專題10 二次函數(shù)-將軍飲馬求最小值（平移）（解析版）

第十講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（平移）

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一平移.....................................................................................................................................................1

考點二平移+對稱...........................................................................................................................................4

知識導航

必備知識點

已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m

上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)

（1）點A、B在直線m兩側(cè)：

過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時

P、Q即為所求的點。

（2）點A、B在直線m同側(cè)：

過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平

移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。

考點一平移

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C點，

拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋

物線對稱軸上運動．

第1頁共24頁.

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；

（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對稱軸l于Q，如圖：

∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，

∴四邊形CC'QP是平行四邊形，

∴CP＝C'Q，

∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，

∵B，Q，C'共線，

∴此時CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，

∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，

∴C'（0，3），

∵B（4，0），

第2頁共24頁.

∴BC'＝＝5，

∴BC'+PQ＝5+1＝6，

∴CP+PQ+BQ最小值為6；

2．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．點M為拋物線的頂點．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖2，點Q為拋物線y＝ax2+bx+c第四象限上的一點，若△ACQ與△ABC的面積相等，

求點Q的坐標；

（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上的點，過點P作y軸的平行線，分別與x軸、直線y＝2

交于點K、N，連接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值時，若存在，求出點P的橫坐

標并直接寫出這個最小值；若不存在，請你說明理由．

【解答】解：（1）設拋物線的解析式是：y＝a（x+1）?（x﹣4），

∴2＝a．（0+1）?（0﹣4），

∴a＝﹣，

∴y＝﹣（x+1）?（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）∵A（0，2），C（4，0），

∴直線AC的解析式是：y＝﹣，

作BQ∥AC交拋物線于Q，

∴BQ的解析式是：y＝﹣﹣，

由﹣＝﹣++2得，

x1＝﹣1，x2＝5，

第3頁共24頁.

當x＝5時，y＝﹣＝﹣3，

∴點Q的坐標為（5，﹣3）；

（3）如圖，

MN+NK+QK存在最小值是2+，理由如下：

將點Q向上平移2個單位到點R，連接NR交y＝2于N，作NK⊥x軸，交拋物線于P，

∵M（，），R（5，﹣1），

∴直線MR的解析式是：y＝﹣+，

當y＝2時，

﹣+＝2，

∴x＝，

∴P點的橫坐標是，

∴（MN+NK+QK）最小＝2+＝2+．

考點二平移+對稱

3．如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（﹣2，0），O（0，0），B（0，

4），把△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．

（1）求C、D兩點的坐標；

（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上取兩點E、F（點E在點F的上方），且EF＝1，使四邊形ACEF

的周長最小，求出E、F兩點的坐標．

第4頁共24頁.

【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4

∴C點的坐標是（0，2），D點的坐標是（4，0），

（2）設所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

由題意，得，

解得，b＝1，c＝4，

∴所求拋物線的解析式為；

（3）只需求AF+CE最短，

拋物線的對稱軸為x＝1，

將點A向上平移至A1（﹣2，1），則AF＝A1E，

作A1關于對稱軸x＝1的對稱點A2（4，1），

連接A2C，A2C與對稱軸交于點E，E為所求，

可求得A2C的解析式為，

當x＝1時，，

∴點E的坐標為，點F的坐標為．

第5頁共24頁.

4．已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點A（﹣2，0），C（0，4），點B為拋物線

與x軸的另一個交點．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△PBC的面積最大時，求點P的坐標；

（Ⅲ）設點M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點，且MN＝2，點M在點N下方，求四邊形AMNC

周長的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；

2

（Ⅱ）當y＝0時，﹣x+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，

∴B（6，0），

設直線BC的解析式為y＝mx+n，

把B（6，0），C（0，4）分別代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

過P點作PQ∥y軸交BC于Q，如圖，

設P（t，﹣t2+t+4），則Q（t，﹣t+4），

第6頁共24頁.

∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，

2

∴S△PBC＝×6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）+9，

當t＝3時，S△PBC的值最大，此時P點坐標為（3，5）；

（Ⅲ）取OC的中點D，連接BD交直線x＝2于點M，如圖，則D（0，2），

∵MN∥CD，MN＝CD＝2，

∴四邊形CDMN為平行四邊形，

∴DM＝CN，

∵MA＝MB，

∴CN+AM＝DM+BM＝BD，

∴此時四邊形AMNC周長最小，

∵BD＝＝2，AC＝＝2，

∴四邊形AMNC周長的最小值為2+2+2．

5．如圖1，拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長；

（2）如圖2，E為拋物線的頂點，F(xiàn)為AC上方的拋物線上一動點，M、N為直線AC上的兩動點

（M在N的左側(cè)），且MN＝4，作FP⊥AC于點P，F(xiàn)Q∥y軸交AC于點Q．當△FPQ的面積最

大時，連接EF、EN、FM，求四邊形ENMF周長的最小值．

第7頁共24頁.

【解答】解：（1）由題意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），

∴OA＝3，OC＝3，

∴AC＝＝6．

（2）如圖2﹣1中，延長FQ交OA于D．設F（m，﹣m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，

∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y軸，F(xiàn)P⊥AC，

∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，

∴∠AQD＝∠FQP＝60°，

∴當FQ最大時，△FPQ的面積最大，

∵直線AC的解析式為y＝x+3，

∴Q（m，m+3），

∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝﹣，F(xiàn)Q的值最大，即△PFQ的面積最大，此時F（﹣，），

如圖2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作點F′關于直線AC的對稱點F″，連接

第8頁共24頁.

EF″交直線AC于點M，連接FM，EN，EF，此時四邊形ENMF的周長最短．

由題意點F向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F′（，），

∵F″與F′關于直線AC對稱，

∴F″（，），

∴M（，），N（，），

∵拋物線頂點E（﹣，4），

∴FM＝＝，EN＝＝

，EF＝＝，

∴四邊形ENMF的周長的最小值為4+++．

6．如圖1，拋物線y＝x與x軸交于點A，B（A在B左邊），與y軸交于點C，

連AC，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，過點D作DE∥AC交拋物線于點E，交y軸于點

P．

（1）點F是直線AC下方拋物線上點一動點，連DF交AC于點G，連EG，當△EFG的面積的

最大值時，直線DE上有一動點M，直線AC上有一動點N，滿足MN⊥AC，連GM，NO，求

GM+MN+NO的最小值；

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【解答】解：（1）如圖1中，作FH∥y軸交DE于H．設F（m，m2+m+2）．

由題意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），

∵拋物線的對稱軸x＝﹣4，C，D關于直線x＝﹣4對稱，

∴D（﹣8，2），

∴直線AC的解析式為y＝x+2，

∵DE∥AC，

∴直線DE的解析式為y＝x+，

由，解得或，

∴E（2，），H（m，m+），

∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面積為定值，

∴△DEF的面積最大時，△EFG的面積最大，

∵FH的值最大時，△DEF的面積最大，

∴FH的值最大時，△EFG的面積最大，

第10頁共24頁.

∵FH＝﹣m2﹣m+，

∵a＜0．開口向下，

∴x＝﹣3時，F(xiàn)H的值最大，此時F（﹣3，﹣）．

如圖2中，作點G關于DE的對稱點T，TG交DE于R，連接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，

連接TM，GM，此時GM+MN+ON的值最?。?/p>

∵直線DF的解析式為：y＝﹣x﹣2，

由，

解得，

∴G（﹣，），

∵TG⊥AC，

∴直線GR的解析式為y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴R（﹣，），

∴RG＝4，OR＝，

第11頁共24頁.

∵GM＝TM＝RN，

∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．

∴GM+MN+NO的最小值為4+．

7．如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左

側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，且3OC＝4OB，對稱軸為直線x＝，點

，連接CE交對稱軸于點F，連接AF交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式和直線CE的解析式；

（2）如圖②，過E作EP⊥x軸交拋物線于點P，點Q是線段BC上一動點，當QG+QB最小

時，線段MN在線段CE上移動，點M在點N上方，且MN＝，請求出四邊形PQMN周長

最小時點N的橫坐標；

【解答】解：（1）由題意C（0，4），

∴OC＝，

∵3OC＝4OB，

∴OB＝3，

∴B（3，0），

∵拋物線的對稱軸x＝，

∴A（﹣，0），

設拋物線的解析式為y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．

第12頁共24頁.

設直線CE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線CE的解析式為y＝﹣2x+4．

（2）如圖1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），

∴直線AF的解析式為y＝x+，

由，解得或，

∴G（，），

∵QH∥CO，BC＝＝5，

∴＝，

∴QH＝BQ，

∴GQ+BQ＝GQ+QH，

∴當G、Q、H三點共線時，GQ+BQ的值最小，最小值為，此時Q（，）．

如圖2中，將點Q沿CE方向平移個單位得到Q′，作點Q′關于直線CE的對稱點Q″，

連接PQ″交直線CE于M，此時四邊形PQNM的周長最?。?/p>

第13頁共24頁.

易知Q′（，2），Q″（，），

∵P（2，4），

∴直線PQ″的解析式為y＝x+，

由，解得，

∴M（，），

∵MN＝，可得N（，），

∴點N的橫坐標為．

8．如圖，拋物線y＝x2+x﹣交x軸于點A、B．交y軸于點C．

（1）求直線AC的解析式，

（2）若P為直線AC下方拋物線上一動點，連接AP、CP，以PC為對角線作平行四邊形ACDP，

當平行四邊形ACDP面積最大時，作點C關于x軸的對稱點Q，此時線段MN在直線AQ上滑動

（M在N的左側(cè)），MN＝，連接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四邊形ACDP的

最大面積；

第14頁共24頁.

【解答】解：（1）當y＝0時，x2+x﹣＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

當x＝0時，y＝﹣

∴C（0，﹣），

設直線AC解析式為y＝kx+b，

∴解得：

∴直線AC解析式為y＝﹣x﹣；

（2）設與AC平行的直線解析式為y＝﹣x+h，

聯(lián)立y＝x2+x﹣與y＝﹣x+h，

當Δ＝0時，點P到直線AC的距離最大，

∴7+h＝0，

∴h＝﹣，

∴y＝﹣x﹣，

∴點P的坐標為（﹣，﹣），

此時平行四邊形ACDP面積最大；

S四邊形ACDP＝2S△ACP＝2（S梯形AEFC﹣S△AEP﹣S△FCP）＝2××（+）﹣2×

﹣2×＝﹣；

點C關于x軸的對稱點Q，C（0，﹣），

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∴Q（0，），

則AQ的直線解析式為y＝x+，

設點B關于直線AQ的對稱點為B'（a，b），

∴，

∴，

∴B'（﹣1，2），

過點B'作MN的平行線，過M作B'N的平行線，兩線相交于點B''，

過點B''作x軸平行線，過點B'作y軸平行線，相交于點G，

∴MN＝B''B'，

∵直線AQ與x軸的夾角為30°，

∴∠B''GB'＝30°，

∴B''G＝，B'G＝，

∴B''（﹣，），

當B''，M，P三點共線時，BN+NM+MP的值最小，

∴BN+NM+MP＝B''P+NM，

∵B''P＝，

∴BN+NM+MP的最小值為+；

9．如圖，平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，

C（4，﹣5）兩點，且與直線DC交于另一點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AD

的最小值；

第16頁共24頁.

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，C（4，﹣5），

∴AD＝AB＝5，B（4，0），

∴OA＝1，

∴A（﹣1，0），

將點A，C代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）連接OC，交對稱軸x＝1于點Q，

∵PQ⊥y軸，

∴AO∥PQ，

∵AO＝PQ＝1，

∴四邊形AOQP是平行四邊形，

∴AP＝OQ，

∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ

若使EQ+PQ+AP值為最小，則EQ+OQ的值為最小，

∵E，C關于對稱軸x＝1對稱，

∴EQ＝CQ，

∴EQ+OQ＝CQ+OQ，

此時EQ+OQ的值最小，最小值為線段OC長，

∵C（4，﹣5），

第17頁共24頁.

∴，

∴EQ+PQ+AP的最小值為，

即EQ+PQ+AP的最小值為；

10．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，

點D為頂點，點E在拋物線上，且橫坐標為4，AE與y軸交F．

（1）求拋物線的頂點D和F的坐標；

（2）點M、N是拋物線對稱軸上兩點，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，

C，M，N四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個周長最小值，并求出a的值；

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，

∴頂點D坐標（2，﹣8），

由題意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），

設直線AE解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線AE解析式為y＝﹣x﹣2，

∴點F坐標（0，﹣2）．

（2）如圖1中，作點F關于對稱軸的對稱點F′，連接FF′交對稱軸于G，在CF上取一點C′，

使得CC′＝，連接C′F′與對稱軸交于點N，此時四邊形CMNF周長最?。?/p>

第18頁共24頁.

∵四邊形CMNF的周長＝CF+NM+CM+FN＝5+CM+NF，CM+NF＝C′N+NF＝C′N+NF′＝

C′F′（兩點之間線段最短），

∴此時四邊形CMNF的周長最小．

∵C′F＝3

∴GN＝C′F＝，

∴﹣（a+）＝2+，

∴a＝﹣，

∵C′F′＝＝5，

∴四邊形CMNF的周長最小值＝5+5＝10．

11．如圖，過點A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是直線x＝2，點B是拋物線與x軸的一

個交點，點C在y軸上，點D是拋物線的頂點．

（1）求a、b的值；

（2）當△BCD是直角三角形時，求△OBC的面積；

（3）設點P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點M、N在拋物線的對稱軸上（點M在

點N的上方），且MN＝2，過點P作y軸的平行線交直線OA于點Q，當PQ最大時，請直接寫

出四邊形BQMN的周長最小時點Q、M、N的坐標．

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【解答】解：（1）∵過點的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是直線x＝2，

∴

解之，得；

（2）設點C的坐標是（0，m）．由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點D的坐標是（2，﹣3），點B的坐標是（4，0）．

當∠CBD＝90°時，有BC2+BD2＝CD2．

∴，

解之，得，

∴；

當∠CDB＝90°時，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

當∠BCD＝90°時，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程無解．

綜上所述，當△BDC為直角三角形時，△OBC的面積是或；

第20頁共24頁.

（3）設直線y＝kx過點，可得直線．

由（1）可得拋物線，

∴，

∴當時，PQ最大，此時Q點坐標是．

∴PQ最大時，線段BQ為定長．

∵MN＝2，

∴要使四邊形BQMN的周長最小，只需QM+BN最小．

將點Q向下平移2個單位長度，得點，作點關于拋物線的對稱軸的

對稱點，直線BQ2與對稱軸的交點就是符合條件的點N，此時四邊形BQMN的周

長最小．

設直線y＝cx+d過點和點B（4，0），

則

解之，得

∴直線過點Q2和點B．

解方程組得

第21頁共24頁.

∴點N的坐標為，∴點M的坐標為