2024-2025學(xué)年黑龍江省虎林市高二上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省虎林市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．203．已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（

）A． B． C．2 D．44．已知圓與圓外切，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．拋物線的準(zhǔn)線為l，M為上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到與到直線的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為在第一象限上的一點(diǎn).若為直角三角形，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．8．已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（）A．的面積為B．內(nèi)切圓的面積為C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為D．若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為9二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有錯(cuò)選的得0分)9．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，為上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)到漸近線的距離為4D．直線與直線的斜率乘積為10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，M，N分別是棱，的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．平面平面D．直線PB與平面PAD所成角的正弦值為11．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，若直線為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知雙曲線C的方程為，則的取值范圍為．13．已知向量，，，則．14．已知是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．16．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的面積.17．如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知雙曲線，，斜率為的直線過點(diǎn).(1)若，且直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；(2)雙曲線上有一點(diǎn)，的夾角為，求三角形的面積.19．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且，動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)；當(dāng)直線過焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過點(diǎn)，當(dāng)面積為時(shí)，求直線的斜率.答案：題號(hào)12345678910答案CDCBDBCBBDBC題號(hào)11答案BC1．C【分析】確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得答案.【詳解】由拋物線方程，可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．D【分析】為焦點(diǎn)三角形，周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為．故選：D．3．C【分析】由題設(shè)知，結(jié)合它們的坐標(biāo)得即可求，進(jìn)而求.【詳解】由，知：，則，解得，，故.故選：C4．B【分析】?jī)蓤A外切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.我們先求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)列出等式求解的值.【詳解】對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)，半徑.對(duì)于圓,其圓心坐標(biāo)，半徑.因?yàn)閮蓤A外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.兩圓的圓心距.根據(jù)兩圓外切性質(zhì)，即，解得.故選：B.5．D【分析】利用拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為,根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到的距離等于,所以點(diǎn)到與到直線的距離之和即為與到直線的距離之和，由圖可知，與到直線的距離之和的最小值為焦點(diǎn)到直線的距離，所以即為所求，故選:D.6．B【分析】設(shè)點(diǎn)，利用題設(shè)條件得出利用點(diǎn)差法得到，代入結(jié)論整理得直線的斜率，即可求出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（*）又在橢圓上，則①，②，由，可得，將（*）代入，化簡(jiǎn)得，即，可知直線的斜率為，故直線的方程為：，即.故選：B.7．C【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，即可根據(jù)勾股定理，結(jié)合分類討論求解.【詳解】由題意可得，由雙曲線定義可得，故，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，則，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，不符合題意舍去，故選：C8．B【分析】根據(jù)橢圓的定義和余弦定理求出即可判斷A，根據(jù)三角形面積求出內(nèi)切圓半徑即可判定B，根據(jù)三角形面積建立關(guān)系求解判斷C，根據(jù)橢圓的有界性可判斷D.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)橢圓定義可得，則，在中，由余弦定理，由①②可得，所以得面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)榈拿娣e為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，則，，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為5，故D錯(cuò)誤；故選：B.9．BD【分析】綜合運(yùn)用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式、直線的斜率公式求解即可.【詳解】由雙曲線知，，，對(duì)于A，雙曲線的離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，即，所以，即直線與直線的斜率乘積為，故D正確；故選：BD.10．BC【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由模長(zhǎng)公式可驗(yàn)算A，由數(shù)量積的運(yùn)算律可驗(yàn)算B，求出兩個(gè)平面的法向量驗(yàn)算其數(shù)量積即可；對(duì)于D，求出直線方向向量與平面法向量即可驗(yàn)算.【詳解】由題意過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)椋?，，?duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，顯然的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，從而，令，解得，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，顯然的一個(gè)法向量為，而，從而，則直線與平面所成角的正弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．BC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式、直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由直線，令，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)F1,0，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，拋物線方程為，準(zhǔn)線為，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)正確.由上述分析可知，中點(diǎn)，其到準(zhǔn)線的距離是，所以以為直徑的圓與相切，C選項(xiàng)正確.，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC

12．【分析】根據(jù)雙曲線的方程特點(diǎn)可得不等式，解之即得.【詳解】由雙曲線方程特點(diǎn)知：，解得，故的取值范圍為.故答案為.13．1【分析】先利用空間向量的模長(zhǎng)公式求解得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即得解【詳解】由題意，解得故故114．/【分析】找到與平行，且與橢圓相切的最遠(yuǎn)的一條直線，利用平行線的距離公式求距離的最大值.【詳解】要使點(diǎn)到直線的距離最大，只要找到與平行，且與橢圓相切的最遠(yuǎn)的一條直線，令與平行且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立，消去整理得，由，即，解得或，對(duì)于直線，與直線的距離為，對(duì)于直線，與直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為.故答案為.15．(1)(2)【詳解】（1）依題意，，-------------------------2即，兩邊平方得，-------------------5整理得.------------------6’雙曲線的方程為，----------------------------7將，代入得：---------------------------------8，解得，---------------------------12所以雙曲線方程為.--------------------1316．(1)(2)【詳解】（1）將圓可化為，------1所以其圓心，半徑，作于點(diǎn)，-----3由垂徑定理可得為的中點(diǎn)，如下圖所示：由可得，-----------------4，------------6解得--------7（2）由（1）可知，所以，--------------9易知直線與直線平行，所以點(diǎn)到的距離為，---------------12因此的面積為.---------------1517．(1)證明見解析(2)詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以?------------2又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，------------5所以，即平面，又平面，所以平面平面；--------7

（2）取的中點(diǎn)，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，所以，，----------------9設(shè)平面的法向量為，則，取，----------12又平面的一個(gè)法向量為，--------------13設(shè)平面與平面夾角為，則，--------14所以平面與平面夾角的余弦值為------------------1518．(1)或(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則直線的方程為，------------------1又雙曲線的漸近線為，----------------2所以當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；---------3當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，--------------4得，，解得；-------------6綜上所述，當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)或---------------7（2）由雙曲線，則，，，------------8又點(diǎn)在雙曲線上，即，即---10在中，由余弦定理，---------------12即，解得，-------------------14所以的面積.------------------1519．(1)(2)【詳解】（1）由橢圓頂點(diǎn)性質(zhì)以及可得；---------------1當(dāng)直線過焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，其方程為，代入可求得，所以，------------------3解得；---------------------5所以橢圓的方程為.-----------------------6（2）由（1）可知B?2,0設(shè)直線的方程為