中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專(zhuān)題14 直角三角形、等腰三角形、等邊三角形【考點(diǎn)精講】（解析版）

專(zhuān)題14直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等腰三角形（1）定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性質(zhì):①等腰三角形的兩腰相等;②等腰三角形的兩底角相等,即“等邊對(duì)等角”;③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”;④等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)軸是底邊的垂直平分線.

（3）判定:①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對(duì)等邊”.等邊三角形（1）定義:三邊相等的三角形是等邊三角形.（2）性質(zhì):①等邊三角形的三邊相等，三角相等,且都等于60°;②“三線合一”;③等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸.

（3）判定:①三條邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

直角三角形（1）性質(zhì):①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.（2）判定:有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形.考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時(shí)，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D【例2】（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在射線SKIPIF1<0上（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列命題中，假命題是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明PD是否是BC的垂直平分線，判斷即可．【詳解】因?yàn)锳B=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則A是真命題；因?yàn)镻B=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以AB=AC，則B是真命題；因?yàn)锳B=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則C是真命題；因?yàn)镻B=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相等，則D是假命題．故選：D．【例3】（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，在SKIPIF1<0的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接SKIPIF1<0，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．故共有3個(gè)點(diǎn)，故選：B．1．（2020?福建）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，∴CD＝5．故選：B．2．（2020?齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是．【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【詳解】①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時(shí)能組成三角形，∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，此時(shí)能組成三角形，所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．故答案為：10或11．3．如圖，點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝30°，當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，∠A的度數(shù)一定不可能是（）A．120° B．75° C．60° D．30°【分析】分三種情形討論即可：a、當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)．b、當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)．C、當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝75°，當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝120°，當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，∠A＝30°，綜上，∠A的度數(shù)為30°或75°或120°，一定不可能等于60°，故選：C．4．（2022·云南·中考真題）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，則△ABC的頂角度數(shù)是____．【答案】40°或100°【分析】分∠A為三角形頂角或底角兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：當(dāng)∠A為三角形頂角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A為三角形底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是180°-40°-40°=100°；故答案為：40°或100°．5．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中SKIPIF1<0，立柱SKIPIF1<0，且頂角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為_(kāi)______．【答案】30°##30度【分析】先由等邊對(duì)等角得到SKIPIF1<0，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：30°．6．如圖，直線PQ上有一點(diǎn)O，點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，連接OA，在直線PQ上找一點(diǎn)B，使得△AOB是等腰三角形，這樣的點(diǎn)B最多有個(gè)．【分析】分別以A、O為圓心AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，作AO的垂直平分線，即可在直線PQ上找一點(diǎn)B，使得△AOB是等腰三角形．【詳解】解：如圖所示，分別以A、O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與直線PQ的交點(diǎn)B1，B2，B3符合題意；作AO的垂直平分線，與直線PQ的交點(diǎn)B4符合題意，若B2，B3，B4不重合，則最多有4個(gè)．故答案為：4．7．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】6【分析】分類(lèi)討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時(shí)，△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時(shí)，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為6．故答案為6．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定【例4】如圖，等邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6可求BC=2，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求EF的長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵等邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6，∴SKIPIF1<0∵E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)，∴EF=SKIPIF1<0，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等邊三角形，∴剪下的△DEF的周長(zhǎng)是SKIPIF1<0×3=2．故選：B．【例5】（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在橫線上____填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一）．（1）等邊三角形與全等三角形的結(jié)合運(yùn)用;（2）等邊三角形與含30°角的直角三角形的結(jié)合運(yùn)用.1．如圖，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是中線，延長(zhǎng)SKIPIF1<0至E，使SKIPIF1<0，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，又BD是AC上的中線，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解決問(wèn)題．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中線，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正確．故選：D．2．如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)在同一直線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等邊三角形，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說(shuō)法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說(shuō)法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴SKIPIF1<0，∴CG=CH，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴③的說(shuō)法是正確的；無(wú)法證明△BPO≌△EDO．∴④的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；故答案為①②③，故選B．3．下列條件不能得到等邊三角形的是()A．有兩個(gè)內(nèi)角是SKIPIF1<0的三角形 B．有一個(gè)角是SKIPIF1<0的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有兩個(gè)角相等的等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的定義可知：滿足三邊相等、有一個(gè)角為60°且兩邊相等、有兩個(gè)內(nèi)角為60°這三個(gè)條件中的任意一個(gè)條件即為等邊三角形，根據(jù)這個(gè)定義進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可得到答案.【詳解】A、有兩個(gè)內(nèi)角是60°，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，可知另一個(gè)角也是60°，故該三角形為等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；B、有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；C、腰和底相等的等腰三角形，即三邊都相等的三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；D、等腰三角形中兩個(gè)底角是相等的，故不能判定該三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故答案為D.4．（2021·廣東）如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0（1）尺規(guī)作圖：作SKIPIF1<0的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）所作的圖中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等邊三角形．【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)基本作圖—角平分線作法，作出SKIPIF1<0的平分線AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出SKIPIF1<0，從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而由有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為等邊三角形．5．（2021·江蘇連云港市）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖1，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；（2）SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（3）SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（4）正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為3，E是邊SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形SKIPIF1<0，其中點(diǎn)F、G都在直線SKIPIF1<0上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0即可；（2）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在A處時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可得點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可求點(diǎn)SKIPIF1<0所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長(zhǎng)，設(shè)OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為SKIPIF1<0長(zhǎng)=SKIPIF1<0，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為SKIPIF1<0的長(zhǎng)SKIPIF1<0．【詳解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在A處時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．∴點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，∴點(diǎn)SKIPIF1<0所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長(zhǎng)，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為SKIPIF1<0長(zhǎng)=SKIPIF1<0，點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長(zhǎng)為直徑的弧SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為SKIPIF1<0的長(zhǎng)度，∵點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)圓周的四分之一，∴點(diǎn)H也運(yùn)動(dòng)圓周的四分一，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為SKIPIF1<0的長(zhǎng)=SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．考點(diǎn)3：直角三角形的性質(zhì)【例6】（2022·廣西賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故選：A．【例7】（2022·湖南永州）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=SKIPIF1<0，故選：C．1．（2022·廣西）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為SKIPIF1<0，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【分析】分情況討論，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】如圖，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如圖，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C．2．如圖，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)P是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，作等腰SKIPIF1<0，下列結(jié)論：①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中正確結(jié)論有是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】連結(jié)AD，由等腰SKIPIF1<0，可得AC=BC，等腰SKIPIF1<0，可得CD=CP，由余角性質(zhì)可∠DCA=∠PCB，可證△ADC≌△BPC（SAS）SKIPIF1<0可判斷①，由勾股定理DP=SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可證△ADP為等腰直角三角形，可判斷②，由PB與PD可求BD=2SKIPIF1<0，由勾股定理AB=SKIPIF1<0，可判斷③，由面積SKIPIF1<0可判斷④即可【詳解】連結(jié)AD，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴AC=BC，∵SKIPIF1<0是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，在△ADC和△BPC中，AC=BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴SKIPIF1<0，①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為SKIPIF1<0正確，在Rt△DCP中，由勾股定理DP=SKIPIF1<0，在△ADP中，SKIPIF1<0，∴△ADP為等腰直角三角形，∴AD⊥DP，②SKIPIF1<0正確；BD=BP+PD=2SKIPIF1<0，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB=SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0不正確；SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0不正確．故選擇：C．3．（2021·河南商丘市·八年級(jí)期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)F，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系是_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先利用同角的余角相等得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，再通過(guò)證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，再利用三角形內(nèi)角和得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，最后利用角的和差即可得到答案，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【詳解】證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．4．（2020·南通市通州區(qū)平潮初級(jí)中學(xué)初二期中）如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=．【答案】2．【解析】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°．∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．5．（2022·貴州遵義）如圖，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0的值最小時(shí)，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，證明SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖1所示，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，此時(shí)如圖2所示，SKIPIF1<0在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．圖1

圖2考點(diǎn)4：勾股定理及其逆定理【例8】（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，沿SKIPIF1<0方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線SKIPIF1<0上湖的另一邊的SKIPIF1<0處同時(shí)施工．取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離是_________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖所示：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理即可求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則∠BEC=∠DEC=90°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∠BCE=90°-30°=60°，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∠ECD=45°=∠D，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【例9】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）．A．100 B．200 C．300 D．400【答案】C【分析】根據(jù)題意SKIPIF1<0，那么AB就為斜邊，則根據(jù)勾股定理可得：SKIPIF1<0，那么原式則為SKIPIF1<0，再將AB的值代入即可求出答案．【詳解】解：∵在SKIPIF1<0中，且SKIPIF1<0，∴AB為SKIPIF1<0的斜邊，∴根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．（1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng).（2）已知直角三角形的一邊長(zhǎng)，求另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系.（3）用于證明平方關(guān)系的問(wèn)題.1．（2022·貴州遵義）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，進(jìn)而等面積法即可求解．【詳解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<