專題23 全等三角形旋轉(zhuǎn)法（解析版）

專題23全等三角形旋轉(zhuǎn)法

一、單選題

1．如圖所示，ABAD且ABAD，ABC為直角三角形，ACB90，已知BC2，AC5，則四邊

形ABCD的面積為（）

2535

A．B．15C．D．20

22

【答案】C

【詳解】解：過A作AEAC，過D作DEAE，垂足為E，如圖，

∴DE∥AC，

∵ABAD且ABAD，

∴BADCAE90，即BACCADDAECAD90，

∴BACDAE，

∵ACB90，

∴ACBE90，

∴△BAC≌△DAEAAS，

∴DEBC2，AEAC5，SABCSADE，

∴四邊形ABCD的面積為S△ABCS△ADCS△ADES△ADCS梯形ACDE

25535

．

22

故選：C．

2．如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA6，PB8，PC10，若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)

后得到△CQB，則APB的度數(shù)．（）

第1頁共47頁.

A．90B．120C．150D．165

【答案】C

【詳解】解：連接PQ，由題意可知ABP≌CBQ，

則QBPB8，PAQC6，ABPCBQ，

∵ABC是等邊三角形，

∴ABCABP+PBC60，

∴PBQCBQ+PBC60，

∴VBPQ為等邊三角形，

∴PQPBBQ8，

又∵PQ8，PC10，QC6，

∴PQ2＋QC2=PC2，

∴PQC90，

∵VBPQ為等邊三角形，

∴BQP60，

∴BQCBQPPQC150

∴APBBQC150，

故選C．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，則Rt△ADC的周長為（）

第2頁共47頁.

A．52B．72C．92D．122

【答案】D

【詳解】解：延長DC到E，使CE＝AD，連接BE，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∵∠BCE+∠DCB＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD，

在△ADB和△CEB中，

ABCB

BADBCE

ADCE

∴△ADB≌△CEB（SAS），

∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7，

∵∠1+∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，

∴△DBE為等腰直角三角形，

∴DEDB2BE272，

∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，

∴ACAB2BC252

∴Rt△ADC的周長＝AD+DC+AC，

＝CE+CD+AC＝DE+AC＝122，

故選D．

4．如圖，O是正ABC內(nèi)一點，OA3，OB4，OC5．將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°

得到線段BO，下列結(jié)論錯誤的是（）

第3頁共47頁.

A．點O與O的距離為4B．AOB150

C．S四邊形AOBO′643D．S△AOBS△AOC343

【答案】D

【詳解】解：如圖1，連接OO′，

由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，

∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴BOA≌BOC(SAS)，

又∵∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故A正確；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A＝5．

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，

故B正確；

132

S四邊形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×4＝6+43，故C正確；

24

如圖2

將AOC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°到ABO'位置，

第4頁共47頁.

93

同理可得S△S6，

AOC△AOB4

故D錯誤；

故選D．

5．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在線段BC、CD上運動，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與BD相

交于點M、N，下列說法中：①BE+DF＝EF；②點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；③BE＝2，DF

＝3，則S△AEF＝15；④若AB＝62，BM＝3，則MN＝5．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】A

【詳解】解：如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中，

AHAF

EAHEAF=45o，

AEAE

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正確；

過A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE＝∠ABE＝90°，

在△ABE與△AGE中，

ABEAGE

AEBAEG，

AEAE

∴△ABE≌△AGE（AAS），

第5頁共47頁.

∴AB＝AG，

∴點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；故②正確；

∵BE＝2，DF＝3，

∴EF＝BE+DF＝5，

設(shè)BC＝CD＝n，

∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，

∴EF2＝CE2+CF2，

∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，

∴n＝6（負(fù)值舍去），

∴AG＝6，

∴SAEF＝1×6×5＝15．故③正確；

△2

如圖，把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，連接QM，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，

在△AMQ和△AMN中，

AQAN

MAQMAN，

AMAM

∴△AMQ≌△AMN（SAS），

∴MQ＝MN，

∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，

∴BQ2+MB2＝MQ2，

第6頁共47頁.

∴ND2+MB2＝MN2，

∵AB＝62，

∴BD＝2AB＝12，

設(shè)MN＝x，則ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，

∴32+（9﹣x）2＝x2，

解得：x＝5，

∴MN＝5，故④正確，

故選A．

6．如圖，在△ABC中，點M，N分別是AC，BC上一點，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長

度可以是（）

A．2B．7C．16D．17

【答案】B

【詳解】解：如圖，作等邊ABQ和等邊MBP，連接QP、QM，

在等邊ABQ和等邊MBP中，QBAPBM60，

∴QBPQBMQBMABM60，

∴QBPABM，

又∵QBAB9，PBMB7，

∴QBPABM（SAS），

∴BQPBAM，PQAM，

∵AM＝BN，

第7頁共47頁.

∴PQBN

在ABC中，ACBCABCBA180，ACB60，

∴MBC18060MABABM120MABABM，

在△QBP中，QPBBQPQBP180，MPB60，

∴MPQ18060BQPQBP120MABABM，

∴MBNMPQ，

在△QMP和△NMB中，

PBMB

MBNMPQ，

PQBN

∴QMPNMB（SAS）

∴MQMN，

在QMB中，QBMBQMQBMB，

∴ABMBMNABMB，

∴2MN16，

∴選項B，MN=7符合題意，

故選B．

7．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于

點F，交AC于點G，連接CF交BD于點H，延長CE交AD于點M，連接FM，則下列結(jié)論：①點E到AB，BC

3

的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個．

4

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】解：如圖1，過E點作HEAB、NEBC，

第8頁共47頁.

∴EHF=ENC=90，

∵在正方形ABCD中，ABC=90，ABD=CBD=45，

∴HENE，即點E到AB，BC的距離相等，故①正確；

HEN=90；

∴HEF+EFN=90，

由∵EFFC，

∴CEN+EFN=90，

∴CENFEH，

∴CENFEH（AAS）

∴EF=EC，

18090

∴FCE==45，故②正確；

2

如圖2，延長MD至P，使DP=BF，連接PC，

易證BFCDPC（SAS）

∴FCBPCD，F(xiàn)C=PC，

∵FCE=45，

∴DCP+MCD=ECB+MCD=9045=45，

∴FCMPCM，

又∵M(jìn)CMC，

∴FCMPCM，

∴FCMPCM，

∴DMCFMC，MFMP，故③正確，

在邊長為4的正方形ABCD中，ABBCCDAD4，

若DM=2，則AMAD-MD2，

設(shè)BFDPx，則AFABBF4x，MFMPDPMDx2，

在RtAMF中，MF2AF2AM2

44

∴(2x)2(4x)222，解得：x=，故BF；④錯誤，

33

綜上所述，正確的①②③，故選C．

第9頁共47頁.

二、填空題

8．如圖，已知點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC．若PA4，PB2，APB135，則

PC的長為．

【答案】26

【詳解】解：四邊形ABCD為正方形，

BABC，ABC90，

把△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到△CBE，連接PE，如圖，

BPBE2，CEAP4，PBE90，BECAPB135，

PBE為等腰直角三角形，

PE2PB22，PEB45，

PEC1354590，

在RtPEC中，PE22，CE4，

PC42(22)226．

故答案為：26．

9．如圖，等邊ABC中，AOB115,BOC125，則以線段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度

數(shù)分別為．

【答案】55，60，65．

【詳解】解：將AOB逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到△CDB，

第10頁共47頁.

∵AOB≌CDB，ABC是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則OBDB,OBD=60

∴BOD是等邊三角形.則OBDBOD

又∵AOB≌CDB∴AOBCDB115OADC

故以線段OA,OB,OC三邊構(gòu)成的三角形為OCD

所以O(shè)DCCDBODB1156055

CODBOCBOD1256065

OCD180ODCCOD180655560

故答案為：55,60,65.

10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點P，若∠APC=45°，則A點

坐標(biāo)為.

【答案】（1，0）

【詳解】解：如圖，將DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到DQ，

第11頁共47頁.

∵C（4，0）、D（0，2），

則Q（2，6）．

設(shè)直線CQ的解析式為ykxb，

將C（4，0），Q（2，6）代入得

04kbk3

，解得，

62kbb12

∴直線CQ的解析式為y3x12．

∵APC45，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

APCDCQ45，

∴ABCQ．

∵B（0，3），

∴直線AB的解析式為y3x3，

∴3x30，

∴x1，

∴點A（1，0）．

故答案為：（1，0）．

11．如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且點這到三個頂點A、B、C的距離分別為6、8、10，則ABC的

面積為．

【答案】36253

【詳解】∵ABC為等邊三角形，

∴BABC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得△BEA，連EP，且延長BP，作AFBP于點F．如圖，

∴BEBP8，AEPC10，PBE60，

第12頁共47頁.

∴BPE為等邊三角形，

∴PEPB8，BPE60，

在△AEP中，AE10，AP6，PE8，

∴AE2PE2PA2

∴△AEP為直角三角形，且APE90，

∴APB9060150

∴APF30，

1

∴在直角APF中，AFAP3，PF3AF33，

2

在直角△ABF中，BFBPPF833，

2

∴AB2BF2AF283332100483，

33

∴ABC的面積AB210048336253

44

故答案為：36253．

12．如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CECB，連接AE，以AE為腰，A

為直角頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當(dāng)CD最大，且最大值為21時，則AB．

【答案】2

【詳解】解：如圖1中，將線段CA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH，連接CH，DC．

第13頁共47頁.

∵∠DAE＝∠HAC＝90°，

∴∠DAH＝∠EAC，

∵DA＝EA，HA＝CA，

∴△DAH≌△EAC（SAS），

∴DH＝CE，

∵CD≤DH＋CH，，

∴當(dāng)D，C，H共線時，DC最大值=21，如圖2中，

設(shè)AC=x，則BC=CE=DH=x，CH=2x，

∴2x+x=21，解得：x=1，

∴AB=2AC=2．

故答案是：2．

三、解答題

13．已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且EAF45，我們把這種模

型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．

(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EFBEDF”，小亮將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后解答了這

個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2，當(dāng)EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)見解析；(2)EFDFBE．

第14頁共47頁.

【詳解】（1）證明：如圖1，

由旋轉(zhuǎn)可得GBDF,AFAG,BAGDAF

四邊形ABCD為正方形

BADADFABC90

ABCABG180

G、B、C三點在一條直線上

EAF45

BAEDAF45

BAGBAE45EAF

在AGE和AFE中

AGAF

GAEEAF

AEAE

AGEAFESAS

GEEF

GEGBBEBEDF

EFBEDF

（2）結(jié)論：EFDFBE．

理由：如圖2，把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，使AB與AD重合，點E與點G對應(yīng)，同（1）可證

得AEFAGFSAS

EFGF,且DGBE

EFDFDGDFBE

第15頁共47頁.

14．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點（不與菱形的頂點重合），且滿足CF=DE，∠

A=60°．

（1）寫出圖中一對全等三角形：____________________．

（2）求證：△BEF是等邊三角形；

（3）若菱形ABCD的邊長為2，設(shè)△DEF的周長為m，則m的取值范圍為（直接寫出答案）；

（4）連接AC分別與邊BE、BF交于點M、N,且∠CBF＝15o，試說明：MN2CN2AM2

【答案】（1）△ABE≌△DBE（2）見解析（3）2+3≤m＜4（4）證明見解析.

【詳解】解：（1）△ABE≌△DBE（或△EBD≌△FBC）；

（2）∵ABCD為菱形，

∴AB=AD=DC=BC

∵∠A=∠C=60°

∴△ABD與△BDC為等邊三角形,

∴∠ABD=∠DBC=∠C=60°，BD=BC，

∵DE=FC

∴△EDB≌△FCB

∴EB=FB，∠EBD=∠FBC

∴∠EBF=∠DBC=60°

∴△EBF是等邊三角形

（3）如圖1，由（2）知，△BEF是等邊三角形，則EF=BE=BF．

則m=DE+DF+EF=AD+BE．

當(dāng)BE⊥AD時，BE最短，此時△DEF的周長最短

∵在Rt△ABE中，

∵AEB90,ABE30,

1

∴AEAB1,

2

∴BEAB2AE23,

∴m=2+3．

第16頁共47頁.

當(dāng)點E與點A趨于重合時，△DEF的周長最長，此時m=2+2=4．

綜上所述，m的取值范圍是：2+3≤m＜4；

故答案是：2+3≤m＜4；

（4）把△BNC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120，使CB與AB重合，N對應(yīng)點為N'，連接MN'

∴∠NBC=∠N'BA

∴∠N'BA+∠EBA=60°=∠EBF

∵BN=BN'，BM=BM

∴△N'BM≌△NBM（SAS）

∴MN=MN'，∠MN'B=∠MNB=45°

又∵∠AN'B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°

∴∠AN'M=135°-45°=90°

∴AM2=AN2+MN2=MN2+NC2

15．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠

EAF=1∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．

2

（1）思路梳理

第17頁共47頁.

將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，

G三點共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；

（2）類比引申

如圖2，在圖1的條件下，若點E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=1∠

2

BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫

出DE的長為________________.

【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明見解析；（3）5.

【詳解】解：（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，

∵∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠FDG＝180°，即點F，D，G三點共線，

∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝1∠BAD，

2

∴∠EAF＝∠GAF，

AE＝AG

在△AFG和△AFE中，EAF＝GAF，

AF＝AF

∴△AFG≌△AFE，

∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；

（2）EF＝DF?BE；

證明：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，

∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F(xiàn)三點共線，

∵∠EAF＝1∠BAD，

2

1

∴∠E'AF＝∠BAD?（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD?（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD?∠EAF＝∠BAD，

2

∴∠EAF＝∠E'AF，

第18頁共47頁.

AE＝AE

在△AEF和△AE'F中，EAF＝EAF，

AF＝AF

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DF?DE'，

∴EF＝DF?BE；

（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，

同（1）可證△AED≌AED'，

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝EC2+D'C2=EC2+BD2=5，即DE＝5，

故答案為：5．

16．如圖所示，已知ABC為等腰直角三角形，BAC90，E，F(xiàn)是BC邊上的點，且EAF45．求證：

BE2CF2EF2．

【答案】見解析

【詳解】方法1如圖8－8所示，將ACF繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90．

第19頁共47頁.

∵ABC為等腰直角三角形，BAC90，

∴ABAC．

∴旋轉(zhuǎn)后AC邊與AB邊重合，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△ABD．

∴ADAF，BADCAF，ABDC45，BDCF．

∵EAF45，BAC90，

∴BAECAFBAEBADDAE45FAE．

在ADE與AEF中，

ADAF

DAEFAE，

AEAE

∴△ADE≌△AEF．

∴EFDE．

∵DBEABDABC90，

∴EF2DE2BD2BE2BE2CF2．

方法2如圖8－9所示，將ABE沿直線AE翻折得AGE，連接FG，則ABAGAC，BAEGAE，

BAGE45．

由BAECAFEAGFAGEAF45，

可得GAFCAF．

在AGF和ACF中，

AGAC

GAFCAF，

AFAF

∴AGF≌ACF，

∴CFGF，CAGF45．

∴EGF90．

∴EF2EG2FG2BE2CF2．

17．問題解決：如圖1，P是等邊ABC內(nèi)一點，且PA3，PB4，PC5，若將△PAC繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)后，得到P'AB，則點P與P之間的距離為PP＝______，APB＝______度．

第20頁共47頁.

類比探究：如圖2，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA1，PB2，PC3．你能求出APB的度數(shù)嗎？

寫出完整的解答過程．

遷移運用：如圖3，若點P是正方形ABCD外一點，PA5，PB2，APB45，則PC=______．（直接

寫出答案）

【答案】問題解決：4、150；類比探究：APB135；遷移運用：33

【詳解】解：問題解決：如圖1，連接PP，

ABC是等邊三角形，

BAC60，

P'AB為PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)所得，

∴BAP’≌CAP，

第21頁共47頁.

BP’CP5

又旋轉(zhuǎn)后AC與AB重合，PA與PA重合，

PAPBAC60，

APP是等邊三角形，

PPPA3，APP’60，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：PBPC5，

∵324252，

∴BP2PP2PB2，

∴BPP是直角三角形，BPP90，

APBAPPPPB6090150．

故答案為：4；150；

類比探究：如圖2，

將PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90，使AB與BC重合，連接PP，

則PBP90，PBPB2，PCPA1，

PBP是等腰直角三角形．

由勾股定理得：

PP2PB2PB222228，

PC2121，PC232=9，

PP2PC2PC2，

△PPC是直角三角形，PPC90，

△PBP是等腰直角三角形，

PPB45，

BPCPPBPPC4590135，

APBBPC135；

遷移運用：如圖3，

第22頁共47頁.

將PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90，使AB與BC重合，連接PP，

則PBP90，PBPB2，P'CPA5，BPC=APB45，

PBP是等腰直角三角形，

BPP=PPB45，

PP2PB2PB222228，

APB=PPB，

P在線段AP上，

PPC=PPBBPC454590，

△PPC是直角三角形，

∴PC2PP2PC285233，

∴PC33．

故答案為：33．

18．已知:△ABC中，CA=CB,∠ACB=90o，D為△ABC外一點，且滿足∠ADB=90o

(1)如圖所示，求證：DA+DB=2DC

(2)如圖所示，猜想DA．DB．DC之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

第23頁共47頁.

(3)如圖所示，過C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,則CH=.

3

【答案】（1）詳見解析；（2）DA-DB=2DC；(3)

2

【詳解】證明：（1）如圖，過C點作CQ⊥CD交DB的延長線于Q點

∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°

∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°

∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC

∴△ACD≌△BCQ（AAS）

∴CD=CQ，AD=BQ

∴DQ=DB+BQ=DB+AD

∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°

∴DQ=2CD

∴DB+AD=2CD

（2）DA-DB=2CD

理由如下：如圖，過點C作CQ⊥CD交AD于點Q，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠CAB=45°

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

第24頁共47頁.

∴點A，點B，點D，點C四點共圓，

∴∠ADC=∠ABC=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴QD==2CD

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACQ≌△BCD（SAS）

∴AQ=BD

∴QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，

即：DA-DB=2DC

（3）如圖，過點C作CQ⊥CD交BD于點Q，

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∴點A，點B，點C，點D四點共圓，

∴∠CDQ=∠CAB=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴△DCQ是等腰直角三角形，

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACD≌△BCQ（SAS）

∴AD=BQ，

∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3

∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB

3

∴CH=DH=HQ=1DQ=．

22

3

故答案為．

2

第25頁共47頁.

19．（1）問題背景：如圖1，正方形ABCD中，F(xiàn)在直線CD上，E在直線BC上．若∠EAF＝45°，求證：BE

＋FD＝EF；

（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A點的對應(yīng)點E在BC上，且AD的對應(yīng)邊

EM交CD于F點．若BE＝3，EC＝2，求EF的長；

（3）聯(lián)系拓展：如圖3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F(xiàn)在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ

＝34°，則∠QAD＝_______°．

【答案】（1）見解析；（2）17；（3）34°

4

【詳解】（1）證明：如圖1，將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，得到了旋轉(zhuǎn)后的ADG，

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，

∴∠ADF+∠ADG＝180°，

∴F，D，G三點共線，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∴∠DAG+∠FAD＝45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

在EAF與GAF中，

AEAG

EAFFAG，

AFAF

∴EAF≌GAF（SAS），

∴EF＝FG，

第26頁共47頁.

∵DG+FD＝FG，

∴BE＋FD＝EF；

（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°，

∵BE＝3，EC＝2，

∴AB＝BC＝5，

∵翻折，

∴設(shè)AG＝GE＝x，則BG＝5－x，

∵在RtBGE中，BG2BE2GE2，

∴(5x)232x2，

解得：x3.4，

∴BG5x1.6，

∵翻折，

∴∠GEF＝∠A＝90°，

∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°，

∴∠FEC＝∠BGE，

又∵∠B＝∠C，

∴△BGE∽△CEF，

BGGE

∴，

CEEF

1.63.4

即：，

2EF

17

解得：EF，

4

∴EF的長為17；

4

（3）解：如圖，連接AF，設(shè)∠FQA＝∠FEA＝m，

∵EF＝EA，

11

∴∠EAF＝∠EFA＝(180m)90m，

22

∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE，

∴△FOQ∽△AOE，

FOQO

∴，

AOEO

FOAO

∴，

QOEO

又∵∠FOA＝∠QOE，

第27頁共47頁.

∴△FOA∽△QOE，

1

∴∠AQE＝∠AFE＝90m，

2

∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°，

∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°，

∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°，

1

∴56°＋m＋90m＝180°，

2

解得：m＝68°，

∵∠D＝90°，

∴∠QAD＝90°－∠AQE

1

＝90°－(90m)

2

1

＝m

2

＝34°，

故答案為：34．

20．（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與

ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接

EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上

的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且

∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）

第28頁共47頁.

abc

【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解

2

【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：

∵△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，

∴AG＝AF，

∵AE平分∠GAF，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

AGAF

GAEFAE，

AEAE

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE＝EF；

（2）BE?DF＝EF，理由如下：

如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，

∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

在△ABG和△ADF中，

BGDF

BADF，

ABAD

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，

∵∠BAD＝2∠EAF，

∴∠GAF＝2∠EAF，

∴∠GAE＝∠EAF，

在△GAE和△FAE中

第29頁共47頁.

AGAF

GAEFAE，

AEAE

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE＝EF，

∴BE?DF＝EF；

（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，

∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，

∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，

∵BE＝GF，

∴△CBE≌△CFG（SAS），

∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，

∵∠DAB＝60°，

∴∠FCB＝120°，

∵∠DCE＝60°，

∴∠DCF＋∠BCE＝60°，

∴∠DCG＝60°，

又∵CG＝CE，

∴△ECD≌△GCD（SAS），

∴GD＝DE，

∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），

∴AF＝AB，

∴b＋a?BE＝c＋BE，

abc

∴BE＝．

2

21．如圖，ABCD為矩形，AB＝43，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．

第30頁共47頁.

【答案】83

【詳解】解：如圖所示，將△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°于△ADF，將BEC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°于

△BEC，連接FF，EE，作DGAB交BA的延長線于點G，作CHAB交AB的延長線于點H，

∴△ADF≌△ADF，△BEC≌△BEC，

∴DFDF，CⅱE=CE，AFAF，BEBE，

又∵旋轉(zhuǎn)角等于60°，

∴FAF60，EBE60，

∴AFF和BEE都是等邊三角形，

∴AFFF，BEEE，

∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE=DFFFFEEEECDC，

∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值為DC的長度．

∵DAD60，CBC60，

∴DAG30，CBH30，

又∵DGAB，CHAB，

1111

∴DGADAD2，CHCBCB2，

2222

∴DGCH，

又∵DG∥CH，

∴四邊形DGHC是平行四邊形，

又∵DGAB，

∴四邊形DGHC是矩形，

∴DCGH，

第31頁共47頁.

∴AGDA2DG2422223，BHBC2HC2422223，

∴GHGAABBH23432383．

∴DCGH83．

∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值為83．

22．RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．

【答案】見解析

【詳解】證明：過C點作CFCE交EA的延長線于F，

CEA45，

FCEA45，

CFCE，

FCAACEACEECB90，

FCAECB，

在FCA和ECB中，

CFCE

FCAECB，

ACBC

ACFBCE(SAS)，

BECF45，

AEBAECBEC90，

即AEBE．

第32頁共47頁.

23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝23．∠BAC＝120°，點D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，

求DE的長．

【答案】DE＝33﹣3．

【詳解】解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示：

過點A作ANBC于點N，如圖，

∵AB＝AC＝23，BAC＝120，

∴BN＝CN，B＝ACB＝30，

在RtBAN中，B＝30，AB＝23，

1

∴AN＝AB＝3，

2

∴BN＝AB2AN2＝3，

∴BC＝6，

∴ACB＝B＝ACF＝30，

∴ECG＝60．

∵CF＝BD＝2CE，

∴CG＝CE，

∴CEG為等邊三角形，

∴EG＝CG＝FG，

1

∴EFG＝FEG＝CGE＝30，

2

∴△CEF為直角三角形，

∵BAC＝120，DAE＝60，

∴BADCAE＝60，

∴FAE＝FACCAE＝BADCAE＝60．

在VADE和△AFE中，

第33頁共47頁.

ADAF

DAEFAE，

AEAE

∴ADE≌AFE（SAS），

∴DE＝FE．

設(shè)EC＝x，則BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，

在RtCEF中，CEF＝90，CF＝2x，EC＝x，

EF＝CF2EC2＝3x，

∴63x3x，

∴x33，

∴DE3x333，

答：DE的長為333．

24．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分別是邊BC、CD上的點，且

1

EAFBAD．求證：EFBEFD；

2

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分別是邊BC、CD上的點，且

1

EFBEFD；求證：EAFBAD，

2

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，ABAD，BADC180，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，

且EAF40，BAD80，寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EFBEFD；理由見解析

【詳解】（1）證明：如圖1中，延長EB到G，使BGDF，連接AG．

第34頁共47頁.

∵ABGABCD90，ABAD，

∴ABG≌ADF（SAS），

∴AGAF，12，

1

∴1323EAFBAD，

2

∴GAEEAF，

∵AEAE，

∴AEG≌AEF（SAS），

∴EGEF，

∵EG=BE+BG，

∴EFBE+FD；

（2）證明：如圖2，延長CB至M，使BMDF，連接AM．

∵ABC+D180，1+ABC180，

∴1D，

在ABM與△ADF中，

ABAD

1D，

BMDF

∴ABM≌ADF（SAS），

∴AFAM，23，

∵EFBE+DFBEBMEM，

在△AME與△AFE中，

AEAE

EMEF，

AMAF

∴AME≌AFE（SSS），

∴MAEEAF，

1

∴34EAFMAF，

2

第35頁共47頁.

∵M(jìn)AF34EAF，23，

∴MAF24EAFBAD，

1

∴EAFBAD；

2

（3）解：EFBEFD．

證明：如圖3，在BE上截取BG，使BGDF，連接AG．

∵BADC180，ADFADC180，

∴BADF．

在ABG與△ADF中，

ABAD

ABGADF，∴ABG≌ADF（SAS）．

BGDF

∴BAGDAF，AGAF．

∴BAD＝BAGGADDAFGADGAF80，

∴GAEGAFEAF804040，

∴GAEEAF．

∵AEAE，

∴AEG≌AEF（SAS）．

∴EGEF，

∵EGBEBG，

∴EFBEFD．

25．如圖，菱形ABCD與菱形EBGF的頂點B重合，頂點F在射線AC上運動，且BCDBGF120，對

角線AC、BD相交于點O．

AE

（1）如圖1．當(dāng)點F與點O重合時，直接寫出的值為；

FD

（2）當(dāng)頂點F運動到如圖2的位置時，連接CG，CGBG，且CGBC，試探究CG與DF的數(shù)量關(guān)系，

說明理由，并直接寫出直線CG與DF所夾銳角的度數(shù)；

（3）如圖3，取點P為AD的中點，若B、E、P三點共線，且當(dāng)CF＝2時，請直接寫出BP的長．

第36頁共47頁.

3

【答案】（1）；（2）FD3CG，30；（3）37

3

【詳解】解：（1）設(shè)菱形ABCD邊長AB=2a，

∵在菱形ABCD中，BCDBGF120，

∴ACBD，ABC60，BAD120，

3

∴ABD30，BAO60，BF=FDAB=3a，

2

∵在四邊形EBGF是菱形，BGF120，BEEF，

EBHEFH30，

AFE60，

∴AFEEAO=60，

∴AEEF，

1

∴AEEF=BEABa，

2

AEa3

．

FD3a3

（2）FD3CG，直線CG與DF所夾銳角的度數(shù)為30．

理由如下，如圖，連接BF，延長GC交FD于N，

設(shè)菱形ABCD的邊長為2a，

第37頁共47頁.

∵CGBG，且CGBG，

2

∴GBCGCB=45，CGBC2a

2

∵GBE60，

∵四邊形EBGF是菱形，BGF120，

1

GBFBFG=GBE30，

2

∴CBFGBCGBF15，

∴OBFOBCCBF301545，

∵ACBD，BODO，

∴BFOOBF45，BFDF，

由（2）可知：BO3a，

∴BFDF6a，

∴DF3CG，

由B、D是關(guān)于AC的軸對稱可知，CDFCBF15，

又∵DCN180BCGBCD15，

∴GNFCDFDCN30，

即直線CG與DF所夾銳角的度數(shù)為30；

（3）BP37，

過程如下：依題意，作出圖形，此時B、E、P三點共線，

連接BF，并將線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BM位置，連接MG、MA，

∵CBAFBM=60，BCBA

∴BCFBAM（SAS）

∴AM=CF=2，MABFCB60，

1

∵EBFGBE30，

2

第38頁共47頁.

∴MBNFBM-FBN30，

∴MBGFBG30，

∴BNFBNM（SAS），

∴FNMN

過M點作MH⊥CH，

∵BAO60，

∴MAH60，HMA30，

1

∴AHAM1，MH3AH3，

2

取OD的中點Q，連接QP，

∵AP=PD，

1

∴PQOA，PQ//OA，

2

∴BNOBPQ，

NOBO2OQ2

∴，

PQBQ3OQ3

21

∴NOPQOA，

33

1

設(shè)菱形ABCD的邊長為2a，則AOCOABa，

2

12

∴ANAOONaaa，

33

14

MNFNCOONCFaa2a2，

33

2

NHNAAHa1，

3

在RtMGH中，NH2MH2MN2，

22

224

∴a1(3)a2，

33

解得a1=0（舍去），a2=3，

13339

∴PQa，BQOD3a3，

22222

∵在RtBPQ中，BQ2PQ2BP2，