專題23 解答題重點(diǎn)出題方向反比例函數(shù)與幾何綜合專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

專題23解答題重點(diǎn)出題方向反比例函數(shù)與幾何綜合專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

1．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，一次函數(shù)y＝2x+b與反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A（1，4），與y軸交于

?

點(diǎn)B．=?

（1）k＝4，b＝2；

（2）連接并延長AO，與反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，若以O(shè)、C、D為

?

頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)D的=坐?標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）將點(diǎn)A（1，4）分別代入反比例函數(shù)y（k≠0）和一次函數(shù)y＝2x+b的解析式中，求

?

解即可；=?

（2）根據(jù)題意，需要分類討論：當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上，△COD∽

△AOB或△COD∽△BOA，依次根據(jù)比例關(guān)系，求解即可．

解：（1）將點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)y（k≠0）的解析式中，

?

∴k＝1×4＝4；=?

將A（1，4）代入一次函數(shù)y＝2x+b，

∴2×1+b＝4，

解得b＝2．

故答案為：4；2．

（2）當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的正半軸上，

則∠COD＞∠ABO，

∴△COD與△ABO不可能相似．

當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上，

若△COD∽△AOB，

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∵CO＝AO，BO＝DO＝2，

∴D（0，﹣2）．

若△COD∽△BOA，則OD：OA＝OC：OB，

∵OA＝CO，BO＝2，

=17

∴DO，

17

=

∴D（0，2），

17

?

綜上所述：點(diǎn)2D的坐標(biāo)為（0，﹣2），（0，）．

17

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的?交2點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的系數(shù)，三角形相似的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論．

2．（2022?徐州）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x

8

軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D，CB＝CD，點(diǎn)C關(guān)于=直?線AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．

（1）點(diǎn)E是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由；

（2）連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．

①求k、b的值；

②若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)|PE﹣PB|最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AD⊥CE，AD平分CE，如圖，連接

8

CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E?（2m，），于是得到點(diǎn)E在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；

4

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD＝CE，AD垂?直平分CE，求得CHAD，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），

18

=

得到m＝2（負(fù)值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（20，2）代入y＝kx+b得，解方?程

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組即可得到結(jié)論；

②延長ED交y軸于P，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，則點(diǎn)

P即為符合條件的點(diǎn)，求得直線DE的解析式為y＝x﹣2，于是得到結(jié)論．

解：（1）點(diǎn)E在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

理由：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，

8

=?

∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），

8

∵點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對?稱點(diǎn)為點(diǎn)E，

∴AD⊥CE，AD平分CE，

如圖．連接CE交AD于H，

∴CH＝EH，

∵BC＝CD，OC⊥BD，

∴OB＝OD，

∴OCAD，

1

∵AD⊥=x2軸于D，

∴CE∥x軸，

∴E（2m，），

4

∵2m?8，

4

∴點(diǎn)×E在?這=個(gè)反比例函數(shù)的圖象上；

（2）①∵四邊形ACDE為正方形，

∴AD＝CE，AD垂直平分CE，

∴CHAD，

1

=2

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），

8

∴CH＝m，AD，?

8

=

∴m，?

18

∴m＝=2（×負(fù)?值舍去），

∴A（2，4），C（0，2），

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把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，

2?+?=4

∴?=2；

?=1

②延?=長2ED交y軸于P，

∵CB＝CD，OC⊥BD，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱，

∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，

則點(diǎn)P即為符合條件的點(diǎn)，

由①知，A（2，4），C（0，2），

∴D（2，0），E（4，2），

設(shè)直線DE的解析式為y＝ax+n，

∴，

2?+?=0

∴4?+?，=2

?=1

∴直?線=?DE2的解析式為y＝x﹣2，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，

∴P（0，﹣2）．

故當(dāng)|PE﹣PB|最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）．

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總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的

解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

3．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，

0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象交于C，P（﹣8，﹣2）兩

?

點(diǎn)．=?

（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；

（2）判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．

思路引領(lǐng)：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y可得反比例函數(shù)的解析式為y，即得m4；

?1616

====

（2）連接AC，BD交于H，由C（4，4），?P（﹣8，﹣2）得直線CD的解析?式是yx+24，即得D（0，

1

2），根據(jù)四邊形ABCD是菱形，知H是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，由A（4，0），C（=42，4）可得H（4，

2），設(shè)B（p，q），有，可解得B（8，2），從而可知B在反比例函數(shù)y的圖象上．

?+0

2=416

?+2=?

=2

解：（1）把P（﹣8，﹣22）代入y得：

?

=

﹣2，?

?

解得=k?＝816，

∴反比例函數(shù)的解析式為y，

16

=?

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∵C（4，m）在反比例函數(shù)y的圖象上，

16

=

∴m4；?

16

==

∴反比例4函數(shù)的解析式為y，m＝4；

16

=

（2）B在反比例函數(shù)y的?圖象上，理由如下：

16

連接AC，BD交于H，=如圖?：

把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：

，

4?+?=4

解?得8?+?=，?2

1

?=2

∴直線?C=D2的解析式是yx+2，

1

=

在yx+2中，令x＝0得2y＝2，

1

∴D=（02，2），

∵四邊形ABCD是菱形，

∴H是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，

由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），

設(shè)B（p，q），

∵D（0，2），

∴，

?+0

2=4

?+2

解得2=2，

?=8

∴B（?8，=22），

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在y中，令x＝8得y＝2，

16

=

∴B在反?比例函數(shù)y的圖象上．

16

總結(jié)提升：本題考查=反?比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)圖象上點(diǎn)

坐標(biāo)的特征等，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

4．（2022?濟(jì)南）如圖，一次函數(shù)yx+1的圖象與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y

1?

軸交于點(diǎn)B．=2=?

（1）求a，k的值；

（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．

①求△ABC的面積；

②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

請求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y求得a，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y求出k；

1?

（2）先求出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，作=CF2⊥?x+軸1于F，交AB于E，求出點(diǎn)E坐=標(biāo)?，從而求得CE的長，進(jìn)

而求得三角形ABC的面積；

（3）當(dāng)AB為對角線時(shí)，先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標(biāo)；當(dāng)AB為邊

時(shí)，同樣先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入y求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

12

=

解：（1）把x＝a，y＝3代入yx+1得，?

1

=

，2

1

?+1=3

2∴a＝4，

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把x＝4，y＝3代入y得，

?

=

3，?

?

∴=k＝412；

（2）∵點(diǎn)A（4，3），D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，AD＝AC，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3×2﹣0＝6，

把y＝6代入y得x＝2，

12

∴C（2，6），=?

①如圖1，

作CF⊥x軸于F，交AB于E，

當(dāng)x＝2時(shí)，y2，

1

∴E（2，2），=2×2+1=

∵C（2，6），

∴CE＝6﹣2＝4，

∴xA8；

△???11

②?如圖2=，2???=2×4×4=

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當(dāng)AB是對角線時(shí)，即：四邊形APBQ是平行四邊形，

∵A（4，3），B（0，1），點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為0，

∴yP＝1+3﹣0＝4，

當(dāng)y＝4時(shí)，4，

12

∴x＝3，=?

∴P（3，4），

當(dāng)AB為邊時(shí)，即：四邊形ABQP是平行四邊形（圖中的ABQ′P′），

由yQ′﹣yB＝y(tǒng)P′﹣yA得，?

0﹣1＝y(tǒng)P′﹣3，

∴yP′＝2，

當(dāng)y＝2時(shí)，x6，

12

∴P′（6，2）=，2=

綜上所述：P（3，4）或（6，2）．

總結(jié)提升：本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊

形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，全面分類．

5．（2022?盤錦）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)

是（﹣4，8），反比例函數(shù)＜的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．

?

（1）求反比例函數(shù)的解析式?=；?(?0)

（2）點(diǎn)D在邊CO上，且，過點(diǎn)D作DE∥x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

??3

=

??4

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思路引領(lǐng)：（1）過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，設(shè)點(diǎn)A為（0，m），根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出OA

＝BC＝AB＝5，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出解析式；

（2）作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，先證明△ODG∽△OCH，求出，，

1612

然后得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．??=7??=7

解：（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，如圖：

∵四邊形OABC是菱形，

設(shè)點(diǎn)A為（0，m），

∴OA＝BC＝AB＝m，

∵點(diǎn)B為（﹣4，8），

∴BF＝4，AF＝8﹣m，

在直角△ABF中，由勾股定理，則AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，

解得：m＝5，

∴OA＝BC＝AB＝5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，3），

把點(diǎn)C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，

?

?=

∴反比例函數(shù)的解?析式為＜；

12

?=??(?0)

（2）作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，如圖，

∵，

??3

=

∴??4，

??4

=

∵D??G∥C7H，

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∴△ODG∽△OCH，

∴，

??????4

===

∵?點(diǎn)?C的?坐?標(biāo)為?（?﹣47，3），

∴OH＝4，CH＝3，

∴，

????4

==

∴43，7，

1612

??=7??=7

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，

12

∵DE∥x軸，7

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，

12

∴，解得7x＝﹣7，

1212

=?

∴點(diǎn)7E的坐?標(biāo)為（﹣7，）．

12

7

總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練理解題意，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．

6．（2022?聊城）如圖，直線y＝px+3（p≠0）與反比例函數(shù)y（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（2，

?

=

q），與y軸交于點(diǎn)B，過雙曲線上的一點(diǎn)C作x軸的垂線，垂?足為點(diǎn)D，交直線y＝px+3于點(diǎn)E，且S△

AOB：S△COD＝3：4．

（1）求k，p的值；

（2）若OE將四邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)得出三角形AOB的面積，

根據(jù)面積比求出三角形COD的面積，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積求出k的值，再用待定系數(shù)法求出p

即可；

（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)面積相等列出方程求解即可．

解：（1）∵直線y＝px+3與y軸交點(diǎn)為B，

∴B（0，3），

即OB＝3，

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，

∴S△AOB3，

1

=×3×2=

∵S△AOB：S2△COD＝3：4，

∴S△COD＝4，

設(shè)C（m，），

?

∴m??4，

1?

=

解得2k＝?8，

∵點(diǎn)A（2，q）在雙曲線y上，

8

∴q＝4，=?

把點(diǎn)A（2，4）代入y＝px+3，

得p，

1

=

∴k＝82，p；

1

=2

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（2）∵C（m，），

?

∴E（m，m+3）?，

1

∵OE將四2邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，

∴S△BOE＝S△COE，

∵S△BOE，S△COE（）﹣4，

3?1

=?=?+3

∴2（）﹣24，2

3?1

?=?+3

解得2m＝42或2m＝﹣4（不符合題意，舍去），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）．

總結(jié)提升：本題主要考查反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比

例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

7．（2022?大慶）已知反比例函數(shù)y和一次函數(shù)y＝x﹣1，其中一次函數(shù)圖象過（3a，b），（3a+1，b）

??

兩點(diǎn)．=?+3

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）如圖，函數(shù)yx，y＝3x的圖象分別與函數(shù)y（x＞0）圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存

1?

在點(diǎn)P，使得△ABP=周3長最??？若存在，求出周長的=最?小值；若不存在，請說明理由．

思路引領(lǐng)：（1）把（3a，b），（3a+1，b）代入y＝x﹣1中，列出方程組進(jìn)行計(jì)算即可解答；

?

（2）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連+接3AB′交y軸于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)AP+BP的最小，即△ABP

周長最小，先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出AB的長，

再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于y軸對稱，求出B′的坐標(biāo)，從而求出AB′的長，進(jìn)而求出△ABP周長的最小

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值．

解：（1）把（3a，b），（3a+1，b）代入y＝x﹣1中可得：

?

+

，3

?=3??1

?

解得：k＝3，

?+3=3?+1?1

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y；

3

（2）存在，=?

作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交y軸于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)AP+BP的最小，即△ABP周長

最小，

由題意得：，

3

?=?

?=3?

解得：或，

?=1?=?1

∴B（1，?3=），3?=?3

由題意得：，

3

?=?

1

解得：?或=3?，

?=3?=?3

∴A（3，?1=），1?=?1

∴AB＝2，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)2B′關(guān)于y軸對稱，

∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，

∴AB′＝2，

∴AP+BP＝A5P+B′P＝AB′＝2，

∴AP+BP的最小值為2，5

∴△ABP周長最小值＝252，

∴△ABP周長的最小值為52+2．

5+2

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總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)題目

的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

8．（2022?湖北）如圖，OA＝OB，∠AOB＝90°，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)y（x＞0）和y（x＞0）的

?1?2

圖象上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．=?=?

（1）求k1，k2的值；

（2）若點(diǎn)C，D分別在函數(shù)y（x＞0）和y（x＞0）的圖象上，且不與點(diǎn)A，B重合，是否存在

?1?2

點(diǎn)C，D，使得△COD≌△AO=B．?若存在，請直=接寫?出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

思路引領(lǐng)：（1）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；

（2）根據(jù)△COD≌△AOB和反比例函數(shù)的對稱性可得：B與C關(guān)于x軸對稱，A與D關(guān)于x軸對稱，

可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于G，過點(diǎn)B作BH⊥y軸于H，

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∵A（1，4），

∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，

∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，

∴∠AOG＝∠OBH，

∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，

∴△AGO≌△OHB（AAS），

∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，

∴B（4，﹣1），

∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；

（2）存在，

如圖2，∵△COD≌△AOB，

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∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴B與C關(guān)于x軸對稱，A與D關(guān)于x軸對稱，

∴C（4，1），D（1，﹣4）．

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的對稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)是軸

對稱圖形是解本題的關(guān)鍵．

9．（2022?雅安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2），點(diǎn)B

在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上．

8

（1）求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；=?

（2）求DF所在直線的表達(dá)式；

（3）若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，求S△EFG．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平移的特點(diǎn)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出D，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；

（3）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，根據(jù)三角形的面積公式解答即可．

解：（1）過A點(diǎn)作AH⊥BO于H，

∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），

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∴OH＝AH＝2，

∴m＝﹣2，

由平移可得D點(diǎn)縱坐標(biāo)和A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，設(shè)D（n，2），

∵D在y圖像上，

8

∴n＝4，=?

∴D（4，2）．

（2）過D作DM⊥EF于M，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DFM＝45°，

∴DM＝MF＝2，

由D（4，2）得F（6，0），

設(shè)直線DF的表達(dá)式為：y＝kx+b，將F（6，0）和D（4，2）代入得：

，

2=4?+?

解0得=：6?+?，

?=?1

∴直線D?F=的6表達(dá)式為y＝﹣x+6．

（3）延長FD交y圖像于點(diǎn)G，

8

=?

，

?=??+6

8

?=

解得：?，，

?1=4?2=2

∴G（2，?14=），2?2=4

由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，

∴S△EFGEF?Gy4×4＝8．

11

=2=2×

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總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵．

10．（2022?常德）如圖，已知正比例函數(shù)y1＝x與反比例函數(shù)y2的圖象交于A（2，2），B兩點(diǎn)．

（1）求y2的解析式并直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍；

（2）以AB為一條對角線作菱形，它的周長為4，在此菱形的四條邊中任選一條，求其所在直線的

解析式．10

思路引領(lǐng)：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，（也可以直接利用反比例

函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．）觀察圖象即可得出x的取值范圍；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，可證得△AOE是等腰直角三角形，得出：

∠AOE＝45°，OAAE＝2，再根據(jù)菱形性質(zhì)可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得

D（1，﹣1），再根據(jù)=對2稱性可得2C（﹣1，1），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得菱形的邊所在直線的解析式．

解：（1）設(shè)反比例函數(shù)y2，把A（2，2）代入，得：2，

??

解得：k＝4，=?=2

∴y2，

4

=

由?，解得：，，

?=?

?1=2?2=?2

∴（﹣4，﹣），12

B?=?22?=2?=?2

由圖象可知：當(dāng)y1＜y2時(shí)，x＜﹣2或0＜x＜2；

注明：也可以直接利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵A（2，2），

∴AE＝OE＝2，

∴△AOE是等腰直角三角形，

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∴∠AOE＝45°，OAAE＝2，

∵四邊形ACBD是菱形=，22

∴AB⊥CD，OC＝OD，

∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，

∵∠DFO＝90°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴DF＝OF，

∵菱形ACBD的周長為4，

∴AD，10

=10

在Rt△AOD中，OD，

2222

∴DF＝OF＝1，=?????=(10)?(22)=2

∴D（1，﹣1），

由菱形的對稱性可得：C（﹣1，1），

設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，

則，

?+?=?1

解得2?：+?=2，

?=3

∴AD所?在=直?線4的解析式為y＝3x﹣4；

同理可得BC所在直線的解析式為y＝3x+4，AC所在直線的解析式為yx，BD所在直線的解析式

14

=+

為yx．33

14

=3?3

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)等，難度適中，熟練掌握待定系數(shù)法是

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解題關(guān)鍵．

11．（2022?蘇州）如圖，一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y（m≠0，x＞0）的圖象交于

?

=

點(diǎn)A（2，n），與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C（﹣4，0）．?

（1）求k與m的值；

（2）P（a，0）為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APB的面積為時(shí)，求a的值．

7

2

思路引領(lǐng)：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求出k，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反

比例函數(shù)的解析式中，可得結(jié)論；

（2）根據(jù)S△CAP＝S△ABP+S△CBP，構(gòu)建方程求解即可．

解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k，

1

=

∴yx+2，2

1

=

把A（22，n）代入yx+2，得n＝3，

1

∴A（2，3），=2

把A（2，3）代入y，得m＝6，

?

=?

∴k，m＝6；

1

=2

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

∴B（0，2），

∵P（a，0）為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，

∴PC＝|a+4|，

∴S△CBP?PC?OB|a+4|×2＝|a+4|，S△CAPPC?yA|a+4|×3，

1111

=2=2×=2=2×

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∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，

∴|a+4||a+4|，

37

=+

∴2a＝3或﹣211．

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問題．

12．（2022?眉山）已知直線y＝x與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限交于點(diǎn)M（2，a）．

?

（1）求反比例函數(shù)的解析式；=?

（2）如圖，將直線y＝x向上平移b個(gè)單位后與y的圖象交于點(diǎn)A（1，m）和點(diǎn)B（n，﹣1），求b

?

的值；=?

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，求證：△AOD≌△BOC．

思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)一次函數(shù)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)計(jì)算即可；

（2）先求出A的點(diǎn)坐標(biāo)，再代入平移后的一次函數(shù)解析式計(jì)算即可；

（3）過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過B點(diǎn)作BF⊥x軸于點(diǎn)F，即可根據(jù)A、B坐標(biāo)證明△AOE≌△BOF（SAS），

得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐標(biāo)即可得到OC＝OD，即可證明△AOD≌△BOC．

（1）解：∵直線y＝x過點(diǎn)M（2，a），

∴a＝2，

∴將M（2，2）代入中，得k＝4，

?

?=

∴反比例函數(shù)的解析式為?；

4

?=?

（2）解：由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為，

4

?=

∵點(diǎn)A（1，m）在的圖象上，?

4

?=?

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∴m＝4，

∴A（1，4），

由平移得，平移后直線AB的解析式為y＝x+b，

將A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過B點(diǎn)作BF⊥x軸于點(diǎn)F．

由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為，

4

?=

∵點(diǎn)B（n，﹣1）在的圖象上，?

4

∴n＝﹣4，?=?

∴B（﹣4，﹣1），

∵A（1，4），

∴AE＝BF，OE＝OF，

∴∠AEO＝∠BFO，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，

由（2）知，b＝3，

∴平移后直線AB的解析式為y＝x+3，

又∵直線y＝x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，

∴C（﹣3，0），D（0，3），

∴OC＝OD，

在△AOD和△BOC中，

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，

??=??

∠???=∠???

∴?△?A=O?D?≌△BOC（SAS）．

總結(jié)提升：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判

定與性質(zhì)，熟練根據(jù)坐標(biāo)找線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

13．（2022?樂山）如圖，已知直線l：y＝x+4與反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，n），直線

?

l′經(jīng)過點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線x＝﹣1對稱．=?

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求圖中陰影部分的面積．

思路引領(lǐng)：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l解析式，求出n的值，確定A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式

即可；

（2）通過已知條件求出直線l′解析式，用△BOC的面積﹣△ACD的面積解答即可．

解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，n）在直線l：y＝x+4上，

∴n＝﹣1+4＝3，

∴A（﹣1，3），

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象上，

?

∴k＝﹣3，=?

∴反比例函數(shù)的解析式為y；

3

（2）易知直線l：y＝x+4與=?x、?y軸的交點(diǎn)分別為B（﹣4，0），C（0，4），

∵直線l′經(jīng)過點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線x＝﹣1對稱，

∴直線l′與x軸的交點(diǎn)為E（2，0），

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設(shè)l′：y＝kx+b，則，

3=??+?

解得：，0=2?+?

?=?1

∴l(xiāng)′：y?＝=﹣2x+2，

∴l(xiāng)′與y軸的交點(diǎn)為D（0，2），

∴陰影部分的面積＝△BOC的面積﹣△ACD的面積4×42×1＝7．

11

=2×?2×

總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確地求得反比例函數(shù)的

解析式是解題的關(guān)鍵．

14．（2022?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在函數(shù)y1（x＜0）、y2（x＞0，

2?

k＞0）的圖象上，點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，AC⊥x軸于點(diǎn)P，BC⊥y軸于點(diǎn)Q，連=接?AB、PQ，已=知?點(diǎn)A的

縱坐標(biāo)為﹣2．

（1）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；

（2）記四邊形APQB的面積為S，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，試用含k的代數(shù)式表示S．

思路引領(lǐng)：（1）把y＝﹣2代入y1（x＜0）即可求得；

2

=?

（2）求得B（2，），即可得到PC＝OQ∴AC＝2，BC＝1+2＝3，然后根據(jù)S＝S△ABC﹣S△PQC即

???

=+

可得到結(jié)論．222

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解：（1）∵點(diǎn)A在函數(shù)y1（x＜0）的圖象上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為﹣2，

2

=

∴﹣2，解得x＝﹣1，?

2

∴點(diǎn)A=的?橫坐標(biāo)為﹣1；

（2）∵點(diǎn)B在函數(shù)y2（x＞0，k＞0）的圖象上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，

?

=?

∴B（2，），

?

∴PC＝OQ2，BQ＝2，

?

∵A（﹣1，=﹣22），

∴OP＝CQ＝1，AP＝2，

∴AC＝2，BC＝1+2＝3，

?

+2

∴S＝S△ABC﹣S△PQCAC?BCPC?CQ1＝3k．

111?1?1

總結(jié)提升：本題考查=了2反比例函?數(shù)2系數(shù)k=的2幾×何3意×義(2，+反2比)?例2函×數(shù)2圖×象上點(diǎn)+的2坐標(biāo)特征，三角形的面積，

表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．

15．（2022?自貢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象相交于A

?

=

（﹣1，2），B（m，﹣1）兩點(diǎn)．?

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)B作直線l∥y軸，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，點(diǎn)C是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，若DC＝2DA，求點(diǎn)C

的坐標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函數(shù)y求出n的值即可得出其函數(shù)解析式，再把B（m，

?

=

﹣1）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出m的值，把A，?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝kx+b，求出k、b

的值即可得出其解析式；

（2）根據(jù)已知確定AD的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)，由DC＝2AD可得DC＝6，從而得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函數(shù)y的圖象上，

?

=

∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，?

∴其函數(shù)解析式為y；

2

∵B（m，﹣1）在反=比?例?函數(shù)的圖象上，

∴﹣m＝﹣2，

∴m＝2，

∴B（2，﹣1）