2025屆云南省鹽津縣第三中學高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題含解析

2025屆云南省鹽津縣第三中學高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象經過點，則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A． B． C． D．3．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．55．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．6．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．87．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．9．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中判斷框①處應填入的是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸11．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．12．3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學書的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為雙曲線：的左焦點，直線經過點，若點，關于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．14．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.15．若，則__________.16．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點分別為和的中點.（Ⅰ）棱上是否存在點使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結論；若不存在，請說明理由.（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程．20．（12分）已知函數(shù).（1）設，求函數(shù)的單調區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點.（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，證明：.21．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值.22．（10分）某調查機構為了了解某產品年產量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產品的年產量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產品的成本為12千元，假設該產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.2、B【解析】

由點求得的值，化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.3、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.4、D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.5、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用，屬于基礎題.6、B【解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.7、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.8、D【解析】

設，，去絕對值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可求出．【詳解】因為實數(shù)，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．9、C【解析】

根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當時，結束運行，總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結果為31，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結構，已知輸出結果求條件框，屬于基礎題.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質，得出結論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.11、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當時，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數(shù)在處有意義時，的情況.12、D【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數(shù)后可求得概率．【詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數(shù)學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數(shù)學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【點睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數(shù)計算概率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由點，關于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結果，屬于?？碱}型.14、06【解析】

作不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可求出結果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當直線過點時，軸上截距最大，即z取最小值，．當直線過點時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．15、【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得，兩邊平方，由同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．16、3【解析】

作出可行域,可得當直線經過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當直線經過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）存在點滿足題意，且，證明詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可考慮采用補形法，取的中點為，連接，可結合等腰三角形性質和線面垂直性質，先證平面，即，若能證明，則可得證，可通過我們反推出點對應位置應在處，進而得證；（Ⅱ）采用建系法，以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出兩平面對應法向量，再結合向量夾角公式即可求解；【詳解】（Ⅰ）存在點滿足題意，且.證明如下：取的中點為，連接.則，所以平面.因為是的中點，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以.在平面內，，，所以，從而可得.又因為，所以平面.因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）如圖所示，以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系.易知，，，，所以，，.設平面的法向量為，則有取，得.同理可求得平面的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角，所以其余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內恰有一個零點，轉化為在區(qū)間內恰有兩個零點，由（1）的結論對分類討論，根據(jù)單調性，結合零點存在性定理，即可求出結論.【詳解】（1）由題意得，則，當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內恰有一個零點，設該零點為，則在區(qū)間內不單調.∴在區(qū)間內存在零點，同理在區(qū)間內存在零點.∴在區(qū)間內恰有兩個零點.由（1）易知，當時，在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意.當時，在區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題意，由點到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設橢圓方程，再設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，令，可得，即得橢圓方程.試題解析：（Ⅰ）過點的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直.設其直線方程為，代入（1）得.設，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.20、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，結合零點存在性定理判斷出有唯一零點.（2）求得的導函數(shù)，結合在區(qū)間上不單調，證得，通過證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域為，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個零點：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內有零點，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，故函數(shù)只有一個零點.（2）證明：函數(shù)，則當時，，不符合題意；當時，令，則，所以在上單調增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調，所以存在，使得在上有一個零點，即，所以，且，即兩邊取自然對數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和零點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.21、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．詳解：（1）∵，∴，∵為銳角，∴；（2）由余弦定理得：.點睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.22、（1）（2）當時，年