2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一．選擇題（共8小題，每題5分）1．過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝02．若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為（）A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含3．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若公差d＝2，則2S3﹣3S2＝（）A．﹣6 B．2 C．4 D．64．若雙曲線C1：＝1與雙曲線C2：＝1的漸近線相同，則雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．5．點(diǎn)P為x軸上的點(diǎn)，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）6．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N兩點(diǎn)．則為（）A．3 B．5 C．7 D．與k有關(guān)7．若直線l：y＝x+b與曲線y＝有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．{b|﹣2＜b＜2} B．{b|2＜b＜2} C．{b|2≤b＜2} D．{b|b＝±2}8．過點(diǎn)且與曲線y＝x2ex相切的切線斜率不可能為（）A．0 B．8e2 C． D．1二．多選題（共3小題，每題6分）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是（）A．'＝1﹣ B．（3lnx）'＝ C．'＝ D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx10．已知圓M：（x+2）2+y2＝2，直線l：x+y﹣2＝0，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與圓M切于點(diǎn)A，B．則下列說法正確的是（）A．四邊形PAMB的面積最小值為 B．|PA|最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為 C．|PA|最短時(shí)，弦AB直線方程為x+y﹣1＝0 D．直線AB過定點(diǎn)（﹣，）11．在數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和是Sn，則下列正確的是（）A．若Sn＝n2+1，則an＝2n﹣1 B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，則an＝（n2+n+2） C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，則an＝2n D．若an＝，則S4＝三．填空題（共3小題，每題5分）12．在直線l：2x﹣y+1＝0上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，4）兩點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．13．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an＝．（1）數(shù)列{an}不單調(diào)；（2）數(shù)列{|an|}單調(diào)遞增；（3）{an}是無窮等比數(shù)列．14．過點(diǎn)P（2，0）的動(dòng)直線l與圓C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2兩點(diǎn)，過點(diǎn)P1，P2分別作圓C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)M，則CM的最小值．四．解答題（共5小題，共77分）15．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：（1）AB邊中線所在的直線方程；（2）△ABC的外接圓的方程．16．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若f'（1）＝0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a＝3時(shí)，求函數(shù)f（x）在x＝4處的切線方程．17．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，﹣4），（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線l的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)B（0，2），求過點(diǎn)B且與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程．18．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，+an＝2Sn+2，數(shù)列{bn}滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．已知橢圓和雙曲線，過橢圓C1左焦點(diǎn)F且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)P是橢圓的右頂點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，直線PA，PB與雙曲線C2的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．（1）求k1k2的值；（2）求證：直線MN過定點(diǎn)．

答案與試題解析題號(hào)12345678答案ABDABCCD一．選擇題（共8小題）1．過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝0解：設(shè)過點(diǎn)A（2，3）且與直線l：2x﹣4y+7＝0平行的直線方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，故所求直線方程為2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．故選：A．2．若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為（）A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含解：由已知得圓C1的圓心為（0，0），半徑為2，圓C2的圓心為（3，4），半徑為3，圓C1和C2圓心的距離，兩圓的半徑之和為2+3＝5，即兩圓圓心的距離等于兩圓半徑之和，此時(shí)兩圓外切．故選：B．3．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若公差d＝2，則2S3﹣3S2＝（）A．﹣6 B．2 C．4 D．6解：因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d＝2，所以．故選：D．4．若雙曲線C1：＝1與雙曲線C2：＝1的漸近線相同，則雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．解：雙曲線C2：＝1的漸近線：y＝±x，所以雙曲線C1：＝1的漸近線：y＝±x，可得＝x，∴a＝2，c＝＝，所以雙曲線C1的離心率為：e＝＝．故選：A．5．點(diǎn)P為x軸上的點(diǎn)，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）解：設(shè)點(diǎn)P（x，0），由點(diǎn)A（﹣1，2），B（0，3），可知直線AB的方程為x﹣y+3＝0，所以點(diǎn)P到直線x﹣y+3＝0的距離d＝，|AB|＝＝，因?yàn)橐訟，B，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為，所以，整理得，解得x＝4或﹣10．故P（4，0）或（﹣10，0）．故選：B．6．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N兩點(diǎn)．則為（）A．3 B．5 C．7 D．與k有關(guān)解：依題意，設(shè)過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l的方程為y＝kx+1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，消去y，得：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+7＝0，此時(shí)Δ＝（4k+4）2﹣28（1+k2）＝﹣12k2+32k﹣12＞0，顯然有解，故，，所以＝．故選：C．7．若直線l：y＝x+b與曲線y＝有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．{b|﹣2＜b＜2} B．{b|2＜b＜2} C．{b|2≤b＜2} D．{b|b＝±2}解：曲線y＝表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，在x軸上邊的部分，如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，b＝2，∴直線y＝x+b與曲線y＝有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2，2）．故選：C．8．過點(diǎn)且與曲線y＝x2ex相切的切線斜率不可能為（）A．0 B．8e2 C． D．1解：由y＝x2ex，得y′＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex，設(shè)切點(diǎn)為（），則，可得過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入并整理得：，解得x0＝0或x0＝2或，當(dāng)x0＝0時(shí)，y′＝0；當(dāng)x0＝2時(shí)，y′＝8e2；當(dāng)時(shí)，y．故選：D．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是（）A．'＝1﹣ B．（3lnx）'＝ C．'＝ D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx解：根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式可得，（x+）′＝1﹣，A正確；（3lnx）′＝，B正確；（）′＝＝，C錯(cuò)誤；（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，D錯(cuò)誤．故選：AB．（多選）10．已知圓M：（x+2）2+y2＝2，直線l：x+y﹣2＝0，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與圓M切于點(diǎn)A，B．則下列說法正確的是（）A．四邊形PAMB的面積最小值為 B．|PA|最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為 C．|PA|最短時(shí)，弦AB直線方程為x+y﹣1＝0 D．直線AB過定點(diǎn)（﹣，）解：A選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即S四邊形PAMB＝S△MPA+S△MPB，又因切線長(zhǎng)定理可知，即S四邊形PAMB＝S△MPA+S△MPB＝??（|PA|+|PB|）＝|PA|，∴當(dāng)|AP|最短時(shí)，四邊形面積最小．又∵|MP|與|AP|及半徑R構(gòu)成直角三角形，∴|MP|最短時(shí)，|AP|最短，即MP＝d＝＝2，∴|AP|＝＝，∴S四邊形PAMB＝×＝2，故A正確．由上述可知，MP⊥l時(shí)，|PA|最短，由等面積法可知，S四邊形PAMB＝|MP||AB|．得|AB|＝，故B正確．∵M(jìn)P⊥AB，MP⊥l，kl＝﹣1，∴kAB＝﹣1，可設(shè)AB的直線方程為x+y+m＝0，由半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形可知，弦心距＝＝，∴圓心M（﹣2，0）到直線AB的距離d＝＝，解得m＝1，m＝3（舍去）即直線AB的方程為x+y+1＝0．故C錯(cuò)誤．設(shè)圓上一點(diǎn)A為（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），∴＝（xA+2，yA），＝（xB+2，yB），＝（xA﹣xP，yA﹣yP），易知?＝0?（xA+2）（xA﹣xP）+yA（yA﹣yP）＝0?（xP+2）（xA+2）+yP?yA＝2，同理?＝0?（xP+2）（xB+2）+yP?yB＝2，∴AB：（x+2）（xP+2）+y?yP＝2．∵yP＝﹣xP+2，∴原式＝（x+2）（xP+2）+y（2﹣xP）＝2，將（﹣，）代入得?（xP+2）+（2﹣xP）＝2等號(hào)成立，故直線AB過定點(diǎn)為（﹣，），故D正確．故選：ABD．（多選）11．在數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和是Sn，則下列正確的是（）A．若Sn＝n2+1，則an＝2n﹣1 B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，則an＝（n2+n+2） C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，則an＝2n D．若an＝，則S4＝解：對(duì)于A，若Sn＝n2+1，則a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，驗(yàn)證a1＝2不適合上式，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a1＝2，an+1＝an+n+1，則an+1﹣an＝n+1，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2），則an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2......+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+...+2+2＝（n≥2），驗(yàn)證a1＝2成立，∴an＝（n2+n+2），故B正確；對(duì)于C，若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，則，∴（n≥2），則an＝＝（n≥2），驗(yàn)證a1＝2成立，an＝2n，故C正確；對(duì)于D，若an＝＝，則S4＝a1+a2+a3+a4＝＝，故D正確．故選：BCD．三．填空題（共3小題）12．在直線l：2x﹣y+1＝0上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，4）兩點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）．解：點(diǎn)A（﹣3，0）關(guān)于直線l：2x﹣y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)C（a，b），故點(diǎn)A和C的中點(diǎn)坐標(biāo)（）滿足，且，故，故，解得，故C（1，﹣2）．故直線BC的方程為x＝1．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，解得．故P（1，3）．故（1，3）．13．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an＝（﹣2）n（答案不唯一）．（1）數(shù)列{an}不單調(diào)；（2）數(shù)列{|an|}單調(diào)遞增；（3）{an}是無窮等比數(shù)列．解：∵數(shù)列為不單調(diào)的無窮等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比為負(fù)值，而數(shù)列{|an|}單調(diào)遞增，則首項(xiàng)為正，公比絕對(duì)值在（1，+∞）上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為an＝（﹣2）n．故（﹣2）n（答案不唯一）．14．過點(diǎn)P（2，0）的動(dòng)直線l與圓C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2兩點(diǎn)，過點(diǎn)P1，P2分別作圓C的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)M，則CM的最小值．解：設(shè)M（x0，y0），圓C的圓心C（3，1），則MC為直徑的圓C1的方程為（x﹣x0）（x﹣3）+（y﹣y0）（y﹣1）＝0，即x2+y2﹣（x0+3）x﹣（y0+1）y+3x0+y0＝0，由平面幾何的知識(shí)知直線P1P2的方程為圓C與圓C1的公共弦所在直線方程，從而把圓C、圓C1的方程相減得直線P1P2的方程為（x0﹣3）x+（y0﹣1）y+5﹣3x0﹣y0＝0，∵P（2，0）在直線P1P2上，代入得x0+y0+1＝0∴點(diǎn)M在直線x+y+1＝0上，則CM的最小值為圓心C到直線x+y+1＝0的距離，∴d＝＝故四．解答題（共5小題）15．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：（1）AB邊中線所在的直線方程；（2）△ABC的外接圓的方程．解：（1）由A（﹣4，0），B（0，2），可得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，1），所以AB邊中線所在直線的方程為＝，即3x+4y+2＝0；（2）設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由，解之可得，故△ABC的外接圓的方程為x2+y2+2x+2y﹣8＝0．16．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若f'（1）＝0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a＝3時(shí)，求函數(shù)f（x）在x＝4處的切線方程．解：（1）函數(shù)f（x）＝（x﹣a），定義域?yàn)閇0，+∞），f′（x）＝＝，因?yàn)閒'（1）＝0，故＝0，解得a＝3；（2）因?yàn)閍＝3，所以f（x）＝（x﹣3），f′（x）＝，則f（4）＝2，f′（4）＝，故函數(shù)f（x）在x＝4處的切線方程為y＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36﹣0．17．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，﹣4），（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線l的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)B（0，2），求過點(diǎn)B且與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程．解：（I）由題拋物線C：y2＝2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，﹣4），16＝4p，解得p＝4，拋物線C的方程為y2＝8x，其準(zhǔn)線l方程為x＝﹣2；…（4分）（Ⅱ）由題，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，y軸符合題意，其方程為x＝0；②如果直線l的斜率為0，y＝2符合題意；③如果直線l的斜率存在且不為0，則設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，由得ky2﹣8y+16＝0，由Δ＝64﹣64k＝0得k＝1，故直線l的方程為y＝x+2，即x﹣y+2＝0，因此，直線l的方程為x＝0或y＝2或x﹣y+2＝0．（用其他方法解答的請(qǐng)酌情給分）…（12分）18．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，+an＝2Sn+2，數(shù)列{bn}滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（1）由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，＝2a1+