2024-2025學(xué)年湖南省永州市高一上冊(cè)10月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省永州市高一上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（每題5分，共40分）1．已知集合，且，則（）A． B． C． D．2．若S是由“我和我的祖國(guó)”中的所有字組成的集合，則S中元素個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．73．若集合中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．方程組的解集是（

）A． B． C． D．5．由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．下列四個(gè)集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．7．集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8.設(shè)集合，，則集合是A． B． C． D．二、多選題（每小題6分，選對(duì)部分得部分分，共18分）9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）

A．與表示同一個(gè)集合B．集合＝與＝表示同一個(gè)集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示10.大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為（

）A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}11．給出下列關(guān)系中正確的有（）A． B． C． D．三、填空題（每題5分，共15分）12．設(shè)集合，則用列舉法表示集合為_(kāi)_____．13．已知集合，若，則方程的解為_(kāi)_________.14．方程組的解集中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.四、解答題（共77分）15．（13分）用列舉法表示下列集合：（1）；（2）；（3）.16．（15分）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求a，b的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義法證明．17．（15分）已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，恒有.(1)求的值；(2)證明：為偶函數(shù)；(3)若在上單調(diào)遞增，求不等式的解集.18．（17分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)，并確定函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(3)求的值域．19．（17分）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)，，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案一、單選題1．已知集合，且，則A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，集合中有兩個(gè)相同元素，舍去；當(dāng)時(shí)，，舍去，所以，故選B．考點(diǎn)：集合與元素的關(guān)系．2．若S是由“我和我的祖國(guó)”中的所有字組成的集合，則S中元素個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【正確答案】B【分析】?jī)蓚€(gè)”我”字只算一個(gè).【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性,可得S中元素個(gè)數(shù)是5.故選B.本題考查了集合中元素的互異性,屬于基礎(chǔ)題.3．若集合中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【正確答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則，所以一定不是等腰三角形．故選：D．4．方程組的解集是（

）A． B． C． D．【正確答案】D利用代入法和消元法即可求解.【詳解】，兩式相加可得，所以，將代入可得，所以，所以方程組的解集是，故選：D5．由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】A【分析】根據(jù)集合元素的互異性，討論、、情況下已知元素為不同元素的個(gè)數(shù)，即可知集合元素最多有幾個(gè).【詳解】∵，，∴當(dāng)時(shí)，集合元素最多有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，，所以集合元素最多有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，，所以集合元素最多有2個(gè)；故選：A本題考查根據(jù)元素的互異性求參數(shù),考查分類(lèi)討論思想6．下列四個(gè)集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．【正確答案】B根據(jù)空集的定義判斷．【詳解】A中有元素0，B中集合沒(méi)有任何元素，為空集，C中有元素1，D中集合，大于4的實(shí)數(shù)都是其中的元素．故選：B．本題主要考查元素與集合的關(guān)系，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.7．集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，列出不等式，解出即可.【詳解】∵，，∴，所以故選：C.8.設(shè)集合，，則集合是A． B． C． D．【正確答案】B解方程得到集合；根據(jù)，即可求出集合.【詳解】解方程得或，因?yàn)?，所以或，因此，或，故，，所?故選B二、多選題9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．與表示同一個(gè)集合B．集合＝與＝表示同一個(gè)集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示【正確答案】ABC【分析】根據(jù)集合的概念，以及元素與集合的關(guān)系，以及元素的特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，是一個(gè)元素（數(shù)），而是一個(gè)集合，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，集合＝表示數(shù)構(gòu)成的集合，集合＝表示點(diǎn)集，所以B不正確；對(duì)于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對(duì)于D中，集合含有無(wú)窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.10.大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為（

）A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}【正確答案】BD【分析】用列舉法把四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合表示出來(lái)，即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A：對(duì)于B：對(duì)于C：對(duì)于D：故選：BD11．（多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）A． B． C． D．【正確答案】AD【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)?，，，，所以AD正確.故選：AD.三、填空題12．設(shè)集合，則用列舉法表示集合為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得，則，對(duì)代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo)．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，∴故．13．已知集合，若，則方程的解為_(kāi)_________.【正確答案】由題意可知，是方程的根，解得.方程等價(jià)變形為，解得，即可.【詳解】是方程的根，即，解得.又方程，解得.故本題考查元素與集合的關(guān)系以及實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于較易題.14．方程組的解集中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.【正確答案】2先求出，再代入求即可求解【詳解】解方程得，，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，所以，；所以方程組的解為或，有2組解故2四、解答題15．用列舉法表示下列集合：（1）；（2）；（3）.【正確答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)解方程即可；(2)根據(jù)求解；.(3)接方程即可；【詳解】(1)由得，,因此.(2)由，且,，,得，因此.(3)由得，.因此.本題主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．(1)；(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，得到，結(jié)合，求出a，b的值；（2）取點(diǎn)，作差，判號(hào)，下結(jié)論，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴由，得．又∵，∴，解之得；所以函數(shù)的解析式為：，a=2，b=0；（2）在上單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)，則∵，∴，即，所以在上單調(diào)遞增．9．(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)或，【分析】（1）令以及即可求解，（2）令，即可根據(jù)偶函數(shù)的定義求解，（3）先得出，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】（1）令得：，故，令得：，故.（2）因?yàn)槭嵌x在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，令，故，為偶函數(shù)；（3）在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，故在上是減函數(shù)，由于，則，故，且，解得且，故不等式的解集為或.10．(1)，(2)在?1,1上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)求出，求出可得答案；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可；（3）利用基本不等式可得答案．【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，可得，且時(shí)，滿足，所以，；（2）在上單調(diào)遞增，證明如下，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，可得，所以，所以在上是單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，且所以，即的值域?yàn)椋?1．(1)(2)