2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．不存在2．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若平面，則（

）A． B． C． D．4．在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C． D．5．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作弦，弦恰被點(diǎn)平分，則弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．6．在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，且平面底面，為線段的中點(diǎn).記異面直線與所成角為，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)、，若圓上存在點(diǎn)，使，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于兩點(diǎn)（為垂足，在線段上），且滿足，則該雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是左、右頂點(diǎn)，為上異于的一點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率 B．的最小值為C．的周長(zhǎng)為 D．的面積的最大值為10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（

）A．的方程為B．面積的最大值為C．最大時(shí)，D．設(shè)，則的最小值為11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，、分別是線段、的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)、），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線：，則直線恒過(guò)定點(diǎn).13．在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.14．橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知橢圓，、為其左、右焦點(diǎn).是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且的最大值為，則.動(dòng)直線為橢圓的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知、、、四點(diǎn).(1)求經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程.16．如圖，已知平面，底面為正方形，，、分別為、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.18．如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，使得，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)）.

+(1)若為的中點(diǎn)，直線與平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使二面角為？若存在，求出線段的大小；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的最小值為.(1)求橢圓的方程；(2)已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.①證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)的面積為，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，故軸，所以，直線的傾斜角為.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫妫瑒t，所以，，解得.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】如下圖所示：

由題意可得，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，同理可得，由空間向量的平行六面體法則可得，所以，，即.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,因?yàn)辄c(diǎn)M1,1為線段的中點(diǎn)，則，，若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，由題意可得，將這兩個(gè)等式作差可得，即，所以，直線的斜率為.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】過(guò)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面是正三角形，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫娴酌?，平面平面，平面，所以底面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，則，，所以，，故選：C.7．【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)?，則，所以，，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡方程為，由題意可知，圓與圓有公共點(diǎn)，兩圓圓心距為，所以，，即，因?yàn)?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為：，設(shè)過(guò)點(diǎn)與漸近線垂直的方程為，由，得，由，得，因?yàn)?，所以，則，所以，化簡(jiǎn)得，即，解得（舍去）或，則.故選：D9．【正確答案】AC【詳解】

對(duì)于A，由題意可得，所以，故A正確；對(duì)于B，的最小值為橢圓的通徑長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)三角形的高最大時(shí)面積最大，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)面積最大，所以的面積的最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)Mx,y，由題，即，整理得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，以為底，且到的最大距離為半徑，所以面積的最大值是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)最大時(shí)，此時(shí)，直線與圓相切，取點(diǎn)，則，且，由勾股定理可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，的最小值為，D對(duì).故選：BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】平面，四邊形是正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，得A0,0,0、、、、、、、，對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，則，解得：，即點(diǎn)與重合時(shí)，，A對(duì)；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，則存在，使得，即，所以，，解得，故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、、，設(shè)，因?yàn)椋?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，又點(diǎn)到平面的距離，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D，由上分析知，，，若是面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)楹瘮?shù)在0,2上單調(diào)遞減，則當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，即逐漸增大時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大，D對(duì).故選：ABD12．【正確答案】【詳解】由題意可得，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故13．【正確答案】【詳解】方法1：由正方體棱長(zhǎng)為2，則，又為的中點(diǎn)，則.點(diǎn)到直線的距離為等腰三角形邊AE所對(duì)應(yīng)的高，取中點(diǎn)為F，連接EF，則EF為邊上的高，則；方法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.則在上的投影向量為.則到直線的距離.故答案為.14．【正確答案】【詳解】根據(jù)橢圓定義得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，則，解得，則.設(shè)切橢圓于點(diǎn)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得、、三點(diǎn)共線，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，到直線的距離為，由圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到直線的距離最小值，最大值，即.故；.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?、、三點(diǎn)都在圓上，則，解得，因此，圓的方程為.（2）由（1）可知，圓的圓心為，半徑為,①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，，解得此時(shí)，直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，故平面.（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，由拋物線的定義可得，解得，因此，拋物線的方程為.（2）若直線軸，則直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1由，整理得，則，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?，所以，即，即，即，解得，因此，直線的方程為，即.18．【正確答案】(1)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，證明見解析(2)存在，線段為【詳解】（1）直線平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面與平面的交線上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

，為的中點(diǎn)，與全等，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為矩形，是的中點(diǎn)，為的中位線，，又平面，平面，直線平面.（2）如圖，由已知可得，，又，平面，平面，又平面，平面⊥平面，，為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，平面平面，平面平面，平面，平面，過(guò)點(diǎn)作直線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，則，設(shè)（），則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，要使二面角的大小為，則，解得，