2024-2025學(xué)年河北省承德市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的標準方程為，其焦點的坐標為（）A． B． C． D．2．過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．3．若直線與直線平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．4．若直線與圓交于兩點，則（

）A．1 B． C．2 D．5．求長軸長是短軸長的倍，且過點的橢圓的標準方程（）A． B．C．或 D．6．如圖所示，在長方體中，，，點是棱的中點，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．7．已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，平面，分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，則下列選項中正確的有（

）A．直線的傾斜角為 B．直線的斜率為C．直線不經(jīng)過第三象限 D．直線的一個方向向量為10．設(shè)，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則下列說法中正確的是（）A．， B．離心率為C．的面積為12 D．的外接圓面積為11．在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點，則（

）A．平面B．平面C．平面平面D．點E到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．若圓關(guān)于直線對稱，則．13．已知橢圓的左、右焦點分別為，過作軸垂線交橢圓于，若，則該橢圓的離心率是.14．若直線l：與曲線C：只有一個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點.(1)求證：；(2)求線段的長.16．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切.(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與圓交于兩點，且，求直線的方程.17．已知橢圓的長軸長為，且點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點和，當時，求實數(shù)的值．18．在梯形ABCD中，，，F(xiàn)為AB中點，，，，如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.(1)若M為EC的中點，證明：∥平面ABC；(2)證明：平面平面BCD；(3)若N是線段DC上一動點，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為，求DN的長.19．已知，圓．(1)若圓與圓外切，求實數(shù)k的值；(2)求圓心的軌跡方程；(3)是否存在定直線l，使得動圓C截直線l所得的弦長恒為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，可知橢圓的焦點在軸上，且，則，故橢圓焦點的坐標為.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】依題意可得，解得，則直線方程為，而方程，即，所以兩條平行線間的距離為.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為；若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為.綜上所述，橢圓的標準方程為或.故選：C.6．【正確答案】C【分析】連接，設(shè)點到平面的距離為，則知所求距離為；利用體積相等，即可構(gòu)造方程求得，從而求得結(jié)果.【詳解】連接，設(shè)點到平面的距離為，為中點，點到平面的距離為；，，，又，，，，解得：，點到平面的距離為.故選：C.方法點睛：本題考查立體幾何中點到面的距離的求解，求解此類問題的基本方法是將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐的高的求解問題，從而利用體積橋的方式求得所求距離.7．【正確答案】A【詳解】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】以為原點，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，可得，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角的為，則.故選：D.

9．【正確答案】CD【分析】由直線，可以得到直線的斜率和傾斜角，從而判斷A和B的正誤；通過計算直線的斜率和截距，從而判斷是否經(jīng)過第三象限，判斷C選項的正誤；取直線上兩點，得到直線的一個方向向量，從而判斷D選項的正誤.【詳解】因為，可以表示為，所以，傾斜角為，故選項A和B錯誤；因為直線，故斜率，截距，所以直線不經(jīng)過第三象限，故選項C正確；取直線上兩點,，所以得到方向向量，得到直線的一個方向向量為，故選項D正確.故選：CD10．【正確答案】ABD【詳解】由，得橢圓長半軸長，短半軸長，半焦距，由是橢圓上的點，得，而，對于A，，，A正確；對于B，離心率為，B正確；對于C，，得為直角三角形，，，C錯誤；對于D，由選項C知，的外接圓直徑為線段，則該圓半徑為，面積為，D正確.故選：ABD11．【正確答案】ACD【分析】檢驗所給定的正方體，建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷ABC；求出點到平面距離判斷D作答.【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，對于A，，顯然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，即有不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，B錯誤；對于C，，而，顯然，，即平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正確；對于D，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，又，所以點E到平面的距離，D正確.故選：ACD12．【正確答案】/0.25【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，即，解得，此時圓，即，符合題意，所以.故13．【正確答案】【詳解】由題意可知：，又因為，即，可得，所以該橢圓的離心率是.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由曲線，整理可得，則曲線為圓心、半徑的圓的上半部分，如下圖：

由圖可得直線與圓相切，則，解得，由圖可得直線的方程為；由圖可得直線過，可得方程；由圖可得直線過，可得方程.由圖可得.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用空間向量的坐標運算證明異面直線的垂直關(guān)系；（2）利用空間向量的坐標運算求線段的長度.【詳解】（1）因為直三棱柱中，平面,平面,所以,且,所以原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖，則,所以,則，所以.（2）因為,所以,則.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心，半徑，∵圓M經(jīng)過點，∴，∵圓M與直線相切，∴圓心到直線的距離，∴，化簡，解得，則圓心，半徑，所以圓M的方程為．（2）由題意，圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，其方程為，顯然符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離由，解得，則直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，所以，點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為：．（2）直線的方程為：聯(lián)立，消去后，得關(guān)于的一元二次方程，化簡得，由題意知，解得或，由韋達定理可得，，所以，所以，化簡得，解得，即，經(jīng)檢驗符合題意.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由，，得，.因為M為EC的中點，F(xiàn)為AB中點，，所以，且.所以四邊形BCMF為平行四邊形，所以.又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC.（2）因為平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF.又平面BCEF，所以.由，，，得.又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD.（3）由（2），得EF，EC，ED兩兩垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則.設(shè)（），則.設(shè)平面BNE的法向量為.由，令，得.易知平面ABF的法向量為.所以，解得，此時，所以，即DN的長為.19．【正確答案】(1)或(2)(3)存在，且的方程為