2024-2025學年福建省福州市高二上冊期中考試數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年福建省福州市高二上學期期中考試數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經過點，傾斜角是的直線方程是（

）A． B．C． D．2．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．在圓的所有經過坐標原點的弦中，最短的弦的長度為（

）A．1 B．2 C． D．44．如圖，在直三棱柱中，，，點是線段上靠近的三等分點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知實數滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．光線通過點，在直線上反射，反射光線經過點，則反射光線所在直線方程為（

）A． B．C． D．7．若直線與曲線有公共點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．當時，圓與圓有2條公切線B．當時，是圓與圓的一條公切線C．當時，圓與圓相交D．當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為10．如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結論中正確的有（

）A．，使B．線段存在最小值，最小值為C．直線與平面所成的角恒為45°D．，都存在過且與平面平行的平面11．平面直角坐標系中，若點，點，則稱為點到點的“曼哈頓距離”.已知點為坐標原點，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（

）A．若點的橫坐標為，則B．的最大值是C．的最小值是2D．的最小值是三、填空題（本大題共3小題）12．圓與圓交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程為.13．在空間直角坐標系中已知，，，為三角形邊上的高，則．14．在對角線的正方體中，正方形所在平面內的動點到直線、的距離之和為，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線經過點，求滿足下列條件的直線方程.(1)直線與直線平行；(2)直線在兩坐標軸上的截距相等.16．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且平面.求：(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)點A到平面的距離.17．已知圓經過兩點、，且圓的圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若點為直線：上的動點，過點作圓的切線、，切點為、，求四邊形面積的最小值，并出此時點的坐標.18．如圖1，在直角中，，點，分別為邊，的中點，將沿著折起，使得點到達點的位置，如圖2，且二面角的大小為.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.19．已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點的線段叫作橢圓的弦，過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時，也稱這兩直徑為共軛直徑.現已知橢圓.（1）已知點，為橢圓上兩定點，求的共軛直徑的端點坐標.（2）過點作直線與橢圓交于?兩點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.當的面積最大時，直徑與直徑是否共軛，請說明理由.（3）設和為橢圓的一對共軛直徑，且線段的中點為.已知點滿足：，若點在橢圓的外部，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為所求直線的傾斜角為，可得直線的斜率為，又因為所求直線經過點，可得直線的方程為.故選：B.2．【正確答案】A【分析】根據給定的方程及橢圓焦點位置，列出不等式求解即得.【詳解】由方程表示焦點在軸上的橢圓，得，解得，所以實數的取值范圍為.故選：A3．【正確答案】B【詳解】由，則圓的標準方程為，如下圖：圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點，易知為所有經過坐標原點的弦中的最短弦，.故選：B.4．【正確答案】C【分析】根據題意，可以用正方體模型補形解題，通過平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.【詳解】根據題意，可以補充成一個棱長為3的正方體.如圖所示，取的三等分點,連接，根據正方體性質，知道.則為直線與所成角或補角.連接，.根據正方體性質，知道．在中，由余弦定理，,則直線與所成角的余弦值為.故選C．5．【正確答案】C【詳解】由得：，點的軌跡是以2,1為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為該圓上的點與連線的斜率，

當過點的直線斜率不存在，即為時，與圓顯然不相切；設過點的圓的切線為，即，圓心到切線的距離，解得：，，則的最大值為.故選：C.6．【正確答案】C【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經過點和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】解：曲線即為，表示以2,3為圓心，以2為半徑的半圓，其圖象如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑，得，解得或，當直線過點0,3時，，因為直線與曲線有公共點，所以實數的取值范圍是，故選：A8．【正確答案】D【詳解】不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D9．【正確答案】BD【詳解】由可知圓心為，半徑為1；由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；對于A，當時，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯誤；對于B，當時，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對于C，當時，，圓與圓相離，即C錯誤；對于D，當時，，此時兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，化簡可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.故選：BD10．【正確答案】AD【詳解】因為四邊形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.設，則，其中，由題設可得，，對于A，當即時，，故A正確；對于B，，故，當且僅當即時等號成立，故，故B錯誤；對于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯誤；對于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，把代入中，可得，則，故A正確；對于B，設，則，于是，當且僅當時等號成立，即的最大值是，故B正確；對于C，設點，則，當時，等號成立，即的最小值是，故C錯誤；對于D，設點，，，則，其中，故只需當時，取得最小值為，此時，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】圓圓心坐標為O0,0，圓化成標準方程為，圓心坐標為，兩圓公共弦的垂直平分線恰為過兩圓圓心的直線，由，則直線的方程為，即.故答案為.13．【正確答案】3【詳解】，，則，，所以，故314．【正確答案】【分析】將點到直線、的距離轉化為和，可得，結合橢圓的定義可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，建立平面直角坐標系得橢圓的標準方程，根據橢圓方程和平面向量數量積坐標表示可求出結果.【詳解】因為，所以，在正方體中，平面，平面，

因為平面，所以，，所以，且，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，這里，，所以，，，以的中點為原點，為軸，的中垂線為軸建立平面直線坐標系，

所以點的軌跡方程為，設，因為，，則，，所以，因為，，.故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由已知直線與直線平行，則設直線，又直線過點，即，解得，則直線方程為，即；（2）當直線不過坐標原點時，設直線方程為，則，解得，即直線方程為，即；當直線過坐標原點時，直線方程為，即，綜上所述直線方程為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，所以，，設平面的法向量，則，令，則，，所以，取平面法向量為，所以，故面與面夾角的余弦值為；（2）因為，平面法向量為，所以點到平面的距離.17．【正確答案】(1)(2)；【分析】（1）根據圓上的兩個已知點求得其對稱軸，聯(lián)立方程求得圓心，利用兩點距離公式，可得答案；（2）根據題意，作圖，結合切線的性質以及動點與直線的性質，可得答案.【詳解】（1）由與，則直線的斜率，其中點坐標為，所以的對稱軸為直線，易知圓心在直線上，聯(lián)立，解得，則，半徑，所以圓的標準方程為.（2）根據題意，作圖如下：由圖可知：四邊形的面積為，且，，在中，，因為，所以當最小時，最小，當時，最小，此時最小，此時，，，所以四邊形面積的最小值為，由直線，則其斜率，直線的斜率，則直線的方程為，整理可得，聯(lián)立，解得，則.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)或．理由見解析．【詳解】（1）由題意，，平面，所以平面，又因為圖1中，分別是中點，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由題意，所以是二面角的平面角，二面角的大小為.則，又由已知，所以等邊三角形，取中點，連接，則，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以為原點，為軸，過平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，,，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設，，，與平面所成角的正弦值為，則，解得或．所以的值為或．19．【正確答案】（1）和；（2）直徑與直徑共軛，理由見解析；（3）或.【分析】（1）設所求直線方程為：依題意可得，即可得到直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標即可；（2）設：，?，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，則，再利用基本不等式求出面積最大值，即可求出參數的值，即可判斷；（3）設點，，設：，則：，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，從而得到點坐標，再由在橢圓內部，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：（1）由題設知，設所求直線方程為：，則，則.故共軛直徑所在直線方程為.聯(lián)立橢圓與，即可得：，.故端點坐標為和.（2）由題設知，不與軸重合，故設：，?聯(lián)立方程：，則，，，.當且僅當，即時取等號，此時，故直徑與直徑共軛.（3）設點，，當不與坐標軸重合時，設：，則.聯(lián)立.同理可得：，.由橢圓的對稱性，不妨設在第一