期末專題復(fù)習(xí)：勾股定理（九大類型）（原卷版）

勾股定理（9大類型提分練）目錄類型一、勾股定理 1類型二、勾股數(shù) 1類型三、以直角三角形三邊為邊長的正方形問題 2類型四、勾股定理與折疊問題 2類型五、勾股定理的應(yīng)用 3類型六、勾股定理與實(shí)際問題 4類型七、勾股數(shù)的材料探究問題 5類型八、勾股定理與網(wǎng)格作圖問題 6類型九、勾股定理的證明問題 7類型一、勾股定理1．（22-23八年級上·江蘇宿遷·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=11，則BC=2．（22-23八年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）直角三角形兩直角邊長分別是6cm和8cm，則斜邊上的中線長等于．3．（22-23八年級上·江蘇泰州·期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，則斜邊AB長為類型二、勾股數(shù)4．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．6，8，10 D．2，2，55．（23-24八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（

）A．13，14，15 B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，6．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組為（

）A．2，2，5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．6，8，10類型三、以直角三角形三邊為邊長的正方形問題7．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，正方形A的面積為．

8．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，AD是△ABC的高，分別以線段AB，BD，DC，9．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1955年希臘發(fā)行了以勾股定理為背景的郵票．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形ABIH，正方形ACFG，正方形BCDE，并按如圖所示作長方形KLNP，延長BC交NL于點(diǎn)M，反向延長BC交PK于點(diǎn)J，則長方形KLMJ的面積為類型四、勾股定理與折疊問題10．（23-24八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=18，BC=12，E、F分別在邊AB、CD上．現(xiàn)將四邊形BCFE沿EF折疊，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B'、C'．當(dāng)點(diǎn)B'恰好與點(diǎn)D重合時(shí)，則11．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=9,BC=15．在DC上找一點(diǎn)E，把△AED沿AE折疊，使D點(diǎn)恰好落在BC上，設(shè)這一點(diǎn)為F，則CF=．12．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE，若AC=3，BC=4，求CD(2)如圖2，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=3，BC=4，求CD的長．類型五、勾股定理的應(yīng)用13．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，一架2.5m長的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)梯子的底部B到墻底端C的距離為1.5m，則梯子的頂端距地面為m．

14．（22-23八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

15．（21-22八年級上·江蘇無錫·期末）我同古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺處時(shí)繩索用盡，則木柱長為尺．類型六、勾股定理與實(shí)際問題16．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，學(xué)校高17m的教學(xué)樓AB上有一塊高5m的校訓(xùn)宣傳牌AC，為美化環(huán)境，對校訓(xùn)牌AC進(jìn)行維護(hù)．一輛高2m的工程車在教學(xué)樓前點(diǎn)M處，伸長25m的云梯（云梯最長25m）剛好接觸到AC的底部點(diǎn)A處．問工程車向教學(xué)樓方向行駛多少米，長2517．（21-22八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．18．（22-23八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）看著冉冉升起的五星紅旗，你們是否想過旗桿到底有多高呢？某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿高度，進(jìn)行以下操作：如圖1，先將升旗的繩子拉到旗桿底端，發(fā)現(xiàn)繩子末端剛好接觸到地面；如圖2，再將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)繩子末端距離地面2m．請根據(jù)以上測量情況，計(jì)算旗桿的高度．類型七、勾股數(shù)的材料探究問題19．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖1，已知B中的實(shí)數(shù)與A中實(shí)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系是某個(gè)一次函數(shù)，若用y表示B中的實(shí)數(shù)，用x表示A中的實(shí)數(shù)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為n-m,t，點(diǎn)M的坐標(biāo)為-m,0．

(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是________、________，線段MN的長度為________；(3)若點(diǎn)Q在第二象限內(nèi)，且以△MNQ的三條邊的長度組成的數(shù)組是勾股數(shù)，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（求出兩個(gè)即可）．20．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2abc345861015817(1)小明發(fā)現(xiàn)：3=22-1，4=2×2，5=(2)若b用2n（n為整數(shù)，且n≥2）表示，那么a、c用含n的代數(shù)式分別表示為__________和_____，請用所學(xué)知識(shí)說明它們是一組勾股數(shù)．21．（21-22八年級上·江蘇蘇州·期末）若直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，則三邊的長為“勾股數(shù)”．構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“其中兩個(gè)數(shù)的平方和（或平方差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”，即滿足以下關(guān)系：(?)2+(?要滿足以上①、②的關(guān)系，可以從乘法公式入手，我們知道：(x+y)2-如果等式③的右邊也能寫成“(??)2因此，只要設(shè)x=m2,y=n2于是，當(dāng)m，n為任意正整數(shù)，且m>n時(shí)，“m2+n2(1)當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，該組勾股數(shù)是_______；(2)若一組勾股數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和為72，且m-n=1，求m，n的值；(3)若一組勾股數(shù)中最大的數(shù)是2p2+6p+5（p是任意正整數(shù)），則另外兩個(gè)數(shù)分別為_______，_______類型八、勾股定理與網(wǎng)格作圖問題22．（23-24八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖是6×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，回答下列問題．（要求：作圖只用無刻度的直尺）

(1)邊AB的長度為；(2)作△ABC的角平分線AD；(3)已知點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在（2）作出的線段AD上，當(dāng)PQ+CQ的長度最小時(shí)，在網(wǎng)格中作出△PCQ．23．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）（1）如圖①，方格紙中有2個(gè)格點(diǎn)A，B．僅用無刻度的直尺畫出線段AB的垂直平分線EF（E，F(xiàn)均為格點(diǎn)）；（2）如圖②，點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)B(3,1)．用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)C，使得△ABC是等邊三角形，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

24．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，一般分為兩種情形：借助于數(shù)學(xué)運(yùn)算來闡明“形”的某些屬性；借助于幾何直觀來闡明“數(shù)”的某種關(guān)系．

(1)從“數(shù)”的角度：證明“點(diǎn)A(-3,7)，B(-1,3)和C(5,-9)在同一條直線上”；(2)從“形”的角度：在方格紙中畫出圖形，并說明“2+5類型九、勾股定理的證明問題25．（21-22八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．過點(diǎn)A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M．CN⊥MN于N．(1)求證：△ABM≌△CAN；(2)若AM=a，BM=b，AB=c．試?yán)眠@個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．26．（22-23八年級上·江蘇宿遷·期末）綜合與實(shí)踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形ACOF、ODBE均為正方形，他把其中的一張紙片沿對稱軸AB把它剪開，然后把對稱軸AB一側(cè)的部分，沿AB翻折，再繞著AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請先判斷CE與CD的數(shù)量關(guān)系，再說明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為______．圖②圖形的面積可以表示為______．從而得數(shù)學(xué)等式：