專題07 二次函數(shù)-面積最大值問題（解析版）

第七講二次函數(shù)--面積最大值問題

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一三角形面積的最大值.........................................................................................................................1

考點二四邊形面積的最大值.........................................................................................................................7

考點三圖形面積和、差、比的最大值.......................................................................................................13

知識導航

必備知識點

考點一三角形面積的最大值

1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l

與拋物線交于A、D兩點，點D的坐標為（4，n）．

（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；

（2）若點P是拋物線上的點且在直線l上方，連接PA、PD，求當△PAD面積最大時點P的坐標

及該面積的最大值；

第1頁共21頁.

【解答】解：（1）把點A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx﹣3，

，

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3；

把點D的坐標為（4，n）代入y＝﹣x2+x+3得n＝3，

設直線l函數(shù)關系式為：y＝mx+n，

把點（﹣2，0）和（4，3）代入，

，

解得：，

∴直線l的函數(shù)關系式為：y＝x+1

（2）設P（m，﹣m2+m+3），過P點作PM∥y軸交直線l于N交x軸于M，

則點N的坐標為（m，m+1），

22

∴S△PAD＝S△APN+S△DPN＝×（﹣m+m+3﹣m﹣1）（4+2）＝﹣m+m+6＝﹣（m﹣1）

2+；

∴當m＝1時，△PAD面積最大，

此時，點P的坐標為（1，），該面積的最大值為；

2．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，

0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；

第2頁共21頁.

（2）若點P在直線BC下方的拋物線上運動，求點P運動到何處時，△PBC的面積最大？

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸、y軸分別交于點A（﹣2，0）、C（0，﹣8），

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；

（2）如圖1，過點P作PF∥y軸，交BC于點F．

在拋物線y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，則x2﹣2x﹣8＝0，

解得：x1＝4或x2＝﹣2，

∴B（4，0）．

由點B（4，0）和C（0，﹣8），可得直線BC的解析式為y＝2x﹣8．

設點P的坐標為（n，n2﹣2n﹣8），則點F的坐標為（n，2n﹣8），

第3頁共21頁.

由題知0＜n＜4，

∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）

＝﹣n2+4n．

∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB?PF

＝×4×（﹣n2+4n）

＝﹣2n2+8n

＝﹣2（n﹣2）2+8．

∵0＜2＜4，

∴當n＝2時，S△PBC取得最大值，

此時，點P的坐標為（2，﹣8）；

3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣

2，0），直線BC的解析式為y＝x﹣4．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，過點A作AD∥BC交拋物線于點D（異于點A），P是直線BC下方拋物線上一點，

過點P作PQ∥y軸，交AD于點Q，過點Q作QR⊥BC于點R，連接PR．求△PQR面積的最大

值及此時點P的坐標．

【解答】解：（1）∵B點在x軸上，且B點在y＝x﹣4上，

∴B（8，0），

∵A（﹣2，0），B（8，0），都在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，

∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的兩個根，

第4頁共21頁.

∴﹣16＝﹣，＝6，

∴a＝，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣4；

（2）∵AD∥BC，直線BC的解析式為y＝x﹣4，

∴直線AD的解析式為y＝x+1，

過點B作BG⊥AD交點G，

∵QR⊥BC，

∴QR＝BG，

在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，

∴BG＝2，

設P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），則Q（m，m+1），

∵QR＝2，

∴20＝（m﹣n）2+，

∴n﹣m＝2，

∴R（m+2，m﹣3），

222

S△PQR＝×（m+1﹣m+m+4）×2＝﹣m+2m+5＝﹣（m﹣4）+9，

∴當m＝4時，S△PQR有最大值9，

∴P（4，﹣6）；

第5頁共21頁.

4．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，交y軸于點C，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P點為一象限內拋物線上的一個動點，D點是BC中點，連接PD，BD，PB．求△

BDP面積的最大值以及此時P點坐標；

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∵，

∴OC＝3，

∴C（0，﹣3），

將A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，

∴，

解得

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），

∵D點是BC中點，

∴D（，﹣），

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

第6頁共21頁.

∴，

∴，

∴y＝x﹣3，

過點P作PG∥y軸，交BC于點G，

設P（a，a2﹣2a﹣3），則G（a，a﹣3），

∴PG＝﹣a2+3a，

2

∴S△BDP＝×PN×（3﹣）＝﹣（a﹣）+，

∵0＜a＜3，

∴當a＝時，△BDP面積的最大值為，

此時P（，﹣）；

考點二四邊形面積的最大值

5．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸直線x

＝交x軸于點D．

（1）求m的值；

（2）點E是線段BC上的一個動點．過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，與x軸相交于點

H，連接CF、BF、OE．當四邊形CDBF的面積最大時，請你說明四邊形OCFE的形狀．

第7頁共21頁.

【解答】解：（1）∵對稱軸直線x＝，

∴m＝；

（2）∵BD＝，

∴S△BCD＝BD×OC＝××2＝，

∵S四邊形CDBF＝S△BCD+S△BCF，

∴當S△BCF最大時，S四邊形CDBF就最大，

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+2，

設F（m，﹣m2+m+2），則E（m，﹣m+2），

∴EF＝﹣m2+m+2+m﹣2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴當m＝2時，EF最大，此時S△BCF最大，

∴F（2，3），E（2，1），

∴EF＝2，

∵OC＝2，

∴CO∥EF，CO＝EF，

∴四邊形COFE是平行四邊形；

6．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于

點C，且OC＝3．

（1）求該拋物線的解析式；

第8頁共21頁.

（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的

最大值，以及此時點P的坐標；

【解答】解：（1）∵OC＝3，

∴C（0，﹣3），

將點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，

得，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，

∴當S△PBC面積最大時，S四邊形PCAB的面積最大，

設BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，

設P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），

∴當PQ最大時，S△PBC面積最大，

∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，

第9頁共21頁.

當t＝時，PQ取最大值，

∴P（，﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∴AB＝4，

∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；

7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B左側），

交y軸于點C，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與拋物線交于B、D兩點，已知cos∠ABD＝．

（1）求點D的坐標；

（2）點F是拋物線的頂點，連接BF．P是拋物線上F、D兩點之間的任意一點，過點P作PE

∥BF交BD于點E，連接PF、PD、FE．求四邊形PFED面積的最大值及相應的點P的坐標；

【解答】解：（1）當y＝0時，＝0，

解得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

如圖，設BD與y軸交于點G，則cos∠ABD＝＝，

∴＝，

∴BG＝2，

∴OG＝3，

∴G（0，﹣2），

將B，G的坐標代入直線y＝kx+b，

第10頁共21頁.

∴，解得，

∴直線BD的解析式為：y＝x﹣2，

令x﹣2＝，

解得x＝﹣2或x＝4（舍），

∴D（﹣2，﹣3）．

（2）如圖，連接PB，

∵PE∥BE，

∴S△PBE＝S△PEF，

∴S四邊形PFED＝S△PED+S△PFE＝S△PED+S△PBE＝S△PBD，

過點P作PH∥y軸交BD于點H，

∴S△PBD＝?PH?（xB﹣xP）+?PH?（xP﹣xD）＝?PH?（xB﹣xD），

設P（x，﹣x2+x+2），則H（x，x﹣2），

∴PH＝﹣x2+x+2﹣（x﹣2）＝﹣x2+x+4，

22

∴S四邊形PFED＝S△PBD＝?PH?（xB﹣xD）＝?（﹣x+x+4）×（4+2）＝x+3x+12，

∵＜0，

∴當x＝＝1時，S四邊形PFED有最大值，

此時P（1，3）．

第11頁共21頁.

8．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線交于x軸上的點B，

y軸上的點C，且其對稱軸為直線．該拋物線與x軸的另一交點為點A，頂點為M．

（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

（2）如圖2，長度為的線段DF在線段BC上滑動（點D在點F的左側），過D，F(xiàn)分別作y

軸的平行線，交拋物線于E，P兩點，連接PE．求四邊形PFDE面積的最大值及此時點P坐標；

【解答】解：（1）對，當x＝0時，y＝2，當y＝0時，x＝4，

∴點B（4，0），點C（0，2），

將點B和點C的坐標代入y＝ax2+bx+c，得

，化簡得：，

∵對稱軸為直線x＝，

∴﹣＝，即有b＝﹣3a，

∴﹣4a﹣＝﹣3a，

∴a＝﹣，b＝，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，

∴頂點M的坐標（，）．

（2）如圖2，過點F作FQ⊥PF于點Q，過點P作PN⊥DE于點N，

∵PF⊥x軸，ED⊥x軸，

∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，

∴△DQF∽△BOC，

第12頁共21頁.

∵B（4，0），C（0，2），

∴OB＝4，OC＝2，

∴BC＝2，

∵DF＝，

∴，即，

∴DQ＝PN＝2，F(xiàn)Q＝1，

設點D的坐標為（x，﹣x+2），則點E（x，﹣x2+x+2），F(xiàn)（x+2，﹣x+1），P（x+2，﹣x2

﹣x+3），

∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，

222

∴S四邊形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x+2﹣x+2x＝﹣x+2x+2＝

﹣（x﹣1）2+3，

∴當x＝1時，四邊形PFDE面積的最大值為3，

此時，點E的坐標為（1，3），點P坐標為（3，2）．

考點三圖形面積和、差、比的最大值

9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣，0）、B（1，0）兩點，

與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，BC，點D是線段AC上一點，過點D作DE∥BC交線段AC上方的拋物線于點E，

過點E作EM∥y軸交直線AC于點M，過點D作DN⊥EM于點N，求陰影部分面積S的最大值

和此時點E的坐標．

第13頁共21頁.

【解答】解：（1）把A（﹣，0）、B（1，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得，

解得．

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+．

（2）如圖，延長ED交y軸于點P，

∵DE∥BC，

∴∠PCB＝∠CPE，

∵EM∥y軸，

∴∠MEP＝∠CPE，

∴∠PCB＝∠MEP，

∵DN⊥EM，

∴△END∽△COB，

∴EN：ND＝CO：OB，

第14頁共21頁.

把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝，

∴C（0，），

∴OA＝OC＝，

∴EN：ND＝：1，即EN＝ND，∠ACO＝45°，

∵EM∥y軸，

∴∠DMN＝∠ACO＝45°，

∴NM＝DN，

∴EM＝EN+NM＝ND+ND＝ND，

把A（﹣，0），C（0，）代入AC：y＝kx+b得，

直線AC的解析式為：y＝x+．

設E（x，﹣x2﹣x+），M（x，x+），

∴EM＝﹣x2﹣x+﹣（x+）＝﹣x2﹣x＝ND，

∴ND＝﹣x2﹣x，

22

∴S陰影＝×ND×OC＝ND＝﹣x﹣x＝﹣（x+）+，

此時E（﹣，）．

綜上可知，S的最大值為；此時E（﹣，）．

10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點（點A在點B

的左側），與y軸交于點C．

第15頁共21頁.

（1）求點A的坐標；

（2）如圖1，連接AC，點D為線段AC下方拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸交線段AC于

E點，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時點D的

坐標；

【解答】解：（1）∵拋物線，與x軸交于A、B兩點，

令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，

∵點A在點B的左側，

∴點A的坐標為（﹣3，0）；

（2）如圖1，延長DE交x軸于點K，

∵拋物線與y軸交于點C，

∴C（0，﹣2），

設直線AC的函數(shù)表達式為y＝kx+n（k≠0），

∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直線AC的函數(shù)表達式為，

設，其中﹣3＜t＜0，

∴，K（t，0），

第16頁共21頁.

∴DE＝﹣t2﹣2t，

∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，

＝（t+2）＝t+3，

222

∴S1﹣S2＝﹣t﹣3t﹣t﹣3＝﹣t﹣4t﹣3＝﹣（t+2）+1，

∴當t＝﹣2時，S1﹣S2取得最大值，最大值為1，

此時點D的坐標為（﹣2，﹣2）；

11．已知拋物線與x軸交于A，B兩點，且經過點C（0，﹣2），頂點坐標為（，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，連接BD，記△BDE的面

積為S1，△ABE的面積為S2，當最大時，求D點坐標；

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣）2﹣，

∵將C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，

第17頁共21頁.

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；

（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，

∴AK∥DG，

∴△AKE∽△DFE，

∴，

∴＝＝＝，

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，

∵A（﹣1，0），

∴y＝﹣﹣2＝﹣，

∴AK＝，

設D（m，m2﹣m﹣2），則F（m，m﹣2），

∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．

∴＝＝＝．

∴當m＝2時，有最大值，最大值是；

第18頁共21頁.

12．如圖，