2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理訓(xùn)練含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE8-第六章6.26.2.1請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成[練案28]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(多選題)已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，肯定能使a，b共線的是(AB)A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b[解析]由A得a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，∵a，b非零向量，∴a∥b，∴A正確；由共線定理知B正確；當(dāng)x，y都是0時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；梯形不肯定AB∥CD可能另兩邊平行，故選D錯(cuò)誤．故選AB．2．如圖，設(shè)點(diǎn)O是□ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).可作為該平面內(nèi)全部向量的一組基底的是(B)A．①② B．①③C．①④ D．③④[解析]①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線；②∵eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))不共線；④∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線．由平面對(duì)量基底的概念知①③可構(gòu)成平面內(nèi)全部向量的一組基底．3．如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括邊界)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿意(B)A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，由于點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則依據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知aeq\o(OP1,\s\up6(→))與eq\o(OP1,\s\up6(→))方向相同，beq\o(OP2,\s\up6(→))與eq\o(OP2,\s\up6(→))方向相反，∴a＞0，b＜0.故選B．4．如圖，在△ABC中，M，N，P是AB的四等分點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，則下列正確的是(A)A．eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋eq\f(1,4)e2，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2C．eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1－e2，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1＋e2)D．eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1－e2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2[解析]∵N為AB的中點(diǎn)，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)．又∵M(jìn)是AN的中點(diǎn)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2＋\f(1,2)e1＋\f(1,2)e2))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2.∴選項(xiàng)A正確．選項(xiàng)B中應(yīng)是eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2；選項(xiàng)C中eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(e1－e2)；選項(xiàng)D中eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2．5．設(shè)a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線，則實(shí)數(shù)λ的值等于(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]∵向量a＋λb與－(b－2a)共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1,λ＝－k))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),λ＝－\f(1,2)))．二、填空題6．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_－1或3__．[解析]由題意知ma－3a＝λ[a＋(2－m)b]∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ,－3＝λ2－m))解得m＝－1或m＝3．7．如圖，在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，若選擇基底{a，b}，則eq\o(MN,\s\up6(→))在此基底下的分解式為_(kāi)_eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a__．[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)A．8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示為a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，則λ＝__eq\f(5,2)__,μ＝__－eq\f(1,2)__．[解析]由條件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,2)，,μ＝－\f(1,2).))三、解答題9．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的非零向量．(1)若a＝λe1＋4e2與b＝e1＋λe2共線，求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，則當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線．[解析](1)∵a，b共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kB．即λe1＋4e2＝k(e1＋λe2)，∴λe1＋4e2＝ke1＋kλe2．∵e1，e2是不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,kλ＝4.))解得λ＝±2．(2)∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．若A，B，D三點(diǎn)共線，則肯定存在唯一實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))．即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴(λ－2)e1＝(k＋4λ)e2．∵e1，e2是不共線的非零向量，∴λ－2＝k＋4λ＝0，解得λ＝2，k＝－4λ＝－8．∴當(dāng)k＝－8時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線．10．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E、F為BC的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))、eq\o(AF,\s\up6(→))．[解析]如圖，Aeq\o(D,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)B．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．點(diǎn)C在線段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ為(C)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)[解析]由題意，點(diǎn)C在線段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λ(eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,5)λeq\o(AB,\s\up6(→))，∴－eq\f(2,5)λ＝eq\f(3,5)，∴λ＝－eq\f(3,2)，故選C．2．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＝(D)A．－1 B．－2C．－2或1 D．－1或2[解析]∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)k使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2＝kλ－1，))解得λ＝－1或2.故選D．3．在△ABC中，E為AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC邊的中點(diǎn)，BF交CE于點(diǎn)G.若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，則xy等于(C)A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(4,3)[解析]由題意知：G是△ABC的重心，延長(zhǎng)AG與邊BC交于點(diǎn)D．∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又因?yàn)辄c(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC邊的中點(diǎn)，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))，即x＝y(tǒng)＝eq\f(2,3)，∴xy＝eq\f(4,9).故選C．4．(多選題)下列敘述正確的是(BCD)A．若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbB．b＝3a(a為非零向量)，則a，b共線C．若m＝3a＋4b，n＝eq\f(3,2)a＋2b，則m∥nD．若a＋b＋c＝0，則a＋b＝－c[解析]推斷非零向量a與b共線的方法是：存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，在選項(xiàng)A中，若a＝b＝0時(shí)成立，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；在選項(xiàng)C中，m＝2n，所以m∥n，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)也正確．二、填空題5．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_(－∞，4)∪(4，＋∞)__．[解析]若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線．a(chǎn)＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4．6．D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列結(jié)論：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)A．其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_①②③__．[解析]如圖，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a，①正確；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，②正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，③正確；④eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，④不正確．三、解答題7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解析](1)若a，b共線，則存在v∈R，使a＝vb，則e1－2e2＝v(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝1，,3v＝－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝1，,v＝－\f(2,3).))所以v不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1))所以c＝2a＋B．(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝