中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專(zhuān)題06 分式與分式方程【考點(diǎn)精講】（解析版）

專(zhuān)題06分式與分式方程一、分式分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因?yàn)?不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒(méi)有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時(shí)，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個(gè)異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分二、分式運(yùn)算分式運(yùn)算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運(yùn)算在分式的加減乘除混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘除，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行加減運(yùn)算，遇到有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的．運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．三、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗(yàn)根作答.（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來(lái)未知數(shù)的值;④檢驗(yàn)作答.（5）解分式方程時(shí),在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí),有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個(gè)根叫做方程的增根),所以解分式方程時(shí)要驗(yàn)根.運(yùn)用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗(yàn)根【考點(diǎn)1】分式的概念及有意義的條件【例1】（2022·湖南懷化）代數(shù)式SKIPIF1<0x，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，x2﹣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，屬于分式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即可．【詳解】分母中含有字母的是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴分式有3個(gè)，故選：B．【例2】分式SKIPIF1<0的值為零，則x的值為………………（）A.2B.﹣2C.±2D.任意實(shí)數(shù)【答案】A【解析】本題錯(cuò)解考慮到了分子SKIPIF1<0－2為零，而忽視了分式有意義的條件——分母x＋2不為零.分式的值為零的條件應(yīng)是分子為零且分母不為零，∴由SKIPIF1<0－2＝0，解得x＝±2，又由x＋2≠0，得x≠﹣2，∴x＝2.還有分式無(wú)意義的條件是分母為零.分式有意義、無(wú)意義和值為零的條件（1）若分式eq\f(A,B)有意義，則B≠0（2）若分式eq\f(A,B)無(wú)意義，則B=0（3）若分式eq\f(A,B)=0，則A=0且B≠01．（2022·四川涼山）分式SKIPIF1<0有意義的條件是（

）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0【答案】B【分析】根據(jù)分式的分母不能為0即可得．【詳解】解：由分式的分母不能為0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即分式SKIPIF1<0有意義的條件是SKIPIF1<0，故選：B．2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分別找到各式為0時(shí)的x值，即可判斷．【詳解】解：A、當(dāng)x=-1時(shí)，x+1=0，故不合題意；B、當(dāng)x=±1時(shí)，x2-1=0，故不合題意；C、分子是1，而1≠0，則SKIPIF1<0≠0，故符合題意；D、當(dāng)x=-1時(shí)，SKIPIF1<0，故不合題意；故選C．3．（2022·湖北黃岡）若分式SKIPIF1<0有意義，則x的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：∵分式SKIPIF1<0有意義，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．4．（2022·廣西）當(dāng)SKIPIF1<0______時(shí)，分式SKIPIF1<0的值為零．【答案】0【分析】根據(jù)分式值為零，分子等于零，分母不為零得2x=0，x+2≠0求解即可．【詳解】解：由題意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，故答案為：0．5．（2021·浙江）一種鹽水，將m克鹽完全溶解于n克水后仍然達(dá)不到所需的含鹽質(zhì)量分?jǐn)?shù)，又加入了5克鹽完全溶解后才符合要求．則要配制的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為_(kāi)_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)有m克鹽完全溶解于n克水后，又加入5克鹽，得出總鹽有5+m克，鹽水有m+n+5克，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：要配制的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【考點(diǎn)2】分式的基本性質(zhì)【例3】如果把分式SKIPIF1<0中的x和y都縮小到原來(lái)的一半，則分式的值（）A．縮小到原來(lái)的SKIPIF1<0B．縮小到原來(lái)的SKIPIF1<0C．不變D．?dāng)U大到原來(lái)的2倍【答案】D【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)或者整式，分式的值不變，可得答案．【詳解】解：分式SKIPIF1<0中的x、y都縮小到原來(lái)的一半，即SKIPIF1<0所以擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，故選：D．【例4】（2021·福建三明·八年級(jí)期末）下列分式中，屬于最簡(jiǎn)分式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D 【分析】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【詳解】解：A、SKIPIF1<0，故此選項(xiàng)不符合題意；B、SKIPIF1<0，故此選項(xiàng)不符合題意；C、SKIPIF1<0，故此選項(xiàng)不符合題意；D、SKIPIF1<0是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)符合題意；選：D．分式約分的關(guān)鍵是確定分子和分母的公因式.1．分子、分母均為單項(xiàng)式.確定公因式的步驟2．分子或分母是多項(xiàng)式時(shí),需要先將多項(xiàng)式因式分解,再求公因式.1．（2021·廣西岑溪·七年級(jí)期末）下列分式中，把x，y的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后，值不變的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A選項(xiàng)，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后得：SKIPIF1<0，值發(fā)生了變化，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后得：SKIPIF1<0，值縮小了一半，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后得：SKIPIF1<0，值不變，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后得：SKIPIF1<0，值變成了原來(lái)的2倍，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（2021·遼寧沈河·八年級(jí)期末）下列各式從左到右的變形一定正確的是（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＝x﹣yC．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)（分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變）逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A.SKIPIF1<0，故本選項(xiàng)不符合題意；B.SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝x＋y，故本選項(xiàng)不符合題意；C.當(dāng)b＝﹣2，a＝1時(shí)，SKIPIF1<0，故本選項(xiàng)不符合題意；D.SKIPIF1<0，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期末）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用最簡(jiǎn)分式的定義：分子分母沒(méi)有公因式的分式，判斷即可．【詳解】解：A、SKIPIF1<0，不符合題意；B、SKIPIF1<0，不符合題意；C、SKIPIF1<0，不符合題意；D、SKIPIF1<0，為最簡(jiǎn)分式，符合題意；故選：D．4．（2021·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）將分式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0通分，那么最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)即可得到答案.【詳解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0通分的最簡(jiǎn)公分母為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.5．（2021·貴州八年級(jí)月考）對(duì)分式SKIPIF1<0通分后，SKIPIF1<0的結(jié)果是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】把a(bǔ)2-b2因式分解，得出SKIPIF1<0的最簡(jiǎn)公分母，根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可得答案．【詳解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式SKIPIF1<0的最簡(jiǎn)公分母是SKIPIF1<0，∴通分后，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故選：B．【考點(diǎn)3】分式運(yùn)算與化簡(jiǎn)【例5】先化簡(jiǎn)，再求值：（SKIPIF1<0＋2－x）÷SKIPIF1<0，其中x滿(mǎn)足x2－4x＋3=0.【答案】原式＝[SKIPIF1<0－SKIPIF1<0]·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∵x2－4x＋3=0，∴(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.又∵x－1≠0，x2＋4x＋4≠0，∴x≠1，x≠﹣2.∴當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝SKIPIF1<0＝﹣SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.在運(yùn)算過(guò)程中去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“﹣”，去掉括號(hào)和它前面的“﹣”號(hào)，括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要改變符號(hào)分式混合運(yùn)算應(yīng)注意的七點(diǎn)1．注意分式混合運(yùn)算的順序.2．進(jìn)行分式與整式的加減運(yùn)算時(shí),可將整式視為分母為1的代數(shù)式,然后與分式進(jìn)行通分,再依照運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.3．除法運(yùn)算一定要轉(zhuǎn)化為乘法后再運(yùn)算,如果分子、分母是多項(xiàng)式,可先將分子、分母因式分解,再進(jìn)行運(yùn)算.4．分式的混合運(yùn)算中,若有“A(B+C)”這種形式,且A·B,A·C均可約分時(shí),可利用乘法分配律簡(jiǎn)化運(yùn)算.5．進(jìn)行分式的加減運(yùn)算時(shí),注意與分式方程的解法區(qū)別開(kāi)來(lái),不要“去分母”.6．化簡(jiǎn)結(jié)果要最簡(jiǎn).7．代入求值時(shí),盡可能用“整體代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的分式的分母為0.1．化簡(jiǎn)SKIPIF1<0的結(jié)果是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先把除法化為乘法，再進(jìn)行約分，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故選B．2．計(jì)算：SKIPIF1<0__________．【答案】1【分析】先通分，把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，進(jìn)而求解即可；【詳解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為1．3．先化簡(jiǎn)，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，原式SKIPIF1<0．4．（2022·四川成都）已知SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為_(kāi)________．【答案】SKIPIF1<0【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值；【詳解】解：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，移項(xiàng)得SKIPIF1<0，左邊提取公因式得SKIPIF1<0，兩邊同除以2得SKIPIF1<0，∴原式＝SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．（2022·新疆）先化簡(jiǎn)，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．【答案】1【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式和分式的混合運(yùn)算法則對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)值代入求解即可．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴原式SKIPIF1<0．6．（2022·湖南邵陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，0，1，SKIPIF1<0中選擇一個(gè)合適的SKIPIF1<0值代入求值．SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把合適的SKIPIF1<0的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵x+1≠0，x-1≠0，x≠0，∴x≠±1，x≠0當(dāng)x=SKIPIF1<0時(shí)，原式=SKIPIF1<0．【考點(diǎn)4】分式方程的定義【例6】下列關(guān)于SKIPIF1<0的方程中，不是分式方程的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意根據(jù)分母含有未知數(shù)的方程是分式方程依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷．【詳解】解：A、B、D選項(xiàng)中分母含有未知數(shù)，是分式方程；C選項(xiàng)中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程.故選：C．1．已知方程：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義解答．【詳解】解：根據(jù)定義可知：①②③為分式方程，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．2．下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．【詳解】A、SKIPIF1<0是一元一次方程，故不符合題意；B、SKIPIF1<0是一元一次方程，故不符合題意；C、SKIPIF1<0是分式方程，故符合題意；D、SKIPIF1<0是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【考點(diǎn)5】解分式方程【例7】（2022·四川成都）分式方程SKIPIF1<0的解是_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】找出分式方程的最簡(jiǎn)公分母，方程左右兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母后再利用去括號(hào)法則去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x的系數(shù)化為1，求出x的值，將求出的x的值代入最簡(jiǎn)公分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得到原分式方程的解．【詳解】解：SKIPIF1<0解：化為整式方程為：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，故答案為：SKIPIF1<0．解分式方程的有關(guān)要點(diǎn)（1）解分式方程的基本思想是要設(shè)法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.（2）解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根.（3）分式方程的檢驗(yàn)方法：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.1．（2021·陜西蓮湖·八年級(jí)期末）已知SKIPIF1<0是分式方程SKIPIF1<0的解，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)分式方程的解的定義，可將x=3代入方程SKIPIF1<0，求得a=-1．然后，代入a-3檢驗(yàn)是否為0，進(jìn)而得出a=-1．【詳解】解：∵x=3是分式方程SKIPIF1<0的解，∴SKIPIF1<0，∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合題意）．故選：A．2．（2022·湖南常德）方程SKIPIF1<0的解為_(kāi)_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)方程兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0，化為整式方程，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可求解，最后注意檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0是原方程的解故答案為：SKIPIF1<03．（2022·廣西玉林）解方程：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以公分母SKIPIF1<0，先去分母化為整式方程，計(jì)算出x，然后檢驗(yàn)分母不為0，即可求解．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0是原方程的解，故原方程的解為：SKIPIF1<04．（2022·廣西梧州）解方程：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】先方程兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0，化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0得到：SKIPIF1<0，解出：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：SKIPIF1<0．【考點(diǎn)6】含參的分式方程【例8】（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0無(wú)解，則a的值為（）A．3 B．0 C．SKIPIF1<0 D．0或3【答案】C【分析】直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可．【詳解】解：SKIPIF1<0，去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程無(wú)解，解得SKIPIF1<0．故選：C．【例10】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵x為正數(shù)，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴m的取值范圍是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．分式方程無(wú)解兩種情形（1）分式方程化為整式方程后所得整式方程無(wú)解，則原程無(wú)解；（2）整式方程有解，但所求得的解經(jīng)檢驗(yàn)是增根，此時(shí)分式無(wú)解。1．（2021·廣西賀州市·中考真題）若關(guān)于SKIPIF1<0的分式方程SKIPIF1<0有增根，則SKIPIF1<0的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出SKIPIF1<0，方程去分母后將SKIPIF1<0代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程SKIPIF1<0有增根，∴SKIPIF1<0，去分母，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：D．2．（2021·四川宜賓市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0有增根，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0，去分母得：SKIPIF1<0，∵關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0有增根，增根為：x=2，∴SKIPIF1<0，即：m=2，故選C．3．（2022·四川德陽(yáng)）關(guān)于x的方程SKIPIF1<0的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞－1B．a(chǎn)＞－1且a≠0C．a(chǎn)＜－1D．a(chǎn)＜－1且a≠－2【答案】D【分析】將分式方程變?yōu)檎椒匠糖蟪鼋猓俑鶕?jù)解為正數(shù)且不能為增根，得出答案.【詳解】方程左右兩端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x為正數(shù)．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因?yàn)楫?dāng)a=-2時(shí)，方程不成立.）4．（2022·四川遂寧）若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0無(wú)解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】現(xiàn)將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類(lèi)討論，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原方程無(wú)解，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0無(wú)解；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；綜上，m的值為0或4；故選：D．5．（2021·四川雅安市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0的解是正數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意，將分式方程的解SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的表達(dá)式進(jìn)行表示，進(jìn)而令SKIPIF1<0，再因分式方程要有意義則SKIPIF1<0，進(jìn)而計(jì)算出SKIPIF1<0的取值范圍即可．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)題意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴k的取值范圍是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．【考點(diǎn)7】分式方程的實(shí)際運(yùn)用：行程【例11】（2022·四川樂(lè)山）第十四屆四川省運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2022年8月8日在樂(lè)山市舉辦，為保證省運(yùn)會(huì)期間各場(chǎng)館用電設(shè)施的正常運(yùn)行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練．現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修．維修工人騎摩托車(chē)先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車(chē)裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)體育館，已知搶修車(chē)是摩托車(chē)速度的1.5倍，求摩托車(chē)的速度．【答案】摩托車(chē)的速度為40千米/時(shí)【分析】設(shè)摩托車(chē)的速度為x千米/時(shí)，則搶修車(chē)的速度為1.5x千米/時(shí)，根據(jù)搶修車(chē)比摩托車(chē)少用10分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)摩托車(chē)的速度為x千米/時(shí)，則搶修車(chē)的速度為1.5x千米/時(shí)，依題意，得：SKIPIF1<0，解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的根，且符合題意，答：摩托車(chē)的速度為40千米/時(shí)．1.（2021·黑龍江虎林·八年級(jí)期末）隨著生活水平的提高，小林家購(gòu)置了私家車(chē)，這樣他乘坐私家車(chē)上學(xué)比乘坐公交車(chē)上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車(chē)平均速度是乘公交車(chē)平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車(chē)平均每小時(shí)走x千米，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)________．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)乘公交車(chē)平均每小時(shí)走x千米，則乘私家車(chē)平均速度是每小時(shí)SKIPIF1<0千米，則乘公交車(chē)花的時(shí)間為SKIPIF1<0小時(shí)，乘私家車(chē)所花的時(shí)間為SKIPIF1<0小時(shí)，再利用乘坐私家車(chē)上學(xué)比乘坐公交車(chē)上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，列方程即可.【詳解】解：設(shè)乘公交車(chē)平均每小時(shí)走x千米，則乘私家車(chē)平均速度是每小時(shí)SKIPIF1<0千米，則SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2021·上海市盧灣中學(xué)期末）小王步行的速度比跑步的速度慢SKIPIF1<0，跑步的速度比騎車(chē)的速度慢SKIPIF1<0．如果他騎車(chē)從SKIPIF1<0城到SKIPIF1<0城，再步行返回SKIPIF1<0城共需要兩小時(shí)，那么小王跑步從SKIPIF1<0城到SKIPIF1<0城需要____分鐘．【答案】48【分析】此題可設(shè)騎車(chē)速度為x，則跑步的速度為（1-50%）x，步行的速度為（1-50%）（1-50%）x，根據(jù)騎車(chē)從A城去B城，再步行返回A城共需2小時(shí)列出分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)騎車(chē)速度為SKIPIF1<0，則跑步的速度為SKIPIF1<0，步行的速度為SKIPIF1<0，根據(jù)題意列方程得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0是原方程的解，跑步的速度為SKIPIF1<0，小王跑步從SKIPIF1<0城到SKIPIF1<0城需要SKIPIF1<0（小時(shí)），SKIPIF1<0小時(shí)=48分鐘．故小王跑步從SKIPIF1<0城到SKIPIF1<0城需要48分鐘．故答案為：48．3．（2022·重慶）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從SKIPIF1<0地沿相同路線(xiàn)騎行去距SKIPIF1<0地30千米的SKIPIF1<0地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開(kāi)始從SKIPIF1<0地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開(kāi)始從SKIPIF1<0地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)SKIPIF1<0地，求甲騎行的速度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0千米/時(shí)【分析】（1）設(shè)乙的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，則甲的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，根據(jù)甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙列方程求解即可；（2）設(shè)乙的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，則甲的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，根據(jù)甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)SKIPIF1<0地列方程求解即可．【詳解】(1)解：設(shè)乙的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，則甲的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（千米/時(shí)），答：甲騎行的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)；(2)設(shè)乙的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，則甲的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，由題意得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0是分式方程的解，則SKIPIF1<0（千米/時(shí)），答：甲騎行的速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)．4．（2022·四川自貢）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛(ài)好者張老師騎自行車(chē)先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的3倍，求張老師騎車(chē)的速度．【答案】張老師騎車(chē)的速度為SKIPIF1<0千米/小時(shí)【分析】實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟“設(shè)、列、解、答”，根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，找到題中等量關(guān)系張老師先走2小時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)張老師騎車(chē)的速度為SKIPIF1<0千米/小時(shí)，則汽車(chē)速度是SKIPIF1<0千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0是分式方程的解，答：張老師騎車(chē)的速度為SKIPIF1<0千米/小時(shí)．【考點(diǎn)8】分式方程的實(shí)際運(yùn)用：工程【例12】（2022·江西）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先表示乙每小時(shí)采樣（x-10）人，進(jìn)而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時(shí)間，再根據(jù)時(shí)間相等列出方程即可．【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時(shí)采樣（x-10）人，根據(jù)題意，得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．1．（2021·四川宣漢·八年級(jí)期末）宣漢到達(dá)州要鋪設(shè)一條長(zhǎng)35千米的管道，為了盡量減少施工對(duì)周邊居民生活造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前7天完成．設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0千米，則可列方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0千米，要鋪設(shè)一條長(zhǎng)35千米的管道除以原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度SKIPIF1<0千米-要鋪設(shè)一條長(zhǎng)35千米的管道除以實(shí)際施工時(shí)，每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加20%=7，列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0千米，則可列方程為SKIPIF1<0．故選擇B．2．（2021·貴州初二月考）2020年2月22日深圳地鐵10號(hào)線(xiàn)華南城站試運(yùn)行，預(yù)計(jì)今年6月正式開(kāi)通．在地鐵的建設(shè)中，某段軌道的鋪設(shè)若由甲乙兩工程隊(duì)合做，12天可以完成，共需工程費(fèi)用27720元；已知乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的1.5倍，且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多250元．（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？（2）若工程管理部門(mén)決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要20天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需30天；（2）應(yīng)選甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要1.5x天，根據(jù)甲工程隊(duì)完成的工作量+乙工程隊(duì)完成的工作量＝整項(xiàng)工程，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲工程隊(duì)每天的費(fèi)用是y元，則乙工程隊(duì)每天的費(fèi)用是（y﹣250）元，根據(jù)甲、乙兩工程隊(duì)合作12天共需費(fèi)用27720元，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出兩隊(duì)每天所需費(fèi)用，再求出兩隊(duì)單獨(dú)完成這些工程所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要1.5x天，依題意，得：SKIPIF1<01，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要20天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需30天；（2）設(shè)甲工程隊(duì)每天的費(fèi)用是y元，則乙工程隊(duì)每天的費(fèi)用是（y﹣250）元，依題意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程隊(duì)單獨(dú)完成共需要費(fèi)用：1280×20＝25600（元），乙工程隊(duì)單獨(dú)完成共需要費(fèi)用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要的費(fèi)用低，應(yīng)選甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．3．（2022·江蘇揚(yáng)州）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？【答案】每個(gè)小組有學(xué)生10名．【分析】設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意，得SKIPIF1<0，解這個(gè)方程，得x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的根，∴每個(gè)小組有學(xué)生10名．4．（2022·重慶）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．（1）計(jì)劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊(duì)施工5天后，增加施工人員，每天比原來(lái)多修建20米，再施工2天完成任務(wù)，求甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面積擴(kuò)大，現(xiàn)還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務(wù)，決定派乙施工隊(duì)與甲施工隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作修建這條水渠，直至完工．甲施工隊(duì)按（1）中增加人員后的修建速度進(jìn)行施工．乙施工隊(duì)修建360米后，通過(guò)技術(shù)更新，每天比原來(lái)多修建20%，灌溉水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長(zhǎng)度恰好相同．求乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來(lái)每天修