專題07 二次函數(shù)-面積最大值問題（原卷版）

第七講二次函數(shù)--面積最大值問題

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一三角形面積的最大值.........................................................................................................................1

考點(diǎn)二四邊形面積的最大值.........................................................................................................................3

考點(diǎn)三圖形面積和、差、比的最大值.........................................................................................................5

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

考點(diǎn)一三角形面積的最大值

1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l

與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，n）．

（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線l上方，連接PA、PD，求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

及該面積的最大值；

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2．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，

0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PBC的面積最大？

3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣

2，0），直線BC的解析式為y＝x﹣4．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，

過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大

值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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4．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P點(diǎn)為一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連接PD，BD，PB．求△

BDP面積的最大值以及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

考點(diǎn)二四邊形面積的最大值

5．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸直線x

＝交x軸于點(diǎn)D．

（1）求m的值；

（2）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，與x軸相交于點(diǎn)

H，連接CF、BF、OE．當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時(shí)，請(qǐng)你說明四邊形OCFE的形狀．

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6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于

點(diǎn)C，且OC＝3．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的

最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與拋物線交于B、D兩點(diǎn)，已知cos∠ABD＝．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，連接BF．P是拋物線上F、D兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE

∥BF交BD于點(diǎn)E，連接PF、PD、FE．求四邊形PFED面積的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

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8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線交于x軸上的點(diǎn)B，

y軸上的點(diǎn)C，且其對(duì)稱軸為直線．該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）如圖2，長度為的線段DF在線段BC上滑動(dòng)（點(diǎn)D在點(diǎn)F的左側(cè)），過D，F(xiàn)分別作y

軸的平行線，交拋物線于E，P兩點(diǎn)，連接PE．求四邊形PFDE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；

考點(diǎn)三圖形面積和、差、比的最大值

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，BC，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交線段AC上方的拋物線于點(diǎn)E，

過點(diǎn)E作EM∥y軸交直線AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥EM于點(diǎn)N，求陰影部分面積S的最大值

和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1，連接AC，點(diǎn)D為線段AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交線段AC于

E點(diǎn)，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的

坐標(biāo)；

11．已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面

積為S1，△ABE的面積為S2，當(dāng)最大時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

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12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)