a-β)=0,從而有f(a.a)-f(a,β-f(β.a)+f(β,β)=0.第二部分課后習(xí)題a∈MNN,即MMNN.這就證明了MNN=M.N.2.證明：MU(NNL)=(MUN)∩(MUL).證明：先證第一式.對(duì)a∈MN(NUL),有a∈M及a∈N或a∈L.于是a∈MNN或MNL,即a∈(M∩N)U(M∩L).故得MN(NUL)C(MNN)U(MNL).對(duì)a∈(MNN)U(MNL),有a∈MNN或a∈MNL.當(dāng)a∈MNN時(shí)，有a∈M及a∈N,從而證明了(MNN)U(M∩L)=MN(NUL).類似地可以證明第二式.3.檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：(1)次數(shù)等于n(n≥1)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；(2)設(shè)A是一個(gè)n×n實(shí)矩陣，A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(A)(3)全體n級(jí)實(shí)對(duì)稱(反對(duì)稱，上三角)矩陣，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法；(5)全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列，對(duì)于下面定義的運(yùn)算：(6)平面上全體向量，對(duì)于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：kα=0;(7)集合與加法同(6),數(shù)量乘法定義為：k*α=0;(8)全體正實(shí)數(shù)R+,加法與數(shù)量乘法定義為：kα=0.解：(1)否.該集合中沒(méi)有零多項(xiàng)式，即沒(méi)有零元素，故不能構(gòu)成線性空間.(2)是.令V={f(A)|f(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式}.給定f(A),g(A)∈V及k是實(shí)數(shù)，這時(shí)f(x)及g(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，可令f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x),貝k(x)及d(x)仍是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.于是f(A)+g(A)=h(A)∈V,kf(又V中元素皆為n×n實(shí)系數(shù)矩陣，矩陣的加法和數(shù)量乘法自然滿足線性空間的八條性質(zhì)，故V構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.(3)只對(duì)全體n×n實(shí)反對(duì)稱矩陣證明它對(duì)矩陣的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.設(shè)n×n實(shí)矩陣A和B皆為反對(duì)稱，即有則故它們都是實(shí)反對(duì)稱矩陣，即全體n×n實(shí)反對(duì)稱矩陣的集合對(duì)加法和數(shù)量乘法都封閉.又八條運(yùn)算性質(zhì)是自然具備的.故構(gòu)成實(shí)線性空間.(4)否.這集合中不含零向量，故不構(gòu)成線性空間.(5)是.令V是全體實(shí)二元數(shù)列的集合.按定義它對(duì)加法和數(shù)量乘法是封閉的.下面驗(yàn)證八條運(yùn)算性質(zhì).①加法交換律顯然成立.②加法結(jié)合律：=(a?+a?+as,b?+b?+a?a?+b?+a=(a?+a?+as,b?+b?+b?+a?a?+a兩者相等，故成立.③(0,0)是加法零元素.④(-a.a2-b)是(a,b)的負(fù)元素.⑧故V具備八條運(yùn)算性質(zhì)，構(gòu)成線性空間.(6)否.取平面上任一非零向量α,并取k=1.按線性空間運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)有kα=1α=α≠0.但按題目中定義則是k·α=0.故不符合線性空間的要求.(7)否.取平面上任一非零向量α,取k=0.按線性空間性質(zhì)應(yīng)有kα=0α=0.但按題目中定義0α=α≠0.故不符合線性空間的要求(8)是.首先R+對(duì)定義的加法和數(shù)量乘法是封閉的.下面逐條驗(yàn)證八條性質(zhì).①aOb=ab=ba=b田a;證明：(1)k0=k(α+(-α))=ka+k(-α)=ka+k(-1)α=ka+(-k)α=(k+(-k))α=0α=0.(2)k(α-β)=k(a+(一β))=ka+k(一β)=ka+k(-1)β=ka+(-1)kβ=ka互素矛盾.故ki=k?=k?=0,即fi(x),f?(x),f?(x)83=(1,-1,1,-1),84=(83=(1,1,0,0),E4=(0,1,-(2)令ξ=xi81+x282+x383+x484,由此得線性方程組8.求下列線性空間的維數(shù)與一組基：(1)數(shù)域P上的空間Pn×n;(2)Pn×n中全體對(duì)稱(反對(duì)稱，上三角)矩陣作成的數(shù)域P上的空間；(3)第3題(8)中的空間；(4)實(shí)數(shù)域上由矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中解：(1)令i即E;的元素除去第i行，第i列處為1外，其余全為零.:于是任意n×n矩陣是{Ej}的線性組合，故{Ej}是Pn×的一組基，且Pn×n是n2維的.(3)對(duì)任意a∈R+,令logioa=k,則a=10k=k-10,又10≠1,它不是R+的加法的零元素，故是線性無(wú)關(guān)的.于是10是R*這個(gè)線性空間的一組基，且R+是一維的.V={f(A)|f(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式}.及對(duì)任意k有對(duì)任意f(x)=ao+aix+.…+anx”,故V中任一元是E,A,A2的線性組合.現(xiàn)設(shè)aoE+a?A+a?A2=0.即有其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式故上述方程組只有零解，即ao=a?=a?=0.于是E,A,A2是線性無(wú)關(guān)的，因而是V的一9.在P?中，求由基ε,82,E3,ε4到基ηi,η2,η3,η4的過(guò)渡矩陣，并求向量ξ在所指基下的ξ=(1,0,0,0)在ε,82,83,84下的坐標(biāo)；ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐標(biāo).解：(1)εj,82,E3,ε4是單位向量組成的基.ni的各分量恰是它在此基下的各個(gè)坐標(biāo)，故就是過(guò)渡矩陣的第i列.因此過(guò)渡矩陣是(2)把8},82,8,e]和n7,n,η,n!分別按列排成矩陣M和N.記過(guò)渡矩陣為A,A的第i列A;就是η;,在ε,82,83,84下的坐標(biāo)向量，即ηi=(E1,82,83,84)Ai.用矩陣寫出來(lái)，就是再利用矩陣分塊運(yùn)算，就可寫成N=MA.于是經(jīng)計(jì)算得(3)仿照題(2),把，e2,aS,84和n.n,n.n分別按列排成矩陣M和N,記過(guò)渡矩陣為A.則有經(jīng)計(jì)算ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐標(biāo)是10.繼第9題(1),求一非零向量ξ,它在基ε1,82,83,84與ηi,η2,η3,η4下有相同的坐標(biāo).即(1,1,1,-1)在此兩組基下坐標(biāo)相同.11.證明：實(shí)數(shù)域作為它自身上的線性空間與第3題(8)中的空間同構(gòu).12.設(shè)V?,V?都是線性空間V的子空間，且V?SV?,證明：如果V?的維數(shù)和V?的維數(shù)相等，那么V?=V?.證明：設(shè)維(V?)=維(V?)=r,可取V?的一組基α1,a?,…,ar.因V?Cv?,這也是V?中r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，因維(V?)=r,故它是V?的基.因此V?={α1,α2,….,ar的全部線性組合}=V?.(1)證明：全體與A可交換的矩陣組成Pn×n的一子空間記作C(A);時(shí)，求C(A)的維數(shù)和一組基.解：(1)顯然C(A)非空，又是Pn×n中加法封閉和數(shù)量乘法封閉的子集，故構(gòu)成子空間.(2)Pn×n中任一矩陣都與E交換，故C(E)=Pn×n.則b;j=ibj,i,j=1,2,.….,n.故當(dāng)i≠j時(shí)有bj=0,即B是對(duì)角陣.反之，對(duì)角陣也屬于C(A)的一組基可取E,E?2,.….,Em,其維數(shù)為n.求P3×3中全體與A可交換的矩陣所成子空間的維數(shù)和一組基.解：令顯然B=(bj)3×3∈C(A)當(dāng)且僅當(dāng)B∈C(T),也即BT=TB.寫出來(lái)就是即為其中bi,b?1,bi?,b22,b32是自由未知量.分別對(duì)自由未知量取bi?=1,其余為零；b?2=1,其余為零；b32=1,其余為零；bi=1,其余為零；b??=1,其余為零，得5組解.分別對(duì)應(yīng)了C(A)中5個(gè)矩陣：任意B∈C(A)當(dāng)且僅當(dāng)b31=9b12+3b?2+3b32-3b-b?則B=bi?A?+b??A?+bi?A?+b??A且A,A?,A?,A?,As線性無(wú)關(guān)，故是C(A)的一組基.C(A)是5維的. (a,β)=L(β,γ).16.在P?中，求由向量αi(i=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù).設(shè)解：(1)把α,α2,α3,α4按列排成矩陣.對(duì)它用初等行變換來(lái)求極大線性無(wú)關(guān)組.它的第1,2,4列，是列向量的極大線性無(wú)關(guān)組.因而原矩陣的第1,2,4列也是自己的列向量的極大線性無(wú)關(guān)組.即α,α2,α4是α1,α2,α3,a?的極大線性無(wú)關(guān)組，也是L(a1,α2,α3,α4)的一組基.L(α,α2,α3,α4)是3維的.(2)按(1)題同樣的方法，可求出α1,α2是L(a?,α2,α3,α4)的一組基，而其維數(shù)是2.17.在P?中，求由n次方程組確定的解空間的基與維數(shù).得到一般解解空間的維數(shù)是2.解：(1)xia1+x2a?屬于L(a1,α2)∩L(βi,β2)當(dāng)且僅當(dāng)存在yiβ?+y?β2解：(1)xia1+x2a?Xiα1+x2a2+yiβ1+y?β?=0.可求得基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解(-1,4,3,-1),全部解是x(-1,4,3,-1).于是L-xa?+4xα2=x(-5,2,3,4).(5,-2,-3,-4)是它的基，它是一維的.(2)與(1)題同樣方法，知L(ai,α2)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x?a2是使得下列該方程組只有零解.故子空間L(ai,a2)∩L(β,β2)={0},沒(méi)有基.(3)L(a1,α2,α3)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x?a2+x3α3xia1+x2a2+x3a3+yiβ?有解的全部向量x?α1+x2a?+x3α3,將上述方程按各分量寫出來(lái)，得可求得它的全部解x(-3,1,2,1,0).故交子空間的全部向量是x(-3a?+a?+2a?)=xβi,它是一維的，β1是基.19.設(shè)V?與V?分別是齊次方程組x?+x?+.….+xn=0與x?=x?=…=xn的解空間，證明Pn=V?@V2.證明：任意(ti,t?,….,tn)∈Pn,可寫成其中第一個(gè)向量屬于V?,第二個(gè)向量屬于V?.故Pn=V?+V?.即有維(V?+V?)=n.又20.證明：如果V=V?OV?,V?=V1?@Vi?,那么V=V1?@vi?OV?.證明：由題設(shè)V=V+V1?+V?,只要證零向量在這些子空間的和中的分解式惟一.設(shè)0=ai+α2+β,其中α?∈V1,α?∈V12,β∈V?.來(lái)證α?=α2=β=0.因α?+a?∈V?,β∈V?,而V=V?@V?,于是β=0及α?+a?=0.而V?=V1?@V12,0=α2+α2又是0在Vn+Vi?中的分解，即得α?=α?=0.故V?VO?V??v?.21.證明：每一個(gè)n維線性空間都可以表示成n個(gè)一維子空間的直和.證明：取此空間V的一組基α1,α2,.….,an.顯然(an)是n個(gè)一維子空間的直和.22.證明：和是直和的充分必要條件是：證明：由故必要性成立.充分性.設(shè)有零向量的一個(gè)分解a?,…,as全為零.就證明了V?④V?④…④V,是直和.23.在給定了空間直角坐標(biāo)系的三維空間中，所有自原點(diǎn)引出的向量添上零向量構(gòu)成一個(gè)三維線性空間R3.(1)問(wèn)所有終點(diǎn)都在一個(gè)平面上的向量是否為子空間；(2)設(shè)有過(guò)原點(diǎn)的三條直線，這三條直線上的全部向量分別成為三個(gè)子空間L,L?,L?.問(wèn)L?+L?,Li+L?+L?能構(gòu)成哪些類型的子空間，試全部列舉出來(lái).(3)就用幾何空間的例子來(lái)說(shuō)明：若U,V,X,Y是子空間，滿足U+V=X,XY,是解：(1)若原點(diǎn)在所指的平面上，則終點(diǎn)在該平面上的全部向量構(gòu)成子空間.若原點(diǎn)不在該平面上，則零向量的終點(diǎn)不在該平面上，因而不在此向量集合中.故該集合不(2)設(shè)1,I?,13是過(guò)原點(diǎn)的三條直線(可以有重合的),1;,i=1,2,3,上全部向量作成1°考察L?+L?:當(dāng)1,1?重合時(shí)，L?+L?=Li=L?是一維子空間.當(dāng)l,I?不重合時(shí)，只交于原點(diǎn)，故LINL?={0},因而Li+L?=L?L?是直和，它是二維子空間.當(dāng)l,l?,1?在同一平面上，但不全重合時(shí)，不妨設(shè)l,I?不重合.各取1i上一個(gè)非零向量αi,是二維子空間.不共面的向量的線性組合.Li+L?+L?=L(a?)+L(α?)+L(α3)=三維幾何空間的全部向量.構(gòu)成三維空間.且因維(L?+L?+L?)=3=維(L?)+維(L?)+維(L?),L?+L?+L?=L?OL?OL3是直和.(3)不一定成立.例取過(guò)原點(diǎn)的不重合的兩直線l,l?.I和l?上的全部向量分別構(gòu)成兩個(gè)一維子空間U和V.U+V是1,1?決定的平面上全部向量組成的二維子空間.再取此平面上過(guò)原點(diǎn)的一條直線1,它不與l,I?重合.令它上面的全部向量構(gòu)成能子空間為Y.由(2)24.(1)證明：在P[x]n中，多項(xiàng)式fi=(x-a1).….(x-aj-1)(x-ai+1).….(x-an),i=1,2,…,n(2)在(1)中，取aj,a2,…,an是全體n次單位根，求由基1,x,…,xn-1到基fj,f?,….,fn的過(guò)渡矩陣.證明：(1)fi(x)的特性是fi(aj)=0,j≠i,fi(ai)≠0.設(shè)k?fi(x)+k?f?(x)+…+ki-1f-1(x)+kifi(x)+ki+1fi+1(x)+.…+knf用上述特性，將x=ai代入，得到kifi(ai)+..+ki-1fi-1(ai)+k;fi(ai)+ki+1fi+1(ai)+...+knfn(ai)=0.k?=k?=….=kn=0.這就證明了fi(x),f(x),…,fn(x)是線性無(wú)關(guān)的.又P[x]n是n維的，故fi(x),f?(x),…,fn(x)是它的基.上面Z是α在基α?,α2,…,an下的坐標(biāo)作成的列向量.在這同構(gòu)對(duì)應(yīng)下，線性組合對(duì)應(yīng)成坐標(biāo)列向量是Y?,Y?,...,Ys.則將它們按列排成矩陣就是A.即(βi,β2,….,βs)=(a1,α2,….,an)(Yi,Y2,...,Ys)=(a是β1,…,βr的線性組合，故任意Y;是Y?,…,YrYs的極大線性無(wú)關(guān)組.即r是A的秩.26.設(shè)f(x?,….,Xn)是一秩為n的二次型，證明：存在R的一個(gè)維子空間V?(其中s為符號(hào)差數(shù)),使對(duì)任一(x?,….,xn)∈V,有f(xi,X2,…,Xn)=0.證明：設(shè)經(jīng)可逆線性替換Z=CY,將f(x?,X?,….,Xn)變成標(biāo)準(zhǔn)形，即f(x?,X2,…,xn)=Z'AZ=(CY)不妨設(shè)p≤n-p.則下列向量集合構(gòu)成R"中一個(gè)子空間，其維數(shù)為p.任意向量Y=(yi,…,yp,)代入g(Y)有g(shù)(Y)=yr2….+yp2-yi2-…-yp2=0.但Y∈U,故f(Z)=g(Y)=0.由于對(duì)應(yīng)是同構(gòu)對(duì)應(yīng)，故V?也是p維的.而f(Z)=g(Y)的符號(hào)差s=(n-p)-p,故有這就證明了題目中的結(jié)論.同時(shí)成立.證明：因Vi,V?非平凡，故有a?∈V?,a?∈V:.若有a,EV?,或a?∈V,則已完成證明.若α?+α2是所要求的向量.28.設(shè)V,V?,…,Vs是線性空間V的s個(gè)非平凡的子空間，證明：V中至少有一向量不屬于V,V?,...,Vs中任何一個(gè).證明：對(duì)子空間的數(shù)目n作歸納法.當(dāng)n=1時(shí)顯然成立.設(shè)n=s-1時(shí)題目的結(jié)論成立.當(dāng)n=s時(shí).取陽(yáng)v,,又由歸納假設(shè)有α∈V?,V?,…,V1于是對(duì)任意V;,a,β不能同時(shí)屬于Vi.考察α+k;β,任意ki.若α+k;β∈Vi,則任何其他k≠k;有α十k;β∈Vi.否則由α+k;β∈Vi及α+k;β∈Vi,k≠k;,易得α,β∈Vi,矛盾，故對(duì)于任一V;,最多僅有一個(gè)值k;使α+kiβ∈Vi.取k∈P使k≠ki,k?,….,ks,則α+kβ∈V,i=1,2,…,5完成了歸納法.1.判別下面所定義的變換，哪些是線性的，哪些不是：(1)在線性空間V中，15=ξ+α,其中α∈V是一固定的向量；(2)在線性空間V中，lξ=α,其中α∈V是一固定的向量；(7)把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，解：(1)當(dāng)α=0時(shí)，/ξ=ξ,有4(ξ+η)=ξ+η=/ξ十/η,故/是線性變換.但(ξ)+(ξ)=ξ+α+ξ+α=2ξ+2a≠l(ξ+ξ).這時(shí)不是線性變換.(2)當(dāng)α=0時(shí)是線性變換.(3)計(jì)算下面式子.4(2(2,1,1))=l(4,2,2)=(16,4,4)≠2l(2,1,1).故不是線性變換.(4)由易知l(x?+yi,x?+y?,x3+y3)=l(xi,x?,x?)+l(yi,y?,y?)(5)由于知l(f(x)+g(x))=l(f(x))(6)由于故有l(wèi)(f(x)+g(x))=l(f(x))(7)不是，例(i·1)=i·1≠i=isf(1).(8)是.=B°=6=8,B≠B,但fG2=B2o2,(x,y,z)=(x,-z,y),B(x,y,6(x,y,z)=(-y,x,z).(1)lα=(x,-y.-z),a=(x,,-y),Aa=(x,y·z),故有=6.同樣有?=8,G?=6.LBα=(z,y,-x)=(z,x,y),8/α=B(x,-z,y)故≠Ssl.PgBα=a(-x,y,~z)=(-x,-y,z),故=F故/B-B=8.故-3/=6.B-BF=(B-O)+(LB-8)證明/是單射.對(duì)a,β,若有/α=β用1同乘此式兩邊，則左='(sla)=α,件是A可逆.即都是某元在變換下的像.即是滿射.再由定理11的推論，知4也是單射，故是可逆的.的垂直投影，是平面上的向量對(duì)82的垂直投影，求，B,l在基e?,82下的矩陣：(3)在空間P[x]n,中，設(shè)變換/為f(x)→f(x+1)-f(x),求在基(4)六個(gè)函數(shù)br,br,br,br,6)下的矩陣；(5)已知P3中線性變換基ηi=(-1,1,1),n?=(1,0,-1),η3=求在基ε=(1,0,0),E?=(0,1,0),E?=(0,0,1)下的矩陣；求在基E?=(1,0,0),82=(0,1,0),E?=(0,0,1)下的矩陣；/e?=(-1,1,0)=(E?,E?,E?)(-1.1(2)E?=(1,0),E?=(0,1).則故在E1,82下的矩陣為(3)計(jì)算…(4)略去計(jì)算.9在基e?,&2,…,En下的矩陣為(5)因故及在8,82,83下的矩陣是故(7)又因故E=aE?+cE?1,類似的計(jì)算可得2,在E,E12,E21,E22下的矩陣分別是9.設(shè)三維線性空間V上的線性變換在基ε,82,82下的矩陣為(1)求在基e?,82,81下的矩陣；(3)求在基81+82,82,E?下的矩陣.解：(1)在ε3,82,E?下的矩陣是10.設(shè)是線性空間V上的線性變換，如果E≠0.但ξ=0,求證ξ,ξ,….,QYk-lξa?S+a?Pξ+…+a-1ξ=0.得到a?=a2=.….=ak=0.因此5.5.…,線性無(wú)關(guān).11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換/與向量ξ,使得ξ≠0,但ξ=0.求證在證明：由上一題的結(jié)論，5,15,…,線性無(wú)關(guān)，因而是V的一組基.在這組基下的全體n級(jí)方陣.設(shè)在該基下矩陣為A.任一線性變換》,設(shè)在該基下矩陣為B.13.3/是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換.證明：如果在任意一組基下的矩證明：取V的一組基ε,82,…,En.設(shè)在該基下矩陣為A.我們證明A是數(shù)量矩陣.是一組基.于是在這組基下的矩陣是(E+Ej)?1A(E+Ej).A可交換.由第四章習(xí)題7的(3),知A是數(shù)量矩陣，從而是數(shù)乘變換.(1)求在基η?=8?-282+84,n?=382-83-84,η3=83+84,n4=2ε4下的矩陣；(2)求的核與值域；(3)在的核中選一組基，把它擴(kuò)充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣；(4)在的值域中選一組基，把它擴(kuò)充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣.解：(1)(2)設(shè)ξ∈'(0),ξ=x?E?+x?&2+xsE3+xE?則5=0.由定理3,有再求v.由定理10知slv=L(/8,,/8,,/8,/84).(3)易計(jì)算(81,82,ξ1,ξ2)=(81,82,83,84)Z,52=-8?-28?+84,得81=(1,0,1),82=(2,1,0),ηi=(1,2,-1),η2=(2,2,-1),η3=(2,-1,3E,=η,,i=1.2.3.(2)寫出在基ε1,82,E?下的矩陣；解：(1)令α?=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),則解此方程，得(2)因?yàn)樵诨?1,82,83下的矩陣就是Z.(c/η,/η2,/η?)=(/e?,證明：在任意n維線性空間V中取一組基E,82,…,En.作一線性變換，它在ε1,E2,…,8n下的矩陣是在新基下是同一線性變換在不同基下矩陣，故相似.17.如果A可逆，證明：AB與BA相似.相似.相似.相似.19.求復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換的特征值與特征向量，已知在一組基下的矩解：(1)故A的特征值為7,-2.求特征向量.對(duì)λ=7,相應(yīng)的齊次線性方程組為它的基礎(chǔ)解系為(1,1).于是的屬于特征值7的全部特征向量為k(ei+ε2),E?,E?對(duì)特征值λ=-2,相應(yīng)的方程組為其基礎(chǔ)解系為(4,-5).屬于特征值-2的全部特征向量為k(48?-582),k≠0,取所有數(shù)值.(2)當(dāng)a=0時(shí)，的特征值為0,任何非零向量都是特征向量.屬于λ=ai的全部特征向量為k(-iε?+ε2),k為任意非零復(fù)數(shù).屬于λ=-ai的全部特征向量為k(ie?+ε2),k為任意非零復(fù)數(shù).(3)特征值λ=2及-2.屬于特征值2的全部特征向量為k?(gi+82)+k?(E?+ε3)+k?(8i+ε4),其中k?,k?,k?為不全為零的任意數(shù)值.屬于特征值-2的全部特征向量為k(8?-82-83-E4),k≠0為任意數(shù).屬于特征值2的全部特征向量為k(281-82),k≠0為任意數(shù).取任意數(shù)值.取任意數(shù)值.(5)特征值為λ=1,-1.屬于特征值1的全體特征向量為k?(E?+ε3)+k?E?,kj,k?取不全為零的全體數(shù)值.屬于特征值-1的全體特征向量為k(e?-83),k≠0,取任意數(shù)值.(6)特征值為0及±√14i.屬于特征值0的全部特征向量為k(381-82+283),k≠0,取任意數(shù)值.屬于-√14i的全部特征向量為k((6-√14i)e+(-2-3√14i)g-10g),k≠0,取任意數(shù)(7)特征值為λ=1,-2.屬于特征值1的全部特征向量為k(38?-682+20ε3),k≠0,取任意數(shù)值.屬于特征值-2的全部特征向量為ke3,k≠0,取任意數(shù)值.20.在上題中哪些變換的矩陣可以在適當(dāng)?shù)幕伦兂蓪?duì)角形?在可以化成對(duì)角形的情況，寫解：由定理7知n維線性空間的線性變換的矩陣能在某組基下成為對(duì)角形的充要條件是它有n個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量.這樣，上一題中(1)到(6)都可以化成對(duì)角形，而(7)不可能.下面分別寫出其過(guò)渡矩陣T.(1)一對(duì)線性無(wú)關(guān)的特征向量作為基，其過(guò)渡矩陣是(3)取四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基，其過(guò)渡矩陣(4)取三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基，其過(guò)渡矩陣為在該基下矩陣為(5)取三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基，其過(guò)渡矩陣為(6)取三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為基，其過(guò)渡矩陣為21.在P[x]。中(n>1),求微分變換⑨的特征多項(xiàng)式，并證明9在任何一組基下的矩陣都不可能是對(duì)角矩陣.解：取P[x]n的基為1,x,…,x-1,則9在該基下矩陣為它只有0為特征值.(0·E-D)=-D的秩為n-1,因此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中只一個(gè)解.即D只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.而P[x]n的維數(shù)x>1.由定理7,9任何基下的矩陣都不是對(duì)角陣.A的特征值為1,±5.屬于1的特征向量設(shè)為(xi,X2,x3)',則取一個(gè)解(1,0,0)',它是A的屬于特征值為1的特征向量.屬于5的特征向量設(shè)為(xi,X?,x?)',則取一個(gè)解(2,1,2)',它是A的屬于5的特征向量.屬于-5的特征向量設(shè)為(2,1,2)',則令23.設(shè)ε1,82,83,ε4是四維線性空間V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為(1)求在基(2)求的特征值與特征向量；(3)求一可逆矩陣T,使T1AT成對(duì)角形.解：(1)屬于特征值0的特征向量設(shè)為xini+x2n?+x3η3(1,0,0,0)及(0,1,0,0)是它的一組基礎(chǔ)解系.屬于特征值0的全部特征向量為屬于特征值1的特征向量設(shè)為xini+x?n2+x3η3+x4n4,則xi,X2,X3,x4滿足方程組(-7,5,3,5)是基礎(chǔ)解系.屬于特征值1的全部特征向量是k(-7ni+5n?+3η3+5η4)=k(3ε?+ε2+83-282),k≠0,取任意數(shù)值.1(-8,6,1,2)是它的基礎(chǔ)解系，屬于2的全部特征向量是k(-8ηi+6n?+η3+2η4)=k(48?+2ε2-83-684),k≠0,取任意數(shù)值.則24.(1)設(shè)λ,λ2是線性變換的兩個(gè)不同特征值，ε,82是分別屬于λ,λ2的特征向量，(2)證明：如果線性空間V的線性變換以V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量.那么是數(shù)乘變換.證明：(1)反證法.設(shè)(8?+82)=λ(e?+8?)但(e?+8?)(λ-λ?)e?+(λ-λ?)e?=0.是特征向量.(2)任取V的兩個(gè)非零向量α1,α2,由題設(shè)它們都是的特征向量，且它們的和也是特征向量.由(1)知α1,α2,屬于同一個(gè)特征值.因此V中任一非零向量都是屬于同一特征值的特征向量，就是數(shù)乘變換.25.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，,是V的線性變換，且8=明(2)34,S至少有一個(gè)公共的特征向量證明：(1)設(shè)α∈山，則：α=λoα.于是即有a∈V故山是的不變子空間.、V.(2)‘么是的不變子空間，令是4上的線性變換.因么是復(fù)數(shù)域上線性空間，26.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換在基ε1,82,…,En.下的矩陣是一若爾當(dāng)塊.證明：(2)V中任一非零/一子空間都包含En;(3)V不能分解成兩個(gè)非平凡的/-子空間的直和.證明：(1)設(shè)即有(/-λ?c)ε?=82,(a/-λo6)&設(shè)W是/-不變子空間，含有ε,則含有則W含有V的一組基E?,82,…,En.即基礎(chǔ)解系是(0,0,…,0,1).全部特征向量是ken,k≠0,取任意復(fù)數(shù)值.任取V中的一個(gè)非零的-子空間W,llw在W上必有復(fù)特征值，它也是/-的特征值，27.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式解：(1)以A記題目所設(shè)的矩陣.它的特征多項(xiàng)式為A的最小多項(xiàng)式是(λ-1)2(λ+1)的因式.現(xiàn)計(jì)算得到A-E≠O,A+E≠O,但(A-E)(A+E)=0.故A的最小多項(xiàng)式為λ2-1.(2)仍以A記題目所設(shè)的矩陣.它的特征多項(xiàng)式為(1)如果(x+8)2=+.那么=0;那么(+B-)2=+-h.證明：(1)(+B)2=sP+B+Bs/+B2=+B+B+Bs1.因題設(shè)(+A)2=+沸，得+/=0,于是=-Bs1.又B=B=-B./=92=Bs/=-l8,(2)(/+B-B)2=sP+另2+(B)2+&B-PB-8lB+l-Bs/-LB2=/+B+PB2+lB-B-QB+B-B-B=/+B-lb.+1個(gè)元素皆線性相關(guān).,,….是該空間中n2+1個(gè)元素，必線性相關(guān).故存在不a?&+a?l+a?F2+…+a22=0.f(x)十v(x)g(x).于是d(/)=u(s)f()+v(c)g(c)=0.(3)必要性.由(1),有ao,ai,.….,an2不全為零使an&+a,d+…+a.22=0.充分性.設(shè)f(x)=an+ax+.…+axk,ao≠0,使f()=0.1證明：(1)設(shè)在某基下的矩陣A,則的特征值入就是A的特征值.由于為零.即入?1是/的特征值.32.設(shè)是線性空間V上的線性變換，證明的行列式為零的充分必要條件是以零作33.設(shè)A是—n級(jí)下三角矩陣，證明：(2)如果ai1=a22=.…=amm,而至少有一aiojo≠0(io>jo),那么A不與對(duì)角矩陣相似.2)數(shù)量矩陣只與自己相似.不同的特征值.由定理8的推論1,A相似于一個(gè)對(duì)角陣.(2)A若與對(duì)角陣相似，則A與它有相同特征值.于是{bi,b?,…,bn}與{a11,a22,…,am}相同，則有b?=b?=….=bn.因而它是數(shù)量矩陣、數(shù)量矩陣可與任何矩陣交換，它只能相似于自己.若A與它相似，則A必為數(shù)量矩陣.但現(xiàn)在A不是數(shù)量矩陣，矛盾.故A不能相似于對(duì)角陣.34.證明：對(duì)任一n×n復(fù)系數(shù)矩陣A,存在可逆矩陣T,使T1AT是上三角矩陣.證明：一種方法，它相似于若爾當(dāng)形，即相似于一個(gè)下三角陣.把基的次序換一下就可得上三角陣.另一種方法是直接證明：取n維線性空間V的一組基ε,82,.….,En.作V上的一個(gè)線性變換，使在該基下的矩陣為A.由于是復(fù)數(shù)域，必有復(fù)特征值，取一個(gè)特征值λ及及則有對(duì)A的級(jí)數(shù)n作歸納法.n=1,結(jié)論顯然成立.又設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立，即對(duì)(n-1)級(jí)方陣B有可逆陣T?,使Z1BT?,為上三角陣.則由于2BT?已是上三角陣，故上式右端成為上三角陣.令間.這時(shí)a≠0.當(dāng)-的核是零子空間時(shí)，當(dāng)然a也不在-的核中.故這a不在Es+1,…,8r.W=L(sle,,…,e,8(L+1E+1+…+Le,)=0.于是…8+…+L8.∈'(0).它又須是81,…,的線性組合，就有一組數(shù)11,l?,…,(1)4與有相同值域的充分必要條件是B=另，/=;&/V=B.VCSVa∈V使α=0,則/α=/Bα=0.故'(0)=S1(0)必要性.已知1(0)=S1(0).得B(β-β)=Bβ-Bs/β=0,即β=B.β,同樣可證/=/6..解：(1)因?yàn)镈?(λ)=λ,=λ?-10x3-3x2=λ2(λ2-所以d?(λ)=λ,d?(λ)=λ(λ2-10λ-3),(2)作初等變換(3)初等因子：λ,λ,λ+1,(λ+1)2.(4)初等因子：λ,λ,λ2,λ-1,λ-1,(λ-1)2.(5)標(biāo)準(zhǔn)形為：(6)標(biāo)準(zhǔn)形為：2.求下列λ-矩陣的不變因子：1所以不變因子為1,1,(λ-2)3.所以，不變因子為(3)當(dāng)β=0時(shí)，原矩陣成為此時(shí)D?(λ)=D?(λ)=1,D?(λ)=(λ+a)2,D?(λ)=(λ+a不變因子為1,1,(λ+a)2,(λ+a)2.有一個(gè)3級(jí)子式與D?(λ)互素.所以得D?(λ)=D?(λ)=D?(λ)=1.因此不變因子為的不變因子證明：記則|A|=λ+aiλ-1+a2λ-2+.….+an-1λ+anA有一個(gè)n-1級(jí)子式因此從而所以A的不變因子是4.設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)n×n矩陣，證明A與A"相似.證明：因?yàn)槎薊-A與(λE-A)"的各個(gè)子式之間按轉(zhuǎn)置關(guān)系有一個(gè)一一對(duì)應(yīng).對(duì)應(yīng)的子式因?yàn)楸舜藘r(jià).根據(jù)本章定理7,A與A"相似.求A".解：將A表成其中可交換，并且所以6.求下列復(fù)系數(shù)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：解：(1)所以A有3個(gè)不同的特征值，A可以對(duì)角化.A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為：λE-A有二個(gè)互素的2級(jí)子式：所以D?(λ)=D?(λ)=1.又因所以A的初等因子有λ+3,(λ-1)2.A的若爾當(dāng)形為：所以不變因子為1,1,(λ-1)3;初等因子為(λ-1)3.若爾當(dāng)形為：(5)|λE-A|=(λ-1)(λ2+1)=(λ-1初等因子為λ-1,λ-i,λ+i.若爾當(dāng)形為：(6)用初等變換將λE-A化為標(biāo)準(zhǔn)形所以A的初等因子為λ,λ,λ-2.A的若爾當(dāng)形為：(7)初等因子：λ,λ2.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(8)初等因子：(λ-2)3.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(9)初等因子：λ,(λ+1)2.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(10)不變因子：1,1,f(λ)=λ3+30λ-8.初等因子：λ-λ,λ-λ2,λ-λ3,其中λ,這里若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：λE-A有下面2個(gè)3級(jí)子式是互素的：D?(λ)=D?(λ)=D?(λ)=1,D?(λ)=|λE-A|d?(λ)=d?(λ)=d?(λ)=1,d?初等因子：(λ-1)4.(12)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(13)對(duì)特征矩陣進(jìn)行初等變換不變因子：1,1,λ-1,(λ-1)(λ2-14λ+19)不變因子：1,1,...,1,λ"-1,初等因子：λ-εi,λ-82,…,λ-8n,其中故A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為7.把習(xí)題6中各矩陣看成有理數(shù)域上矩陣，試寫出它們的有理標(biāo)準(zhǔn)形.提示求出A的不變因子，應(yīng)用伴侶陣(本章§7定義8),寫出有理標(biāo)準(zhǔn)形.證明：(1)因?yàn)锳是d(λ)的伴侶陣，所以d(λ)是A的特征多項(xiàng)式，因此d(A)=0,則又單位矩陣可表成都是(n-1)×n矩陣.線性無(wú)關(guān)，對(duì)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式g(λ),g()≠0.d;(λ)|di+1(λ),i=1,2,.….,s-1,其中d;(λ)是的次數(shù)最高的不變因子.用B;表示d;(λ)的伴侶矩陣，i=1,2,.….,s那么A與下列矩陣相似即得ds(A)=0.由于d(λ)是Bs(λ)的最小多項(xiàng)式，因此ds(λ)是A的最小多項(xiàng)式，也就是的最小多項(xiàng)式.1.設(shè)A=(aj)是一個(gè)n級(jí)正定矩陣，而α=(xi,X2,….,xn),β=(y在R"中定義內(nèi)積(α,β)為(1)證明在這個(gè)定義之下，R"成一歐氏空間；(2)求單位向量ε?=(1,0,….,0),E?=(0,1,.….,0),…,En=(0,0,…,1)的度量矩陣；(3)具體寫出這個(gè)空間中的柯西-布涅柯夫斯基不等式.證明：(1)①(a,β)=αAβ'=(aAβ')'=βA'α'②(ka,β)=(kα)Aβ'