2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是的直線方程是（

）A． B．C． D．2．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．在圓的所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中，最短的弦的長(zhǎng)度為（

）A．1 B．2 C． D．44．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．光線通過(guò)點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（

）A． B．C． D．7．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，圓與圓有2條公切線B．當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C．當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D．當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為10．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．，使B．線段存在最小值，最小值為C．直線與平面所成的角恒為45°D．，都存在過(guò)且與平面平行的平面11．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)，則稱為點(diǎn)到點(diǎn)的“曼哈頓距離”.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則B．的最大值是C．的最小值是2D．的最小值是三、填空題（本大題共3小題）12．圓與圓交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為.13．在空間直角坐標(biāo)系中已知，，，為三角形邊上的高，則．14．在對(duì)角線的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線、的距離之和為，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求滿足下列條件的直線方程.(1)直線與直線平行；(2)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.16．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且平面.求：(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)點(diǎn)A到平面的距離.17．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，且圓的圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、，求四邊形面積的最小值，并出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18．如圖1，在直角中，，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2，且二面角的大小為.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作橢圓的弦，過(guò)橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時(shí)，也稱這兩直徑為共軛直徑.現(xiàn)已知橢圓.（1）已知點(diǎn)，為橢圓上兩定點(diǎn)，求的共軛直徑的端點(diǎn)坐標(biāo).（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于?兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直徑與直徑是否共軛，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）設(shè)和為橢圓的一對(duì)共軛直徑，且線段的中點(diǎn)為.已知點(diǎn)滿足：，若點(diǎn)在橢圓的外部，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)樗笾本€的傾斜角為，可得直線的斜率為，又因?yàn)樗笾本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得直線的方程為.故選：B.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定的方程及橢圓焦點(diǎn)位置，列出不等式求解即得.【詳解】由方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A3．【正確答案】B【詳解】由，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如下圖：圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點(diǎn)，易知為所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中的最短弦，.故選：B.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，可以用正方體模型補(bǔ)形解題，通過(guò)平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.【詳解】根據(jù)題意，可以補(bǔ)充成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體.如圖所示，取的三等分點(diǎn),連接，根據(jù)正方體性質(zhì)，知道.則為直線與所成角或補(bǔ)角.連接，.根據(jù)正方體性質(zhì)，知道．在中，由余弦定理，,則直線與所成角的余弦值為.故選C．5．【正確答案】C【詳解】由得：，點(diǎn)的軌跡是以2,1為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為該圓上的點(diǎn)與連線的斜率，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，即為時(shí)，與圓顯然不相切；設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線為，即，圓心到切線的距離，解得：，，則的最大值為.故選：C.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】解：曲線即為，表示以2,3為圓心，以2為半徑的半圓，其圖象如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑，得，解得或，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)0,3時(shí)，，因?yàn)橹本€與曲線有公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A8．【正確答案】D【詳解】不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D9．【正確答案】BD【詳解】由可知圓心為，半徑為1；由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，化簡(jiǎn)可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.故選：BD10．【正確答案】AD【詳解】因?yàn)樗倪呅握叫?，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，?設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對(duì)于A，當(dāng)即時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，把代入中，可得，則，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，，，則，其中，故只需當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】圓圓心坐標(biāo)為O0,0，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，兩圓公共弦的垂直平分線恰為過(guò)兩圓圓心的直線，由，則直線的方程為，即.故答案為.13．【正確答案】3【詳解】，，則，，所以，故314．【正確答案】【分析】將點(diǎn)到直線、的距離轉(zhuǎn)化為和，可得，結(jié)合橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，建立平面直角坐標(biāo)系得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓方程和平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，在正方體中，平面，平面，

因?yàn)槠矫?，所以，，所以，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，所以，，，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，的中垂線為軸建立平面直線坐標(biāo)系，

所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，因?yàn)?，，則，，所以，因?yàn)?，?故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由已知直線與直線平行，則設(shè)直線，又直線過(guò)點(diǎn)，即，解得，則直線方程為，即；（2）當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，即直線方程為，即；當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，即，綜上所述直線方程為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，取平面法向量為，所以，故面與面夾角的余弦值為；（2）因?yàn)?，平面法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.17．【正確答案】(1)(2)；【分析】（1）根據(jù)圓上的兩個(gè)已知點(diǎn)求得其對(duì)稱軸，聯(lián)立方程求得圓心，利用兩點(diǎn)距離公式，可得答案；（2）根據(jù)題意，作圖，結(jié)合切線的性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)與直線的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由與，則直線的斜率，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的對(duì)稱軸為直線，易知圓心在直線上，聯(lián)立，解得，則，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意，作圖如下：由圖可知：四邊形的面積為，且，，在中，，因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，此時(shí)，，，所以四邊形面積的最小值為，由直線，則其斜率，直線的斜率，則直線的方程為，整理可得，聯(lián)立，解得，則.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)或．理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）由題意，，平面，所以平面，又因?yàn)閳D1中，分別是中點(diǎn)，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由題意，所以是二面角的平面角，二面角的大小為.則，又由已知，所以等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，,，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)，，，與平面所成角的正弦值為，則，解得或．所以的值為或．19．【正確答案】（1）和；（2）直徑與直徑共軛，理由見(jiàn)解析；（3）或.【分析】（1）設(shè)所求直線方程為：依題意可得，即可得到直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)：，?，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，再利用基本不等式求出面積最大值，即可求出參數(shù)的值，即可判斷；（3）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)：，則：，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再由在橢圓內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：（1）由題設(shè)知，設(shè)所求直線方程為：，則，則.故共軛直徑所在直線方程為.聯(lián)立橢圓與，即可得：，.故端點(diǎn)坐標(biāo)為和.（2）由題設(shè)知，不與軸重合，故設(shè)：，?聯(lián)立方程：，則，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故直徑與直徑共軛.（3）設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，設(shè)：，則.聯(lián)立.同理可得：，.由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一