滬教版 八年級(jí)(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第20講 期末復(fù)習(xí) (解析版)

本講整理了八年級(jí)上學(xué)期的四個(gè)章節(jié)內(nèi)容，重點(diǎn)是二次根式的混合運(yùn)算、一元二次方程

的求解及應(yīng)用、正反比例函數(shù)的綜合及幾何證明，難點(diǎn)是二次根式的混合運(yùn)算及幾何證明中

需要添加輔助線和直角三角形的性質(zhì)及推論的綜合運(yùn)用，希望通過(guò)本節(jié)的練習(xí)，可以幫助大

家把整本書(shū)的內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，融會(huì)貫通，更快更好的解決問(wèn)題.

知識(shí)結(jié)構(gòu)

最簡(jiǎn)二次根式1同類二次根式

‘二次根式的'

性質(zhì)

—有理化因式和分母有理化

二次

根式

二次根式的加減

[二次根式的運(yùn)卜T二次根式的乘除|―[混合運(yùn)算

算

【練習(xí)1】下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.￡B.亞C.后

D.同

【答案】B

【解析】=-^-;Vo.5-；V50=5>/2.

【總結(jié)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義.

【練習(xí)2】若一元二次方程雙2一2》+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍正確的

是()

A.a>\B.a<\C.且awOD,0<6f<1

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，故A=/-4〃c=(-2『-4xa20,則“41,

又因?yàn)橐辉畏匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)不為零，即。#0；故且。工0.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程根的情況.

【練習(xí)3】如果正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),那么另一個(gè)

交點(diǎn)的坐標(biāo)為().

4.(-3,-2)B.(3,2)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【答案】D

【解析】反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

【練習(xí)4】下列命題中，哪個(gè)是真命題()

A.同位角相等

B.兩邊及其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高

D.若PA=PB,則點(diǎn)P在線段A8的垂直平分線上

【答案】D

【解析】A中只有兩條直線平行，同位角相等；8中'S-S-A'不能證明三角形全等;

C中等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高所在直線，對(duì)稱軸應(yīng)該是直線：

。中是垂直平分線的性質(zhì).

【總結(jié)】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的判定，對(duì)稱軸及垂直平分線性質(zhì).

【練習(xí)5】以下說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()

A.在AABC中，NC=N4NB,則AABC為直角三角形

B.在AABC中，若NA：NB：NC=5:2:3,貝以48。為直角三角形

44

C.在AABC中，^a^-c,b=-c,貝必ABC為直角三角形

55

D.在AABC中，若a:6:c=2:2:4,則4ABC為直角三角形

【答案】D

【解析】選項(xiàng)A、8均由三角形內(nèi)角和定理可求得乙4=90。；C由勾股定理可得AABC為直

角三角形；。中有三邊關(guān)系知構(gòu)造不了三角形，故錯(cuò)誤.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的判定.

【練習(xí)6】關(guān)于x軸上有一點(diǎn)4到點(diǎn)B(-3,4)的距離是5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()

A.(-6,0)B.(0,0)

C.(-6,0)或(0,0)D.以上都不對(duì)

【答案】C

【解析】過(guò)點(diǎn)3作x軸的垂線交x軸為點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),又因?yàn)辄c(diǎn)B到x軸

的距離為4,所以由勾股定理可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,0)或(0,0).

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.

【練習(xí)7】匚匚化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后等于()

桁一1)-

.x4xx4-x「-Xy/^X-x4x

A?D.C?-------L)?

X—\1—X1—XX—1

【答案】c

【解析】.?--X3>0,即X40,x-l<0,故原式.故選C.

(x-1)2l-x

【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn).

【練習(xí)8】某同學(xué)做了以下四題，其中做錯(cuò)的有()

①J1=4a2；(2)y/5a■\Jl0a=5a；③，=&；④=

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】B

【解析】①③正確：②④錯(cuò)誤；②中扃?阿=石聲=5四”：

④中=（\/^-拉）x/ii,故選B.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的運(yùn)算及化簡(jiǎn).

【練習(xí)9】如果關(guān)于x的方程(x+a)(x+b)+(x+6)(x+c)+(x+c)(x+a)=0(其中a、b、

均為正數(shù))有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則以心氏c為長(zhǎng)的線段促成的是().

A.等腰非等邊三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.不能確定形狀

【答案】B

【解析】原方程可以整理為3了2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=O

?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，；.△=[2(a+Z?+c)(-4x3x(ab+/?c+ac)=0

整理得：4?2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac=0

即2(a-b)2+2(Z?-c)2+2(a-c)2=0

a-b-Q,b-c=0,a-c=0,即a=b=c

.,?三角形為等邊三角形.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程根的判別式及配方的運(yùn)用.

【練習(xí)10]已知一直角三角形ABC的三邊為a、b、c,NB=90。，那么關(guān)于x的方程

a(d-1)-25+//+i)=o的根的情況是().

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】解：???NB=90°,.?.。2+02=匕2

化簡(jiǎn)原方程為：（a+h]x2-2cx+b-a=0,..A=4c2-4（Z>2-a2）=4c2-4c2=0,

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A正確.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及根的判別式的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)11】多項(xiàng)式4/+8x7進(jìn)行因式分解正確的是（）

A.（x+^^）（x+^^）B.（4x+4+2退）（4x+4-2石）

22

C.（2x+2+@（2x+2一石）D.4（》+巨罵（》一生芻

22

【答案】C

【解析】解：令4》2+8X一1=0,由△=82-4X4X(-1)=80>0

由公式法得：占=-21?叵2-舊

%=---------

2

所以4x?+8x-l=4卜+帶叵三叵

=(2x+2+\[^)(2x+2-y/s)

故選C.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用--二次三項(xiàng)式的因式分解的運(yùn)用.

【練習(xí)12】已知函數(shù)〉=找伏。0）中y隨X的增大而增大，那么它和函數(shù)y=%AwO）在

同一直角坐標(biāo)系平面內(nèi)的大致圖像可能是（）.

BCD

【答案】D

【解析】,?,函數(shù)y=左乂女工0）中y隨x的增大而增大；>0

.?.函數(shù)丫=匕（）%0）和函數(shù)、=?代二0）的圖像都在一、三象限，故。正確.

X

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).

【練習(xí)13]如圖,A、C是函數(shù)），=」的圖象上任意兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為8,

X

過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為O，記RtZXAOB的面積為S1,雙△COD的面積為S?,

則岳和邑的大小關(guān)系是（）.

A.5,>52B.S[<S2

C.S^S2D.由4、C兩點(diǎn)的位置確定

【答案】C

（解析】???點(diǎn)4和點(diǎn)C都在反比例函數(shù)圖像上，

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)14]如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cvn,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊

AC沿直線AQ折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CC等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmA

【答案】3

【解析】解：在RrAABC中，由勾股定理得：AB=\Qcm,再由折疊\/

的性質(zhì)可得CD=DE,AE=AC=6cm,所以C-----------------------------

BE=AB-AE=4an,S.DE±AB；

設(shè)C￡>為x,則比>=8-x,DE=x,在及ADEB中,WBE2+DE2=BD2,

B|J42+x2=（8-x）2,解得：x=3cm.故8項(xiàng)正確.

【總結(jié)】本題考查了圖形的折疊和勾股定理的應(yīng)用，注意翻折的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)15】在AABC中，AB=\5,AC=13,BC邊上的高AO=12,則“8。的周長(zhǎng)

是()

A.42B.32C.42或32D.37或33

【答案】A人

【解析】???ADJ_8C,.?.在MWC中，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2,/[\

所以C￡>=5,同理可得：BD2=AB2-AD2,所以比)=9.

當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，3c=%>+8=5+9=14,則AA8C的周長(zhǎng)=13+14+15=42；

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，BC=BD-CD=9-5=4,則AABC的周長(zhǎng)=13+4+15=32；

故選C.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意當(dāng)涉及到三角形一邊上的高時(shí)，要分兩種情況討

論.

填空題

【練習(xí)16](1)若x/x-l-Jl-」=(x+?,貝！Jx—y的值為

(2)使J(2-幻@+1)=萬(wàn)^?x/TTT成立的條件是

(3)二次根式向^的有理化因式是.

【答案】(1)2；(2)-l<x<2；(3)jn+n.

【解析】(1)由題意得：x-l>0,l-x>0,所以x=l,

=l代入Jx-l—Jl-x=(x+y)2,可得：y=-l,故x-y=2；

(2)由題意，得：P-X-0,解得：-l<x<2；

x+l>0

(3)yjm+n的有理化因式是-Jm+n等.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的有意義的條件及有理化因式的概念，注意任何一個(gè)二次根式

的有理化因式是不唯一的.

【練習(xí)17](1)方程V-4=0的根是；

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程)x2+3x+，"2-2=0的一個(gè)根為0,則，”的

值是.

【答案】(1)±=2,X2=-2；(2)-五.

【解析】(1)X2-4=0,則%=2,9=-2.

(2)把x=0代入方程得：相2-2=0且%-正*0,則計(jì)算得出“=—及.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的條件.

【練習(xí)18](1)已知正比例函數(shù)產(chǎn)(2%-l)x的圖像上兩點(diǎn)A(X1,%),8(%,必)，當(dāng)

N＜工2時(shí)，,＞丁2那么切的取值范圍是；

(2)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)直線y=-3x上的點(diǎn)(-加，w+2),則機(jī)=

反比例函數(shù)的解析式為.

13

【答案】(1)m＜-；(2)I；y=--.

2x

【解析】(1)??,點(diǎn)A和點(diǎn)3都在正比例函數(shù)圖像上，當(dāng)陽(yáng)＜巧時(shí)，%＞為；

二.y隨工的增大而減小，即2"[-1＜()；故相＜，.

2

(2),??點(diǎn)(一加+2)在函數(shù))=一3%圖像上，.?.帆+2=-3(-m)，即機(jī)=1；

???此點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),.?.反比例函數(shù)解析式為y=-1.

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法.

【練習(xí)19](1)定理“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方'’的逆命題是

(2)命題"等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(I)如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角

形.

(2)如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

【總結(jié)】本題考查了互逆命題的應(yīng)用.

【練習(xí)20](1)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,-1)和8(-1,2),那么A、8兩點(diǎn)間的距離

等于;

(2)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的RtMBC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,3),8(1,2)、C(3,-4),

則該直角三角形的直角頂點(diǎn)是.

【答案】⑴5；⑵點(diǎn)8.

【解析】(1)由兩點(diǎn)間距離公式，可得：+(2+1)2=5；

(2)VA(4,3),8(1,2)、C(3,-4),

/lB2=(l-4)2+(2-3)2=10,BC2=(3-l)2+(-4-2)2=40,

AC2=(3-4/+(-4-3)2=50,

AC2=AB2+BC2,所以N8=90°,故直角頂點(diǎn)為點(diǎn)8.

【總結(jié)】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用及勾股定理逆定理的應(yīng)用.

【練習(xí)21](1)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、8的圓的圓心的軌跡是：

(2)到點(diǎn)A的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡.

【答案】(1)線段/W的垂直平分線；(2)以點(diǎn)A為圓心2厘米為半徑的圓.

【解析】(1)由題意知，圓心應(yīng)滿足到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離相等，從而根據(jù)線段的垂直平分

線畫(huà)出即可；

(2)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的軌跡為圓.

【總結(jié)】本題考查了基本圖形的畫(huà)法.

【練習(xí)22](1)某地2016年4月份的房?jī)r(jià)平均每平方米為96000元，該地2014年同期的

房?jī)r(jià)平均每平方米為76000元，假設(shè)這兩年該地房?jī)r(jià)的平均增長(zhǎng)率均為x,則關(guān)于x的

方程為:

(2)某廠計(jì)劃今年的產(chǎn)值為a比前年翻一番，且這兩年的增長(zhǎng)率相同，則這三年的總

產(chǎn)值是_____________.

【答案】(1)76000(1+x)2=96000；(2)+與a.

【解析】根據(jù)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的方程類型”(l±x)"=匕來(lái)列方程：

(1)76000(1+x)2=96000；

(2)設(shè)增長(zhǎng)率為x,則(l+x>=2,解得：X=72-1,

故這三年的總產(chǎn)值為：—a+—a(y+'j2-1)+a=—a+^-a.

2222

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程中平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的類型，注意對(duì)總產(chǎn)值的理解.

【練習(xí)23](1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3d—6x+l=；

(2)若一元二次方程用2+2犬-1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則/〃的取值范圍

【解析】(1)令31-6》+1=0,由△=(-6『-4X3=24>0,

所以由公式法得：再=￥，%=￥，故獷-6川

(2)由題意得：△=4+4〃2之。且加。0；解得：.

【總結(jié)】本題考查了二次三項(xiàng)式的因式分解及根的判別式的運(yùn)用.

【練習(xí)24】計(jì)算：「加+:同+.

【答案】2.

【解析】3屈+(病一唱卜4亞行+后-2⑸+4收=2.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，注意進(jìn)行化簡(jiǎn).

【練習(xí)25]如圖，及AABC■中，ZACB=90,ZA=40,。為A3中點(diǎn)，CE1AB,

則ZDCE=.

【答案】10°.

【解析】???ZACB=90a,。為45中點(diǎn)，,?.4)=8,

:.ZACD=ZA=40a,-.-CEA-AB,ZACE=180°-90°-ZA=50",

NDCE=ZACE-ZACD=50°-40°=10°.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)26】(1)如果正比例函數(shù)>=依(后0)的自變量取值增加7,函數(shù)值相應(yīng)減少4,

那么當(dāng)x=4時(shí)，y=；

(2)若x與-3y成反比例函數(shù)關(guān)系,y與-4z成反比例函數(shù)關(guān)系，則x與z成

比例函數(shù).

【答案】(1);(2)反.

7

【解析】(1)由題意得：(y-4)=H》+7),即y-4=乙+7Z,代入y=Z:x中，解得：出=一。，

所以正比例函數(shù)為y=-3,故當(dāng)x=4時(shí)，y-y.

(2)由題意得：x=_8,y=-2,所以x=——'=戈,

3y-4z3.(_%3k2

4z

故x與z成反比例函數(shù).

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的概念.

【練習(xí)27](1)如圖，已知在AABC中，C。平分/ACO,NA=2/B,BC=a,AD=b,

則4C=(用含。、b的代數(shù)式表示)；

(2)在△ABC,AB=BC,BD=DC,BC=CE,則圖中一定相等的角(小于平角)

有對(duì).

【答案】⑴a-b；(2)3.

【解析】(1)如圖所示，在BC上截取CE,使得CE=AC,連接OE

???8平分ZACD,ZACD=ZECD,

又?.?AC=CE,CD=CD,.-.AACD^AECD,

：.AD=DE=b-,ZA=ZCED,

又NA=2N3,ZCED=ZB+ZEDB,:.ZB=ZEDB,

BE=DE=AD=h,又,:BC=a,AD-CE=BC—BE=a—h.

(2)Zfi4C=ZfiC4；ZBAD=ZBEA-,ADAC=Z.CAE.

【練習(xí)28](1)如圖，在R/AABC中，NC=90度，BC=24cm,NBAC的平分線AO交

BC于點(diǎn)、D,BD-.DC=5：3,則點(diǎn)。到AB的距離為cm-,

(2)等腰直角三角形ABC的斜邊BC=4,△力BC為等邊三角形，那么4、力兩點(diǎn)的距離

是;

(3)在矩形A8C。中，AB:A￡>=1:2,將點(diǎn)A沿折痕力E對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上的尸點(diǎn)，

則NADE=度.

【答案】(1)9；(2)26+2或26-2；(3)15.

【解析】(1)作力于E,

,/BD:DC=5:3,BC=24cm,DC=9cm,

???AD是NBAC的平分線，ZC=90°,DELAB,

DE=DC—9cm.

(2)分兩種情況：①連接AD,交BC于E,

???ADBC為等邊三角形，:.BD=CD=BC=4,

?：AB=AC,垂直平分3C,AE=-BC=2,NDEB=90,

2

DE=&-2?=2百,AD=DE+AE=2y/3+2；

②如圖示，由①得：￡>E=26，AE=2,

AD=DE-AE=2y/3-2；

所以AD=2百+2或26-2.

(3)如圖所示：由題意可得/W:4)=l:2,

由翻折性質(zhì)￡>F=AD，則在WAC￡)尸中。C：CF=1：2,故NOFC=30°；

在矩形AfiCO中，AD//CF,所以NAO尸=NO9C=30°,

故ZADE=ZEDC=-ZADF=15°.

2

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，及分情況討論.

【練習(xí)29】一元二次方程依-1）丁+2履+左+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求上的最大整

數(shù)值______________.

【答案】0.

【解析】由題意得：公=（2。2-4k-1）（A+3）=-84+12>0,解得：k<|且2—1左0,即4w1,

所以k的取值范圍為k<3且4*1.所以k的最大整數(shù)值為0.

2

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式的運(yùn)用.

【練習(xí)30】方程（2016x）2-2015x2017x-l=0的較大根加，方程2015/-2016x+l=0較

小根為〃，則m-n的值

【答案】2014

2015

【解析】???(2016x)2-2015x2017x-1=0,(2016x)2-(2016-1X2016+1)x-1=0,

A(2016X)2-20162X+X-1=0,ER20162x(x-l)+(x-l)=0,

(x-l)(20162x+l)=0,解得：x.=l,^=--L5-,,

又2015X2-2016X+1=0,(2015x-lXx-l)=0,

1=1

解得:A，X-y1?n=----

-20152015

12014

故加一〃=1

20152015

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法.

【練習(xí)31】AAOC與AOCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、。均在雙曲線y=二（》＞0）上，點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、E在x軸上，A、。的坐標(biāo)分別是.

【答案】A（l,g）；D（V2+1，V6-^）.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHLx軸于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)。作

。/，》軸于點(diǎn)尸.

?JAAOC為等邊三角形，.?.設(shè)A（“，口）

又?.?點(diǎn)A在雙曲線y=立（》＞0）上，

XHCFE

43a2=V3＞解得：a=l或〃=一1（舍），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,G）；

同理，設(shè)。僅，小〃一2））,則麻0-2）=百，解得：b=y[2+l（負(fù)值舍去），

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（應(yīng)+1,6-6）.

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征及等邊三角形的性質(zhì).

【練習(xí)32]已知三角形ABC為等腰直角三角形，且A（2,3）,B、C分別在坐標(biāo)軸上,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是.

【解析】如圖所示：4（-1，0）；員（2,0）；B3（5,0）；紜（0,5）；V（0,3）；B6（0,l）.

B4

B5仆

【總結(jié)】本題考查了簡(jiǎn)單的‘?dāng)?shù)形結(jié)合’思想.

解答題

【練習(xí)33】⑴已知求的值;

(2)已知：5j2-x+3，>-2=y+1,求“+y的值.

【答案】(1)4-272；(2)1.

【解析】⑴???。=-^7==-2《+⑸<0,

1—V2

,原式=尹===上次=4-2叵

7(?-1)2-1+2(1+72)

(2)v2—x>0,x—2>0,:.x=2,/.y+1=0,y=-l,

Jx+y=J2-1=1.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算.

【練習(xí)34]解方程：

(1)>/3X2-X-7V3=0；(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2.

，林安1(16+,2556—)255s、1①

【行條】(1)x=------------，x=-------------；(2)再=-,x=-2.

[62632

【解析】⑴A/3X2-X-7V3=0,△=l+4gx7百=85>0,解得：xJ士寫(xiě),

2V3

原方程的解為士=.土畫(huà)，x2=小二畫(huà)；

66

(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2,化簡(jiǎn)得：3X2+5X-2=0,(3X-1)(X+2)=0

.,.原方程的解為X1=g,x2=—2.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的解法.

【練習(xí)35】證明：無(wú)論如〃取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程加r，+("2+")x+”=0都有實(shí)數(shù)根.

【解析】①當(dāng)m=0時(shí)，原方程可化為nr+〃=0,解得：x=-l；

②當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，A=(m+n)2-4mn=(in-?)2>0,

故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

所以無(wú)論小、〃取任何值，方程都有實(shí)數(shù)根.

【總結(jié)】本題考查了方程跟的情況，注意分類討論.

【練習(xí)36】某商店將進(jìn)價(jià)為8元的商品每件按10元出售，每天可買出200件，現(xiàn)在采取

提高商品售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，如果這種商品每件的銷售價(jià)每提高0.5元銷售量

就減少10件，問(wèn)應(yīng)將每件售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為640元.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】解：設(shè)每件售價(jià)定為*元(x>10),

由題意得:(x-8)|200-10[(x-10)4-0.5]}=640

2

化簡(jiǎn)得：X-28X+192=0,解得：%,=12,x2=16

當(dāng)x=12時(shí)，{200-10[(x-10)-0.5]}=160；

當(dāng)x=16時(shí)，{200-10[(x-10)-0.5]}=80.

所以售價(jià)定為12元時(shí)每天可售160件，售價(jià)定為16元時(shí)每天可售80件，利潤(rùn)可達(dá)每天

640元.

【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題.

【練習(xí)37]已知正比例函數(shù)丫=依+1)》的圖像經(jīng)過(guò)4(2,-4)、8(,〃，2)兩點(diǎn).

(1)求m的值;

（2）如果點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=［（&HO）的圖像上，求反比例函數(shù)的解析式.

【答案】（1）m=-l;（2）y=--.

x

【解析】（1）因?yàn)檎壤瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)A（2,-4）,所以2（占+1）=-4,解得：用=-3,

所以正比例函數(shù)解析式為y=—2x,由題意得，當(dāng)y=2時(shí)，-2m=2,得：機(jī)=一1；

（2）由點(diǎn)3在反比例函數(shù)圖像，得：&2=7x2=—2,

所以反比例函數(shù)解析式為丁=-2.

X

【總結(jié)】本題考查了利用待定系數(shù)法求正反比例函數(shù)的解析式.

【練習(xí)38]如圖，在△A8C中，/C=90度，AC=BC,AO平分NCAB,AB=20cm.

求AC+CD的長(zhǎng).

【答案】20cm.

【解析】過(guò)。作垂足為點(diǎn)E，

VZC=90°，ZC=ZDEA.vAD平分ZC4B,

ZC=ZAED

在A4C￡）和AAED中，＜NC4。=ND4E,

AD=AD

：.AACD=AAED,：.AC=AE,CD=DE.

又?.?AC=8C,N4CB=90,.?.AA3C是等腰直角三角形,

ZB=ZCAB=45°，ZBDE=180°-90°-45=45°，

:.ZEDB=ZB,CD=DE=EB,

AC+CD=AE+EB=AB=20cm.

【總結(jié)】本題考查了構(gòu)建全等三角形證明線段相等.

【練習(xí)39]如圖：在四邊形ABC。中，ZC=90°,BC=3,CD=4,AD=\2,AB=13,求

四邊形ABC。的面積.

【答案】36.

【解析】vZC=90°,BC=3,CD=4,

BC

.??由勾股定理得：BD=^BC2+DC2=5,

VAB=\3,AD=]2,AD2+BD2=AB2,:.ZADB=90a,

：.四邊形/WCZ）的面積5=5.8+5^480=4x3x4+3x5x12=36.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，從而快速求出幾何圖形的面積.

【練習(xí)40】小智和小方沿同一條路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到圖書(shū)館查閱資料，學(xué)校與圖書(shū)餌的路

程是4千米，小智騎自行車，小方步行，當(dāng)小智從原路回到學(xué)校時(shí)，小方剛好到達(dá)圖

書(shū)館，圖中折現(xiàn)。一——B——C和線段0。分別表示兩人離學(xué)校的路程y（千米）

與所經(jīng)過(guò)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：

（1）小智在圖書(shū)館查閱資料的時(shí)間為分鐘，小智返回學(xué)校的速度為

千米/分鐘；

（2）請(qǐng)你求出小方離開(kāi)學(xué)校的路程y（千米）與所經(jīng)過(guò)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)

,A

代入（45,4）,得:4=45k,解得：k=—,

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-^X0<x<45）.

【總結(jié)】本題考查了正比例函數(shù)解析式的求法，注意數(shù)形結(jié)合的理解.

【練習(xí)41]如圖，在四邊形A8CD中，ZABC=ZADC=90°,對(duì)角線AC與2。相交于點(diǎn)

O,M,N分別是邊AC、8。的中點(diǎn).

（1）求證：MN上BD；

(2)當(dāng)NBCA=15°,AC=Scm,OB=OM時(shí)，求MN的長(zhǎng).

【解析】（1）證明：連接3M、DM.

DC

???NABC=NADC=90°,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是邊AC、5。的中點(diǎn),

BM=DM=-AC.

2

vN是的中點(diǎn)，

..MN上BD.

(2)vZBC4=15°,BM=CM=-AC,

2

/BCA=NCBM=15°,

.-.ZBMA=30°.

OB=OM，

??./OBM=NBMA=30、

AC=8,BM=-AC,

2

在RtMMN中,NBNM=90°,NNBM=30°,

==2.

2

【總結(jié)】本題考查了等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)42]己知：如圖(a),在等腰三角形ABC中，ZC=90°,4。是/CAB的平分線.

(1)求證：AB=AC+CD；

(2)把原題中的“NC=90?！备臑椤癗C=100。”,其余條件不變，如圖他)，請(qǐng)說(shuō)出AB,

AD.CO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解析】(1)在邊A8上截取AE=AC；

???AD是/C40的角平分線，ZCAD=ZDAB,

AD=AD,AE=AC,AACDsAAED.

:.CD=DE,ZAED=ZC=90°,

■：AB^AC,ZCAB=ZB=45°,ZBDE=ZB=45\

DE-BE=CD,/.AB-AE+BE=AC+CD；

(2)AB=AD+CD.

證明：在他上截取AE=AC,AF=AD,

AC=BC,ZC=1()0,ZBAC=ZB=40°,

又???AD平分ZCAB,ZCAD=ZBAD=20°,

由(1)得AACD三AA￡D,..DE=CD,ZA￡Z)=NC=100°,NOE8=80°,

AF=AD,ZFAD=20°,AADF=ZAFD=80°,DF=DE=CD,

;NBFD=100°,ZB=40°,ZFDB=4ff,則所=。尸=C￡),

AB=AF+BF=AD+CD.

【總結(jié)】本題考查了輔助線的添法-截長(zhǎng)補(bǔ)短法的運(yùn)用，注意對(duì)題目條件的有效分析.

【練習(xí)43]己知：在AABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為。，BELAC,垂足為E,M為

AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE,?！霸O(shè)NC=e.

(1)當(dāng)AABC時(shí)銳角三角形時(shí)(如圖)，試用a表示

(2)當(dāng)△ABC時(shí)鈍角三角形時(shí)?，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并用a表示NEDW(可直接寫(xiě)出).

【答案】(1)NE￡>M=3a—180°；(2)ZEDM=\80a-3a.

【解析】(1)VAB=AC,AD±BC,:.BD=CD,

■：BEYAC,

BDC

，CD=DE=-BC,

2

ZCDE=180°-2ZC=180°-26z,

又???AD_L3C,〃為AC中點(diǎn)，

CM=DM=-AC,

2

/CDM=/C=a，

/EDM=/CDM-ZCDE=a-(180f-2a)=3a-l80°.

(2)如圖，同(1)可得：

NCDE=180°-2ZC=180°-2a9

NCDM=NC=a,

NEDM=ZCDE-^CDM=180°-2a-a=180°-3a.

【總結(jié)】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，注意角度之間的關(guān)系.

【練習(xí)44]如圖，在氣象站臺(tái)A的正西方向240千米的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，該臺(tái)風(fēng)中心

以每小時(shí)20千米的速度沿北偏東60。的BD方向移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心130千米內(nèi)的地

方都要受其影響.

(1)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)的過(guò)程中，與氣象臺(tái)A的最短距離是多少？

(2)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)的過(guò)程中，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)間

會(huì)持續(xù)多長(zhǎng)？

【答案】(1)\20km-.(2)5小時(shí).

【解析】(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作于E,

?.?臺(tái)風(fēng)中心在皮?上移動(dòng)，

,-,AE就是氣象臺(tái)距離臺(tái)風(fēng)中心的最短距離,

在WA/WE中，AB=240hn,NA8E=30,

AE=-AB=l20km,

2

所以臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，與氣象臺(tái)A的最短距離為120公”;

（2）由題意得：線段CD就是氣象臺(tái)A受到臺(tái)風(fēng)影響的路程，

在R/AACE中，AC=130hn,A￡=1204/77,

CE=ylAC2-AE2=>/1302-1202=50km,

AC=AD,AEYCD,

CE=ED=50A7”,

CD=lOOkm,

：.臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)間會(huì)持續(xù)100+20=5（小時(shí)）.

【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題的運(yùn)用.

【練習(xí)45]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,,"）04=2,

正比例函數(shù)y=2和反比例函數(shù)y=金的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線交

mx

x軸于點(diǎn)B.

（1）求加和人的值；（2）求點(diǎn)8的坐標(biāo).

【答案】（1）機(jī)=白；%=百+1；（2）8（4,0）.

【解析】（1）?.?第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，機(jī)），

在正比例函數(shù)y=在的圖像上，

m

m=---->解得：m=±A/3，

m

?.?正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限,

tn=y[3，

則代入y=~,解得：k=V3+1.

(2)由⑴得設(shè)點(diǎn)5的坐標(biāo)為(a,0),

2,BO=a,A8=扁,

由題意得：BAXOA.

則在用△Q4B中，由勾股定理：AB2+AO1=BO-,

所以(a-1)-+3+4=a*,解得：a=4,

所以8(4,0).

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.

察

紐

T觀

【練習(xí)46］如圖,認(rèn)真分析各式，如何解答問(wèn)題:

(8+1=2S,=-

^2

(0)2+1=3S--

22

-^

(揚(yáng)2+1=4S,=2

(1)用含有〃(〃是正整數(shù))的等式表述上述的變化規(guī)律;

(2)推算出0A。的長(zhǎng);

A.

S4

S5

4

(3)求出5：+邑2+邑2+…+S；的值.

【答案】(1)S“=乎(〃wN)；

(2)0Ao=布；

(3)—.

4

【解析】(1)由已知式子可得：+i=〃+i,

S"=?(〃eN)；

(2)由圖可得：OA=yf\,OAy=2x=y[2,04=2x=V3>

所以O(shè)Ao=加；

(3)由(1)、(2)得：S：+s；+s：+…+S[j=?l+2+…+10)=變.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用.

【練習(xí)47]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AAOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(0,3),點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,并把AAOP

繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊A0與AB重合，得到△ABD.

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(G，0)時(shí)，求此時(shí)DP的長(zhǎng)及點(diǎn)D的坐標(biāo);

若△OPC的面積等于且，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P.

(2)

4

【答案】(1)DP=26,￡>(26,3)；(2)P2-6

2

【解析】(1)AAOB是等邊三角形，NOAB=60°,

AAOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)邊AO與AB電合,

旋轉(zhuǎn)角=N0A8=/%￡)=60°,AD=AP,

：.AAPD是等邊三角形，；.DP=AP.

VA(0,3),P(6,0),

AP=[㈣2+3?=2yf3,

AOAP=30,DP=AP=2g,

ZOAD=ZOAP+ZPAD=90°.

.?.點(diǎn)。坐標(biāo)為(26,3),DP=2>/3.

(2)過(guò)點(diǎn)。作。HLr軸于點(diǎn)H,連接?！?,

設(shè)點(diǎn)P(x,0),因?yàn)辄c(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以O(shè)P=x,

易證。4=3+且x,

22

SqpD=g,°P.DH,,

解得：犬=二蟲(chóng)”...x>0,.「=在音.

22

故P點(diǎn)坐標(biāo)為尸卜夕二更，0.

2

【總結(jié)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及分類討論，綜合

性較強(qiáng).

【練習(xí)48]已知：在AA8C中，AB=6,AC=5,NA為銳角，"BC的面積為9,點(diǎn)P為

邊AB上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BO〃AC,交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，NACP的的平分線交AB于

點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)CO_L48時(shí)，求PE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為A8中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)猜想并證明：線段AC、CD、OB的數(shù)量關(guān)系.

3

【答案】(1)PE=-;(2)AC=CD+BD.

2

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EFLAC于點(diǎn)F

VCDYAB,SiM)c=^ABCP=9,\-AB=6,CP=3.

在向AACP中，由勾股定理得：AC2=AP2+CP2,

AC=5,.'.AP=4.

???CE平分ZACP,CDLAB,EFLAC,PE=EF

易證ACPEMACTE,:.CF=CP=3,:.AF=2.

在向AAEF中，AF2+EF2=AE2,:.22+PE2=(4-PE)2,

AC=CD+BD.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及基本圖形的應(yīng)用.

【練習(xí)49]如圖，已知點(diǎn)A(3,4),ABLX軸，垂足為點(diǎn)B