專題27以相似為載體的幾何綜合問(wèn)題（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專題27以相似為載體的幾何綜合問(wèn)題

21．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在

AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

????

(3)若?M?N∥BE，??求的值．

??

【答案】(1)見解析??

(2)

27

(3)37

2

7

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點(diǎn)E為CD的中

點(diǎn)，即可證明結(jié)論；

(2)利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長(zhǎng)，再利用△ANM∽△BMC，得

????1

，求出AN的長(zhǎng)，可??得=答?案?=；2

????

(?3?)首=先??利用同角的余角相等得CBF＝CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可

????

得BM的長(zhǎng)，由（2）同理可得答∠案．∠??=??

（1）

證明：∵F為BE的中點(diǎn)，

∴BF＝EF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD

∴∠BMF＝∠ECF，

∵∠BFM＝∠EFC，

第1頁(yè)共69頁(yè).

∴△BMF≌△ECF（AAS），

∴BM＝CE，

∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

∴CE＝CD，

1

∵AB＝C2D，

∴，

1

∴??=??，=2??

∴?AM?＝=C?E?；

（2）

∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，

∴△BMF∽△ECF，

∴，

????1

∵C??E=＝3??，=2

∴BM＝，

3

∴AM＝2，

9

∵CM⊥2MN，

∴∠CMN＝90°，

∴∠AMN+∠BMC＝90°，

∵∠AMN+∠ANM＝90°，

∴∠ANM＝∠BMC，

∵∠A＝∠MBC，

∴△ANM∽△BMC，

∴，

????

??=??

∴9，

??2

3

2=4

∴，

27

∴D??N＝=A1D6﹣AN＝4﹣＝，

2737

1616

∴27；

??1627

37

??37

（3）=16=

∵M(jìn)N∥BE，

∴∠BFC＝∠CMN，

∴∠FBC+∠BCM＝90°，

第2頁(yè)共69頁(yè).

∵∠BCM+∠BMC＝90°，

∴∠CBF＝∠CMB，

∴tan∠CBF＝tan∠CMB，

∴，

????

∴??=??，

34

∴4=??，

16

∴??=3，

162

由（??2）=同??理?得?，?=6?，3=3

????

??=??

∴2，

??3

16

3=4

解得：AN＝，

8

∴DN＝AD﹣9AN＝4﹣＝，

828

99

∴8．

??92

28

【點(diǎn)??睛=】9本=題7是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，求出BM的長(zhǎng)是解決（2）和（3）的關(guān)鍵．

22．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，記

的面積為，的面積為．????????

△（1?）??問(wèn)題解決：?如1圖△①?，??若AB//CD，?2求證：

?1?????

（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（?21=）?中???的?結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．????

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)

H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)??G，且，??若=??，求值．??∥????

??5?1

????????=2????=6?2

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析：（3）

25

【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥A5C4于F，求出

，，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；??=???

sin∠?????=???sin∠???

第3頁(yè)共69頁(yè).

（2）同（1）求解即可；

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，先證明△OEF≌△OCD，

得到OD=OF，證明△OE?F?∽∥△?O?AM，得到，設(shè)，，

????5

則，，證明△OGF∽△O?H?N=，?推?=出6??=??=，5???=??=5?

315?

??=6，?則??=6?，由（2）結(jié)論求解?即?可=．2??=2??=??=???

3?

?【?詳=解】2解：（??1）=如??圖+所?示?，=過(guò)9點(diǎn)?D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

∴，，

∴??=???sin∠?????=???sin∠???，

11

?△???=?1=2?????=2??????sin∠??，?

11

?∵△∠??D?=O?E2==∠2B?O?F?，??=2??????sin∠???

∴；

sin∠???=sin∠???

∴1；

?12??????sin∠????????

1

2

?=2??????sin∠???=?????

（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：

如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

∴，，

∴??=???sin∠?????=???sin∠???，

11

?△???=?1=2?????=2??????sin∠??，?

11

?∵△∠??D?=O?E2==∠2B?O?F?，??=2??????sin∠???

∴；

sin∠???=sin∠???

∴1；

?12??????sin∠????????

1

2

?=2??????sin∠???=?????

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，

??∥??

第4頁(yè)共69頁(yè).

∵，

∴∠??O∥?D?C=∠OFE，∠OCD=∠OEF，

又∵OE=OC，

∴△OEF≌△OCD（AAS），

∴OD=OF，

∵，

∴△??O∥?EF?∽△OAM，

∴，

????5

設(shè)??=??=6，，則，，

∵?H?是=A?B?的=中5點(diǎn)?，?N?是=B?M?的=中5?點(diǎn)，??=6???=6?

∴HN是△ABM的中位線，

∴，

∴△??O∥G?F?∽∥?△?OHN，

∴，

????

∵O??G==2?G?H，

∴，

2

∴??=3??，

????2

∴??=??=3，，

315?3?

∴??=2??=2??，=??=?????=2

由（??2）=可??知+??=9?．

?1?????5??5?25

?2=?????=6??9?=54

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

23．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平行四邊形中，是一條對(duì)角線，且

，，，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右?側(cè)?，????，連接，的?延?長(zhǎng)=

?線?與=5的?延?長(zhǎng)=線6相?交于?點(diǎn)?．?????=??????

???

第5頁(yè)共69頁(yè).

(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．

①若?，求??的長(zhǎng)；?????????

3

②在滿??足=①2的條?件?下，若，求證：；

(2)如圖2，連接，是??上=一?點(diǎn)?，連接?．?若⊥??，且，

求的長(zhǎng)．???????∠???=∠???+∠?????=2??

【答??案】(1)①；②證明見解析

5

(2)3

2

【分析】（1）①解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，得到，再根

????

據(jù)，，，結(jié)??合?平?行四邊形的△性?質(zhì)?求?∽出△?的??長(zhǎng)，代入??比=例?式?即可

3

求出??=的??長(zhǎng)=；5??=6??=2??

②先根??據(jù)證明可得，再根據(jù)，求出，進(jìn)

3

一步證明???△，?最??后≌利△用?等??腰三角?形?的=三??線合一可證?明?結(jié)=論2．??=????=3

（2）如圖?，?連=接??，先根據(jù)證明，再結(jié)合，說(shuō)

明，利用?平?行線分線段??成?比例△定?理?可?得≌△???，接著證明∠???=∠???+∠，?可??得到

??1

??，∥設(shè)??，則，根據(jù)??=2構(gòu)建方程求△出??，最?∽后△利?用??

??1

??=2可?得?=結(jié)?論．??=2???=??+??=6???=???

?（?1?）??

①解：如圖，

∵四邊形是平行四邊形，，，

∴?，???，??=，??=5??=，6

∴??∥????∥，????=??=，5??=??=6

∴∠???=∠???，∠???=∠???

∴△???，∽△???

????

∴??=??，

∵??·??，=??·??

3

??=2

第6頁(yè)共69頁(yè).

∴，

39

∴??=????，?=6?2=2

93

∴2??=，5×2

5

∴??的=長(zhǎng)3為．

5

??3

②證明：∵，

∴??∥?，?

∵∠???=∠，???

在??=?和?中，

△???△???

∠???=∠???

∴，??=??

∠???=∠???

∴△???≌，△??????

∵??=?，?，

3

∴??=2，??=??

3

∴??=2，

∴??=??，??????=3

∵??=3，

∴??=6，

∴??=??，???=3

∵??=??，

∴??=??．

（?2）?⊥??

如圖，連接，

∵，??，

∴??=??，??=??

∴??=??，

∵∠???=，∠???

在??=?和?中，

△???△???

第7頁(yè)共69頁(yè).

??=??

∴，∠???=∠???

??=??

∴△???≌，△??????

∴??=??

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???+∠???，

∴∠???=，∠???+∠???=∠???+∠???=∠???

∴??∥??，

????

∵??=??，

∴??=，2??

??1

∵??=2，

∴??∥??，，

∴∠???=∠???，∠???=∠???

∴△???，∽△???

????

∴??=?，?

??1

∴??=2，

設(shè)??=2，??則，

∵??=?，??=2?

∴??=6，

∴??=，??+??=?+2?=6

即?=2，

∴??=2，

∴??=2．

∴??的=長(zhǎng)??為?．?????=2

??2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性

質(zhì)，等腰三角形的三線合一，平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)．靈活

第8頁(yè)共69頁(yè).

運(yùn)用相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

24．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；

(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不

要求寫作法）

(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，

1

以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.2?????

【答案】(1)2

(2)圖見詳解

(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解

【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求

??2??2

解；??=3??=5

（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；

（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，

由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問(wèn)題可求解．

11

（1）?△???=?△???=2?????=2?????

解：∵DE∥AB，

∴，

∴△???，∽△???

????

∵A??B=5?，?BD=9，DC=6，

∴，

??6

∴5=6+9；

（?2）?=2

解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；

如圖所示：點(diǎn)F即為所求，

第9頁(yè)共69頁(yè).

（3）

解：直線BC與⊙F相切，理由如下：

作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，

∵∠DFA=∠A，

∴四邊形ABRF是等腰梯形，

∴，

∵△??F=BC?的?面積等于，

1

∴2?????，

11

∴C?△D?⊥??D=F，?△???=2?????=2?????

∵FD是⊙F的半徑，

∴直線BC與⊙F相切．

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練

掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．

25．（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，

，，△?．??△????∠???=∠???=90°

∠???=∠???=30°??=3??=2

第10頁(yè)共69頁(yè).

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線

??

與直線的位置關(guān)系是____?__；???????=??

(2)探究?證?明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連

接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立△？?若?成?立，?請(qǐng)證明；若不成立，?請(qǐng)說(shuō)明理由；??

(3)?拓?展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，

它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)△時(shí)??，?求?的值?(．19°<?<60°)????

【答案】(1)，垂直???=??tan60°??

(2)成立，理由3見解析

(3)

85?93

11

【分析】（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；

（2）結(jié)論不變，證明???，?推出，，可得結(jié)論；

????

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)△作???∽△于??點(diǎn)?，設(shè)?交?=?于?=點(diǎn)3，過(guò)∠點(diǎn)???作=∠???于點(diǎn)求出，

，可得結(jié)論．???⊥???????????⊥???.??

?(1?)

解：在中，，，，

∴??△???，∠?=90°??=3∠?=30°

在??=3?中?，=33，，

∴??△???∠??，?=30°??=2

∴??=，3??=23，

∴??=1，?此?時(shí)=3，

??

故答??案=為3：，垂??直⊥；??

(2)3

第11頁(yè)共69頁(yè).

結(jié)論成立．

理由：∵，

∴∠???=，∠???=90°

∵∠???=∠?，??，

∴??=，3????=3??

????

∴??=??，

∴△???∽△?，??，

????

∵??=??=3∠???=，∠???

∴∠???+∠???=180°，

∴∠???+∠???=180°，

∵∠???+∠??，?=180°

∴∠???=90°，

∴∠???=；90°

(3)??⊥??

如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

???⊥???????????⊥???

∵，，

∴∠???=90°，∠???=30°

∴∠???=60°．

∵∠???=60，°??

∴??=33，，

1339

當(dāng)??=2??時(shí)=，四2邊?形?=3?是?矩=形2，

∴??=??，????，

2222

設(shè)∠???=，9則0°??=?，????=，(33)?(23)=15

∵??=???=3?，??=2?

∠???=∠???=90°

第12頁(yè)共69頁(yè).

∴，

????

∴tan?=?，?=??

?15

∴??=23，

25

∴??=5?，

25

∴3?+5?，=33

45?615

∴?=11，

90?1215

∴??=2?=11，

990?12152415?81

∴??=?????=2?11．=22

??85?93

【點(diǎn)tan睛6】0°本?題?屬=于?三?=角形1綜1合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

一、解答題

1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、

上．??????????????

??

(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；

(2)如圖2，已知????，，當(dāng)、?的?+大?小?有=__?_?______關(guān)系時(shí)，四邊形

是矩形；??=????=??????????

(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長(zhǎng)為16，

長(zhǎng)為20，??當(dāng)=??的??面積?取?最大值時(shí)?，判?斷?:四??邊=形4:5是怎樣的四?邊??形?？證明你的結(jié)

?論?．△???????

【答案】(1)見解析

(2)

??=??

第13頁(yè)共69頁(yè).

(3)平行四邊形，證明見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得，根據(jù)角角邊證明．

（2）當(dāng)，證得，∠???=是∠等??腰?直角三角形，∠HE△F?=∠??EF≌G△=?90?°?，

即可證得?四?邊=形??EFGH是△矩??形?．≌△???△???

（3）利用正方形的性質(zhì)證得為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交

于點(diǎn)，由平行線分線段成比?例?，??設(shè)，，???⊥，?則?可表示出?，從而??把

△OE?H的面積用x的代數(shù)式表示出來(lái)?，?根=據(jù)4?二次?函?=數(shù)5求?出最??大=值?，則可得OE=O?G?，OF=OH，

即可證得平行四邊形．

（1）

∵四邊形為正方形，

∴????，

∴∠?=∠?=90°．

∵∠四?邊??形+∠??為?正=方90形°，

∴??，??，

∴??=??∠???=9，0°

∴∠???+∠???．=90°

在∠???=和∠???中，

∵△???△???，，，

∴∠?=∠?=90°．∠???=∠?????=??

∴△???≌．△???

∴??=??；

（?2）?+??=??+??=??

；證明如下：

?∵?四=邊?形?為正方形，

∴????，AB=BC=AD=CD，

∵∠AE?==AH∠，?C=F9=0C°G，AE=CF，

∴AH=CG，

∴，

∴△EH?=?F?G．≌△???

∵AE=CF，

∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，

∴是等腰直角三角形，

∴∠△B?E?F?=∠BFE=45°，

第14頁(yè)共69頁(yè).

∵AE=AH，CF=CG，

∴∠AEH=∠CFG=45°，

∴∠HEF=∠EFG=90°，

∴EH∥FG，

∴四邊形EFGH是矩形．

（3）

∵四邊形為正方形，

∴?．???

∵??∥??，，

∴?四?邊=形????為∥平??行四邊形．

∴?．???

∴??∥??．

過(guò)點(diǎn)??∥?作?，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∴??．?⊥??????

????

∵??=??，

設(shè)??:??=，4:5，，則，

?20?5?

∴??=4???．=5???=?16=20

∴?=44??．

112

∴?當(dāng)=2???時(shí)?，??=2?的4?面?4積(4最?大?，)=?8(??2)+32

∴?=2△???，，

11

∴?四?邊=形4?=8是=平2?行?四=邊?形?．??=5?=10=2??=??

????

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線分線段

成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，有一定的綜

合性，解題的關(guān)鍵是熟悉這些知識(shí)并靈活運(yùn)用．

2．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B

△???△???

第15頁(yè)共69頁(yè).

同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C停止.

????

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線段、的數(shù)量關(guān)系是____________，

位置關(guān)系是____________；????

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，請(qǐng)直接寫出答案；

此時(shí)，四邊形是哪種特殊四邊形?？?請(qǐng)??在備用圖中△畫?出??圖形并給予證明.

【答案】(1)CD?=?E?F?，CD∥EF

(2)CD=EF，CD∥EF，成立，理由見解析

(3)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，是菱形，證明見解析

?????

【分析】（1）根據(jù)和均為等邊三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，

根據(jù)E、D分別與△點(diǎn)??A、?B重△合??，?得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，

CD∥EF；

（2）連接BF，根據(jù)∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根據(jù)AF=AD，AB=AC，推出

AFB≌ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根據(jù)AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，

△推出BF△E是等邊三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF，CD∥EF；

（3）△過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a，AD=h，根據(jù)AB=BC，BD=CD=BC=

1

a，BD=AE，推出AE=BE=AB，△根據(jù)AB=AC，推出AD⊥BC，得到EG∥AD，推出2

11

2EBG∽ABD，推出2，得到=h，根據(jù)CD=EF，CD∥EF，推出四

????111

邊△形CEF△D是平行四邊??形=，推??出=2??=2??2，根據(jù)EF=BD，

11111

EF∥BD，推出四邊形BDEF是?平??行??四=邊?形?，??根?據(jù)=2B?F=?2E?F，=推2?出2??=2?△是??菱?形．

（1）?????

∵和均為等邊三角形，

∴△AF?=?A?D，△AB?=?B?C，∠FAD=∠ABC=60°，

當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，

∴CD=EF，CD∥EF；

故答案為：CD=EF，CD∥EF；

第16頁(yè)共69頁(yè).

（2）

CD=EF，CD∥EF，成立．

證明：

連接BF，

∵∠FAD=∠BAC=60°，

∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，

即∠FAB=∠DAC，

∵AF=AD，AB=AC，

∴AFB≌ADC(SAS)，

∴∠△ABF=∠△ACD=60°，BF=CD，

∵AE=BD，

∴BE=CD，

∴BF=BE，

∴BFE是等邊三角形，

∴△BF=EF，∠FEB=60°，

∴CD=EF，BC∥EF，

即CD∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF；

（3）

如圖，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，此時(shí)，四邊

形是菱形．????△???

證明??：??

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a，AD=h，

∵AB=BC，BD=CD=BC=a，△BD=AE，

11

∴AE=BE=AB，22

1

∵AB=AC，2

∴AD⊥BC，

∴EG∥AD，

∴EBG∽ABD，

△△

第17頁(yè)共69頁(yè).

∴，

????1

∴??=??==2h，

11

由（??2）=知2?，?CD2=EF，CD∥EF，

∴四邊形CEFD是平行四邊形，

∴四邊形,

11111

此時(shí)?，EF??=?B?D=，?E?F?∥?B?D=，2??2?=2?2??=2?△???

∴四邊形BDEF是平行四邊形，

∵BF=EF，

∴是菱形．

?????

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的

判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角

形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，菱形的判定．

3．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線

上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△?，?得?到線?段?=?，?連∠接???，=12．0°???

?????120°??????

(1)求證：；

(2)當(dāng)點(diǎn)在??線=段3?上?（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）時(shí)，求的值；

??

(3)過(guò)點(diǎn)?作??交于?點(diǎn)，若??，請(qǐng)直接??寫出的值．

??

【答案】?(1?)證?∥明?見?解?析?；???=2????

(2)

(3)3或

5721

1921

第18頁(yè)共69頁(yè).

【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進(jìn)而得出結(jié)論；

3

（2）證明△ABD∽△CBE，進(jìn)而得出結(jié)果；2

（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB

＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，

進(jìn)而求得AN，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，

同樣方法求得結(jié)果．

（1）

證明：如圖1，

作AH⊥BC于H，

∵AB＝AB，

∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，

11

∴sin60°＝，22

??

∴BH＝A?B?，

3

∴BC＝22BH＝AB；

（2）3

解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝，

180°?∠???180°?120°

由（1）得，，2230°

??

同理可得，??=3

∠DBE＝30°，，

??

∴∠ABC＝∠D?B?E=，3，

????

∴∠ABC?∠DBC＝∠??D=BE???∠DBC，

∴∠ABD＝∠CBE，

∴△ABD∽△CBE，

∴；

????

（3??）=??=3

：如圖2，

第19頁(yè)共69頁(yè).

當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，

作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，

設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，

由（1）得，，

在Rt△ABF中??，=∠B3A?F?＝=1820°?3∠?BAC＝60°，AB＝3a，

∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a?sin60°＝，

333

在Rt△BDF中，DF2＝?AD＋AF＝2?，

37

2?+2?=2?

＝＋，

22

22337

∵??∠AG?D?＝∠?F?＝9=0°，∠2A?DG＝+∠2B?DF=，19?

∴△DAG∽△DBF，

∴＝，

????

∴????，

??2?

33

2?=19?

∴，

33

∵A?N?=DE1，9?

∴∠A∥ND＝∠BDE＝120°，

∴∠ANG＝60°，

∴＝，

??332619

??sin60°=19·3?=19?

∴619，

??19?57

如圖??3=，23?=19

第20頁(yè)共69頁(yè).

當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，

由（1）得，

CE＝，

作BR⊥3C??A，=交4C3A?的延長(zhǎng)線于R，作AQ⊥BD于Q，

同理可得，

AR＝a，BR＝，

∴3?，

22

∴??=，3?+5?=27?

??4?

∴3?=27?，

23

∴??=7?，

2324

??=7?·3=7?

∴4，

??7?21

綜上??所=述4：3?=的21值為或．

??5721

【點(diǎn)睛】本題??考查了等19腰三21角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類和較強(qiáng)的計(jì)算能力．

4．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對(duì)角線.點(diǎn)E是邊AB

延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)G．

???????∠?????

(1)求證：.

∠???=90°

第21頁(yè)共69頁(yè).

(2)若，．

①求菱??形=6?的?面=積2?.?

②求????的值.

(3)若tan∠???，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時(shí)（＜＜），在上找一點(diǎn)，使

為定值??，=說(shuō)?明?理由并∠?求?出?的值．0°∠???180°?????

【答案】(1)見解析??

(2)①24，②

4

(3)＝，理9由見解析

10

??3

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可證得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于點(diǎn)G，

1

得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，進(jìn)一步即可得到答案2；??∠?????

1

（2）①連接AC交BD于2點(diǎn)O,RtDOC中，OC＝，求得AC＝8，

2222

由菱形的面積公式可得答案；②由△BGAC，得到?????，=DH5＝?H3G，=D4G＝2DH，又由

????1

DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，則∥，再證?明?=C?D?H=∽2AEH，CH＝AC＝，OH＝

??118

OC－CH＝4－＝，利用正切的定義?得?=到2答案；△△33

84

（3）過(guò)點(diǎn)G作3G3TBC，交AE于點(diǎn)T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，則EG＝GH，再

證△DOH∽△DBG，∥得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，為定值，

????15

即可得到ET的值．??=??=33

（1）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝DC，ABCD，

∴∠BDC＝∠CB∥D，∠BDC＝∠ABD，

∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，

1

∵平分交2于點(diǎn)G，

∴∠??CBG＝∠?∠?E?BG?＝?∠CBE，

1

∴∠CBD＋∠CBG＝2（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，

11

∴∠DBG＝90°；22

（2）

解：①如圖1，連接AC交BD于點(diǎn)O，

第22頁(yè)共69頁(yè).

∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，

∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，

1

∴∠DOC2＝90°，

在Rt△DOC中，OC＝，

2222

∴AC＝2OC＝8，?????=5?3=4

∴菱形，

11

即菱?形????=的2面??積×是??24=．2×8×6=24

②如圖?2?，?連?接AC，分別交BD、DE于點(diǎn)O、H，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵∠DBG＝90°

∴BG⊥BD，

∴BGAC，

∴∥，

????1

∴D??H=＝?H?G=，2DG＝2DH，

∵DG＝2GE，

∴EG＝DH＝HG，

∴，

??1

∵A??B=C2D，

∴∠D∥CH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，

∴△CDH∽△AEH，

∴，

????1

∴C??H=＝??AC=＝2，

18

∴OH＝3OC－C3H＝4－＝，

84

33

第23頁(yè)共69頁(yè).

∴tan∠BDE＝；

??4

（3）??=9

如圖3，過(guò)點(diǎn)G作GTBC交AE于點(diǎn)T，此時(shí)ET＝．

10

∥3

理由如下：由題（1）可知，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時(shí)，始終有BGAC，

∴△BGE∽△AHE，∥

∴，

????

∵A??B＝=B??E＝5，

∴EG＝GH，

同理可得，△DOH∽△DBG，

∴，

????

∵B??O=＝D??O，

∴DH＝GH＝EG，

∵GTBC，

∴GT∥AD，

∴△E∥GT∽△EDA，

∴，

??????1

∵A??D=＝?A?B=＝?5?，=3

∴GT＝，為定值，

5

此時(shí)ET3＝AE＝（AB＋BE）＝．

1110

【點(diǎn)睛】此3題主要3考查了相似三角3形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以

每秒1cm的速度向終點(diǎn)C2運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

第24頁(yè)共69頁(yè).

(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？

【答案】(1)當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC

(2)當(dāng)t的值為時(shí)，四邊形QPCP′為菱形

4

3

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

（2）作于，于??，證明出為直角三角形，進(jìn)一步得出和

為等腰直?角?三⊥?角?形，?再?證?明⊥四??邊形?為矩Δ形??，?利用勾股定理在、Δ???Δ?中??，

結(jié)合四邊形為菱形，建立等式??進(jìn)?行?求解．??△?????△???

【詳解】（1?）?解??：（′1）如圖①，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴AB＝＝（cm），

2222

由題意得?，?AP+＝??tcm，4B+Q4＝t=cm4，2

則BP＝（4﹣2t）cm，

∵PQ⊥BC，22

∴∠PQB＝90°，

∴∠PQB＝∠ACB，

∴PQAC，

∥，

∠???=∠???

∴{

∠???=∠???，

∴△?＝??∽，△???

????

∴????，

42?2??

42=4

第25頁(yè)共69頁(yè).

解得：t＝2，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．

（2）解：作于，于，如圖，

??⊥?????⊥???

，，

??=2?，??=???(0??，<4)

∵∠?=為90直°角?三?角=形??，=4cm

∴Δ???，

∴∠?=和∠?=45為°等腰直角三角形，

∴Δ???Δ???，，

2

∴??=??=2??=?cm?，?=??

∴四??邊=形????為?矩=形(4，??)cm

∵????，

∴??=??=(4?，?)cm

∴??=(4??)cm，

∴在??=???中?，?=(4?2?)cm，

22222

在??△???中，??=??+??=?+(4??)，

22222

四?邊?△形???為?菱?形=，??+??=(4??)+(4?2?)

∵??，??′

∴??=??，

2222

∴?+(4，??)=（(4舍?去?）)．+(4?2?)

4

∴?1的=值3為?．2=4

4

∴【?點(diǎn)睛】此3題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．

6．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)

動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)?角?等??于??，=連4,接??=．3???

????∠?????

第26頁(yè)共69頁(yè).

(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；

(2)當(dāng)??時(shí)，求?的?長(zhǎng)⊥；????=??

(3)連接??=，3點(diǎn)2E從點(diǎn)?B?運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．

【答案】??(1)見詳解??

(2)或

(3)313

3

5

【分析】（1）證明