河南省洛陽市強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué)（含答案）

1PAGE第1頁洛陽強(qiáng)基聯(lián)盟高二12月聯(lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.0 C. D.2.雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于y軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知數(shù)列中，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.40486.若橢圓E：的周長為C，則（）A. B. C. D.7.已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.8.已知拋物線E：的準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且則直線l的斜率是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.10.已知點(diǎn)A，B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱且不與C的頂點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則（）A.C的離心率為B.C.的值可以為3D.若的面積為，則11.已知P為圓：上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線H，設(shè)，在曲線H上，且，，，則（）A.曲線H的方程為B.曲線H的離心率為C.經(jīng)過且與曲線H只有一個公共點(diǎn)的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓的焦距為2，則________.13.若數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)和，則的最小值為________.14.已知拋物線C：，P為拋物線C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓D：作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，是等差數(shù)列，.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.16.（本小題滿分15分）已知兩點(diǎn)，，動點(diǎn)P在y軸上的射影是H，.（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線l：與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).17.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若是遞增數(shù)列，，，求證：.18.（本小題滿分17分）設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，，，為C上三個不同的點(diǎn)，且，.（1）求C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交C于P，Q兩點(diǎn).①若直線l交圓于M，N兩點(diǎn)，其中P，M位于第一象限，求的最小值；②過點(diǎn)F作l的垂線m，直線m交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段PQ，AB的中點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過定點(diǎn).19.（本小題滿分17分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，，P為橢圓C的上頂點(diǎn)，以P為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線l的斜率等于1，求面積的最大值.洛陽強(qiáng)基聯(lián)盟高二12月聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.D8.B9.AD10.ABD11.AC12.513.1014.圓D：的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心為，半徑為，設(shè)，，所以，所以的最小值為.15.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則由，得， 1分所以，即， 4分所以，， 5分因?yàn)?，所以，解得?7分所以 8分（2）由（1）知，所以時，， 11分上面這個式子對也適合， 12分所以時，. 13分16.解：（1）設(shè)動點(diǎn)，則，所以，，， 2分因?yàn)?，所?即軌跡C的方程為. 5分（2）聯(lián)立方程消去y并整理得， 6分所以，且，所以且， 8分設(shè)，，則，. 9分若以AB為直徑的圓過點(diǎn)，則，所以，即，所以， 12分所以，化簡，得，解得，滿足，所以. 15分17.證明：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則， 3分所以， 6分所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 8分（2）由（1）知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，因?yàn)椋?9分即， 10分因?yàn)?，所以?11分所以， 12分所以 15分18.（1）解：由題意得焦點(diǎn)，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，即?2分所以|解得，所以C的方程為. 5分（2）①解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，其圓心恰為F，半徑為1， 6分當(dāng)直線l斜率存在時，根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為，，，由得，， 7分，， 8分因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，當(dāng)直線l斜率不存在時，，，，所以的最小值為4. 11分②證明：由題知直線l的斜率k存在且不為0，由①得，，則. 12分用替換k得點(diǎn). 13分當(dāng)，即時，直線DE的斜率， 14分所以直線DE的方程為，整理得，所以直線DE恒過點(diǎn)； 16分當(dāng)時，直線DE的方程為，也過點(diǎn).綜上所述，直線DE恒過點(diǎn). 17分19.解：（1）因?yàn)?，所以，即?2分又且以P為圓心的圓與直線相切，所以此圓半徑，又圓過點(diǎn)，所以，即，解得， 5分所以，即，故橢圓C的方