2024-2025學年江西省贛州市大余縣高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江西省贛州市大余縣高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝15，且＝，則a2＝（

）A．2 B．C．3 D．2．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．4 D．3．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若{an}是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（

A． B．1 C． D．24．已知數(shù)列滿足，設，為數(shù)列的前n項和.若對任意恒成立，則實數(shù)t的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．5．數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．6．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．（0，1） D．8．設直線與函數(shù)的圖象交于點，與直線交于點．則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．設是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值10．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．數(shù)列為遞減的等差數(shù)列11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個不同的零點C．D．若在(0,+∞)上恒成立，則12．已知等比數(shù)列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數(shù)，若，則（

）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為6三、填空題（本大題共4小題）13．設數(shù)列的前項和為，且，，則.14．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則．15．已知是，的等差中項，是，的等比中項，則.16．已知函數(shù)在R數(shù)上單調(diào)遞增，且，則的最小值為，的最小值為.四、解答題（本大題共6小題）17．設數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前n項和為，，________．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和．18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和.19．已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；（2）證明：當時，．20．已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證.21．設函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.（2）討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.22．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在，對任意，總存在，使得成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】∵∵＝，即，則∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】由題意，函數(shù)，且數(shù)列滿足，所以，，，，，，所以數(shù)列的周期為4，所以.故選：C.3．【正確答案】B由已知數(shù)列的特點依次求出，，，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進而可求出答案【詳解】由題設可知，斐波那契數(shù)列{an其特點為：前兩個數(shù)為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可知：，，，，，則.故選：B.4．【正確答案】C先求出的通項，再利用裂項相消法可求，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求實數(shù)t的最小值.【詳解】時，，因為，所以時，，兩式相減得到，故時不適合此式，所以，當時，，當時，，所以；所以t的最小值；故選：C.5．【正確答案】C【詳解】由題知：設，則，所以.又因為，所以，，，，，即，解得.因為，所以，又因為，所以，即.故選：C6．【正確答案】A【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，∴區(qū)間上存在，滿足∴方程在區(qū)間有兩個不相等的解，令，則，解得∴實數(shù)的取值范圍是.故選:A．7．【正確答案】B【詳解】的導數(shù)為的導數(shù)為設與曲線相切的切點為與曲線相切的切點為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當時，遞減，當時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選:B8．【正確答案】A【詳解】由題意得，，則．設函數(shù)，，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以的值域為，故的取值范圍是．故選：A.9．【正確答案】BD【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項即可.【詳解】由題意知，：由得，由得，所以，又，所以，故錯誤；：由得，故正確；：因為是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，有所以，所以，故錯誤；：，則與均為的最大值，故正確.故選：10．【正確答案】AC令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.11．【正確答案】ACD【詳解】對于選項A：函數(shù)定義域為(0,+∞)，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，故選項A正確對于選項B：令，可得，因此只有一個零點，故選項B不正確；對于選項C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因為，即，故選項C正確；對于選項D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，令則，因為易知當時.，當時，，所以在時取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項D正確.故選：ACD.12．【正確答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正確；由可得A錯誤；由可得C正確；由，，可推出，可得D正確.【詳解】令，則，，，因為是等比數(shù)列，所以，即，，，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯誤；，是首項為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，，，時，，時，，時，，，時，，又，，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選：BCD關鍵點點睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解題關鍵.13．【正確答案】1189【詳解】解：因為，所以，所以，由，可得所以，所以，故118914．【正確答案】【詳解】將每個音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識可求得結(jié)果.【詳解】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項，且，最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，，，，．故關鍵點點睛：構造等比數(shù)列求解是解題關鍵.15．【正確答案】由題意得，，消去，可得，化簡得，得，則有【詳解】由題設可知：由是，的等差中項，則①，是，的等比中項，則②，則有①②可知：③，，，則將③式變形得：，即，則.故答案為.16．【正確答案】；【分析】根據(jù)條件分析出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析出的最小值.將待求式子變形為關于的式子，利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性求解出的最小值.【詳解】解：因為在R上單調(diào)遞增，則，所以，所以，又因為，所以，則，又因為，，令函數(shù)，在恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，取等號時，所以，又因為，取等號時，且函數(shù)，，在上遞增，所以，所以的最小值為，取等號時；故；.易錯點睛：利用基本不等式求解最值時，一定要注意取等號的條件是否能滿足，若不滿足則無法直接使用基本不等式，轉(zhuǎn)而利用對勾函數(shù)單調(diào)性分析更方便.17．【正確答案】任選三條件之一，都有（1）；（2）．【詳解】選條件①時，（1）時，整理得，所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時，（1）由于，所以①，當時，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時，由于，

①②①②時，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.18．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.，，，分別利用“”法和“”法求解.（2）由（1）知當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，然后分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，然后相加即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.因為，，所以，解得d=1.所以的通項公式為.由，又q≠0，得，解得q=2，所以的通項公式為.（2）當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，①由①得②由①②得，，，所以.所以.所以數(shù)列的前2n項和為.本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的求法，分組求和、裂項相消法和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于較難題.19．【正確答案】（1）；（2）證明見解析．（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個變號零點，再參變分離后得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域為，，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個變號零點，等同于，即水平直線與曲線有兩個交點(不是的切線)，令，的定義域為，則，令，解得，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞減，則為的極大值，也為最大值，當時，，當時，，當時，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時；（2）證明：令()，則只需證明當時恒成立即可，則，令，則，當時，，，，則，則在時單調(diào)遞增，又，∴時，，則在時單調(diào)遞增，∴當時，即當時，．方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構構造輔助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的突破口.20．【正確答案】（1）；（2）證明見解析.（1）由題可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，進一步求出的通項公式，所以，利用累加法求出數(shù)列的通項公式；（2）利用對數(shù)列進行放縮，化簡求出答案.【詳解】（1），所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，所以（2）證明：21．【正確答案】（1）.（2）答案見解析.（3），證明見解析【詳解】（1）由于函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點，無極小值點，所以，∵，故，此時滿足是極大值點，所以；（2）∵，∴，①當時，在上單調(diào)遞增.②當，即或時，，∴在上單調(diào)遞減.③當且時，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上遞增；當或時，在上遞減；當且時，在上遞增，在上遞減.（3）令，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為，又當，所以函數(shù)大致圖象為：由圖象知.不妨設，則有，要證，只需證即可，令，則在上單調(diào)遞增，故即，，.22．【正確答案】（1）答案見解析；（2）存在，.（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再對a進行分類討論，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對a進行分類討論，分為，，三種情況，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，從而進行分析求解即可.【詳解】（1）由，得，當