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貴州省榕江縣第三高級(jí)中學(xué)2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.52.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.3.已知,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.5.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線6.從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.7.曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.88.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線過(guò)的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知,,,是球的球面上四個(gè)不同的點(diǎn),若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.10.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.11.第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行,為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn):通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬在長(zhǎng)為10,寬為6的長(zhǎng)方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn),經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè),已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()A. B. C. D.12.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,則____________.14.已知數(shù)列的首項(xiàng),函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),則數(shù)列|的前項(xiàng)和__________.15.設(shè)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.16.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求及的值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線為,試求實(shí)數(shù),的值;(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,,若不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.(10分)每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”,以交通業(yè)為例,當(dāng)天氣太冷時(shí),不少人都會(huì)選擇利用手機(jī)上的打車(chē)軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車(chē)出行,出租車(chē)公司的訂單數(shù)就會(huì)增加.下表是某出租車(chē)公司從出租車(chē)的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位:℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車(chē)訂單數(shù)(單位:份);日平均氣溫(℃)642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210(1)經(jīng)數(shù)據(jù)分析,一天內(nèi)平均氣溫與該出租車(chē)公司網(wǎng)約訂單數(shù)(份)成線性相關(guān)關(guān)系,試建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí),該出租車(chē)公司的網(wǎng)約訂單數(shù);(2)天氣預(yù)報(bào)未來(lái)5天有3天日平均氣溫不高于,若把這5天的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù),根據(jù)表格數(shù)據(jù),則從這5天中任意選取2天,求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.3、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)?,所以,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對(duì)于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.4、A【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,該函?shù)為偶函數(shù),排除B、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.5、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)椋云矫?,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.6、A【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線方程可得,,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?,所以,故,解得,又切線過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.8、D【解析】
求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、A【解析】
由題意畫(huà)出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過(guò)E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.10、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積,再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為,由于,所以,故可得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問(wèn)題求解,屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】
先利用對(duì)稱(chēng)得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對(duì)稱(chēng)性可得:為的中點(diǎn),且,所以,因?yàn)?,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的知識(shí),考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于容易題.14、【解析】
由函數(shù)為偶函數(shù),可得唯一零點(diǎn)為,代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列,最后運(yùn)用分部求和可得答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),在上有唯一零點(diǎn),所以,∴,∴,∴為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng),考查了數(shù)列的分部求和,屬于中檔題.15、【解析】
求函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,作出函數(shù)的圖象,設(shè),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿足或,利用一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,由得:,解得,由得:,解得,即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,同時(shí)也是最大值,(e),當(dāng),,當(dāng),,作出函數(shù)的圖象如圖,設(shè),由圖象知,當(dāng)或,方程有一個(gè)根,當(dāng)或時(shí),方程有2個(gè)根,當(dāng)時(shí),方程有3個(gè)根,則,等價(jià)為,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿足或,則,即(1)解得:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.16、【解析】
只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可,在中,利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長(zhǎng)為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題,考查學(xué)生的空間想象能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)首先可得,再面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,∵,∴,,,,∴,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)由折疊過(guò)程知與平面垂直,得,再取中點(diǎn),可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點(diǎn),以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出線段長(zhǎng),得出各點(diǎn)坐標(biāo),用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點(diǎn),連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點(diǎn),令,則,由,,∴,解得,故.以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則.又易知平面的一個(gè)法向量為,.∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角.證線線垂直,一般先證線面垂直,而證線面垂直又要證線線垂直,注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角,常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角.19、(1)(2);【解析】
(1)由代入中計(jì)算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,可得:,∴,或(舍),∵,?(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.20、(1)的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】
(1)先把曲線的參數(shù)方程消參后,轉(zhuǎn)化為普通方程,再利用求得極坐標(biāo)方程.將,化為,再利用求得曲線的普通方程.(2)設(shè)直線的極角,代入,得,將代入,得,由,得,即,從而求得,,從而求得,再利用求解.【詳解】(1)依題意,曲線,即,故,即.因?yàn)?,故,即,?(2)將代入,得,將代入,得,由,得,得,解得,則.又,故,故的面積.【點(diǎn)睛】本題
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