河南省洛陽市強基聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月月考試題 數(shù)學（含答案）

1PAGE第1頁洛陽強基聯(lián)盟高二12月聯(lián)考數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.0 C. D.2.雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.頂點在原點，關于y軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（）A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知數(shù)列中，則數(shù)列前2024項的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.40486.若橢圓E：的周長為C，則（）A. B. C. D.7.已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點，點是弦AB的中點，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.8.已知拋物線E：的準線交y軸于點M，過點M作直線l交E于A，B兩點，且則直線l的斜率是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.10.已知點A，B是橢圓C：上關于原點對稱且不與C的頂點重合的兩點，，分別是C的左、右焦點，O為原點，則（）A.C的離心率為B.C.的值可以為3D.若的面積為，則11.已知P為圓：上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點M，記點M的軌跡為曲線H，設，在曲線H上，且，，，則（）A.曲線H的方程為B.曲線H的離心率為C.經(jīng)過且與曲線H只有一個公共點的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓的焦距為2，則________.13.若數(shù)列滿足，且，為其前n項和，則的最小值為________.14.已知拋物線C：，P為拋物線C上任意一點，過點P向圓D：作切線，切點分別為A，B，則的最小值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知是數(shù)列的前n項和，若，是等差數(shù)列，.（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式.16.（本小題滿分15分）已知兩點，，動點P在y軸上的射影是H，.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）設直線l：與曲線C相交于A，B兩點，當m為何值時，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點.17.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的前n項和為，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若是遞增數(shù)列，，，求證：.18.（本小題滿分17分）設F為拋物線C：的焦點，，，為C上三個不同的點，且，.（1）求C的方程；（2）設過點F的直線l交C于P，Q兩點.①若直線l交圓于M，N兩點，其中P，M位于第一象限，求的最小值；②過點F作l的垂線m，直線m交C于A，B兩點，設線段PQ，AB的中點分別為D，E，求證：直線DE過定點.19.（本小題滿分17分）已知O為坐標原點，橢圓C：的左、右焦點分別為，，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點，若直線l的斜率等于1，求面積的最大值.洛陽強基聯(lián)盟高二12月聯(lián)考·數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.D8.B9.AD10.ABD11.AC12.513.1014.圓D：的標準方程是，則圓心為，半徑為，設，，所以，所以的最小值為.15.解：（1）設數(shù)列的公差為d，則由，得， 1分所以，即， 4分所以，， 5分因為，所以，解得， 7分所以 8分（2）由（1）知，所以時，， 11分上面這個式子對也適合， 12分所以時，. 13分16.解：（1）設動點，則，所以，，， 2分因為，所以.即軌跡C的方程為. 5分（2）聯(lián)立方程消去y并整理得， 6分所以，且，所以且， 8分設，，則，. 9分若以AB為直徑的圓過點，則，所以，即，所以， 12分所以，化簡，得，解得，滿足，所以. 15分17.證明：（1）設等差數(shù)列的公差為d，則， 3分所以， 6分所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 8分（2）由（1）知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，因為， 9分即， 10分因為，所以， 11分所以， 12分所以 15分18.（1）解：由題意得焦點，設，，，因為，所以，即， 2分所以|解得，所以C的方程為. 5分（2）①解：圓化為標準式為，其圓心恰為F，半徑為1， 6分當直線l斜率存在時，根據(jù)題意可設直線l的方程為，，，由得，， 7分，， 8分因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，當直線l斜率不存在時，，，，所以的最小值為4. 11分②證明：由題知直線l的斜率k存在且不為0，由①得，，則. 12分用替換k得點. 13分當，即時，直線DE的斜率， 14分所以直線DE的方程為，整理得，所以直線DE恒過點； 16分當時，直線DE的方程為，也過點.綜上所述，直線DE恒過點. 17分19.解：（1）因為，所以，即， 2分又且以P為圓心的圓與直線相切，所以此圓半徑，又圓過點，所以，即，解得， 5分所以，即，故橢圓C的方