專題12 角、相交線與平行線（6大考點）（解析版）

第四部分三角形

專題12角、相交線與平行線（6大考點）

核心考點一直線和線段

核心考點二角與角平分線

核心考點三相交線

核心考點

核心考點四平行線的判定

核心考點五利用平行線求角度或證明

核心考點六命題

新題速遞

核心考點一直線和線段

例1（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，

AB＝3a，這三點的位置關(guān)系是（）

A．點A在B、C兩點之間B．點B在A、C兩點之間

C．點C在A、B兩點之間D．無法確定

【答案】A

【分析】分別對每種情況進(jìn)行討論，看a的值是否滿足條件再進(jìn)行判斷．

【詳解】解：①當(dāng)點A在B、C兩點之間，則滿足BCACAB，

即a42a13a，

3

解得：a，符合題意，故選項A正確；

4

②點B在A、C兩點之間，則滿足ACBCAB，

即2a1a43a，

3

解得：a，不符合題意，故選項B錯誤；

2

③點C在A、B兩點之間，則滿足ABBCAC，

即3aa42a1，

解得：a無解，不符合題意，故選項C錯誤；

故選項D錯誤；

第1頁共68頁.

故選：A．

【點睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對應(yīng)的式子是解本題的關(guān)

鍵．

例2（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重

合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長

為_________．

【答案】23

3

3

【分析】先求解AB=3,AD=,再利用線段的和差可得答案．

3

【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15-12=3,

A60,ABC90,

BC3

\AB===3,

tan60°3

DE13

同理：AD===,

tan60°33

323

\BD=AB-AD=3-=,

33

故答案為：23

3

【點睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”

是解本題的關(guān)鍵．

例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC和DEF，點E，F(xiàn)在直線BC上，ABDF，

AD，BF．如圖①，易證：BCBEBF．請解答下列問題：

第2頁共68頁.

(1)如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；

(2)請選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；

若，，，，則，．

(3)AB6CE2F60SABC123BC______BF______

【答案】(1)圖②：BCBEBF；圖③：BEBCBF

(2)證明見解析

(3)8，14或18

【分析】（1）先判斷兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；

（2）先證兩個三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；

（3）過點A作△ABC的高AG，求出AG的長，再根據(jù)三角形的面積求出BC的長，進(jìn)而求出BF即可．

【詳解】（1）解：圖②：BCBEBF．

圖③：BEBCBF．

（2）解：圖②中

在ABC和△DFE中，

ABDF

∵AD，

BF

∴ABC≌△DFE，

∴BC=FE，

∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，

即BCBEBF．

或圖③中，BEBCBF

在ABC和△DFE中，

ABDF

∵AD，

ABCDFE

∴ABC≌△DFE，

∴BC=FE，

BEBFEF，

BEBCBFEFBCBFBCBCBF

第3頁共68頁.

即BEBCBF．

（3）解：過點A作AG⊥BC于G，

∵ABC≌△DFE，

∴∠B=∠F=60°，

在Rt△ABG中，

∵AB=6，∠B=60°，

∴AG=AB·sinB=6×sin60°=33，

又

SABC123

1

∴BCAG123

2

∴BC=8，

又∵CE2，

∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，

故答案為：8，14或18．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差，三角形的面積，解直角三角形，解題關(guān)鍵是結(jié)

合圖形找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

直線由無數(shù)個點構(gòu)成，點動成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延伸，

長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數(shù)條對稱軸，對稱軸為所有與它垂直的直線（有無數(shù)條）。在平面上過不重合的兩點有且只有一

條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數(shù)條類似直線。

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬于

基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。

線段指直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）[1]，有別于直線、射線

第4頁共68頁.

【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在下列說法中，正確的有（）

①兩點確定一條直線；

②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；

④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過一點有且只有一條直線和已知直線垂直．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，平行線公理，垂線的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．

【詳解】解：①兩點確定一條直線，正確；

②應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；

③應(yīng)為在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故本小題錯誤；

④平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；

⑤應(yīng)為在同一個平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，故本小題錯誤；

綜上所述，說法正確的有①④共2個．

故選B．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，平行公理以及垂線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)

鍵．

【變式2】（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中AB3，AD4，點E在邊AD上，AE：ED1:3，

動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到B停止，過點E作EF垂直PE交射線BC于點F，如果M是線段EF的中

點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（）

A．5B．5.5C．4D．4.5

【答案】D

第5頁共68頁.

【分析】如圖，當(dāng)P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當(dāng)點P與B重合時，點F與G重合，

點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN．求出HN的長即可解決問題．

【詳解】解：如圖，連接EB，過點E作EKAE交BC于點K，過點E作EGBE交BC于點G，點H,N

分別為EK,EG中點，并連接HN，則當(dāng)P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當(dāng)點P與B重

合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN．

AE：ED1:3，AD4，

AE1，

AB3，

1

tanABE，

3

BEEG，

EBGG90，

ABEEBG90，

1

GABE，tanG，

3

EKAB3，

EK3

KG9

tanG1，

3

點H,N分別為EK,EG中點，

1

HNKG4.5，

2

故選：D．

【點睛】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點

M的運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡．

【變式3】（2021·廣西柳州·統(tǒng)考一模）建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉

一條直的參照線，用到的數(shù)學(xué)知識是______．

【答案】兩點確定一條直線

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，即可求解．

第6頁共68頁.

【詳解】解：根據(jù)題意得：用到的數(shù)學(xué)知識是兩點確定一條直線．

故答案為：兩點確定一條直線

【點睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握兩點確定一條直線是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2021·甘肅·模擬預(yù)測）定義：數(shù)軸上給定兩點A、B以及一條線段PQ，當(dāng)線段AB的中點在線

段PQ上時（包含點P、Q），就稱點A與點B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ，若A、P、Q三點在數(shù)軸上的位置

如圖所示，點A與點B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ．則點B表示的數(shù)x的取值范圍是____．

【答案】1≤x≤5##5x1

【分析】設(shè)點A和點B的中點為C，根據(jù)題意分點C與點P重合和點C與點Q重合兩種情況討論，分別求

出點B表示的數(shù)即可求解．

【詳解】解：設(shè)點A和點B的中點為C，由題意得：

①當(dāng)點C剛好與點P重合時，

則AC＝BC＝0﹣（﹣1）＝1，

故點B表示的數(shù)為：x＝1；

②當(dāng)點C剛好與點Q重合時，

則AC＝BC＝2﹣（﹣1）＝3，

故點B表示的數(shù)為：x＝5，

綜上所述，點B表示的數(shù)的取值范圍是：1≤x≤5．

故答案為：1≤x≤5．

【點睛】此題考查了數(shù)軸上點的表示方法以及線段中點的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的表示方

法以及線段中點的知識點．

【變式5】（2020·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC,BC的中點．

(1)若AC9cm,CB6cm，求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點，滿足ACCBacm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你

的答案．

(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足ACBCbcm，M、N分別為AC,BC的中點，你能猜想MN的長度

第7頁共68頁.

嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

【答案】(1)7.5cm

1

(2)MNacm

2

1

(3)MNb，圖形見解析；結(jié)論理由見解析

2

11

【分析】（1）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解；

222

11

（2）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解；

222

11

（3）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解．

222

【詳解】（1）解∶∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點，

11

∴MC=AC,CN=BC，

22

∵AC9cm,CB6cm，

1111

∴MNMCCNACBCACBC967.5cm；

2222

（2）解∶∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點，

11

∴MC=AC,CN=BC，

22

∵ACCBacm，

1111

∴MNMCCNACBCACBCacm；

2222

1

（3）解∶MNb，理由如下∶

2

如圖，

∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點，

11

∴MC=AC,CN=BC，

22

∵ACBCbcm，

第8頁共68頁.

1111

∴MNMCCNACBCACBCbcm．

2222

【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

核心考點二角與角平分線

例1（2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD

與AB平行，當(dāng)ABM40時，DCN的度數(shù)為（）

A．40B．50C．60D．80

【答案】B

【分析】過點B作BEOM，過點C作CEON，BE與CE相交于點E；根據(jù)余角性質(zhì)計算得CBE；根

據(jù)平行線性質(zhì)，得BCD，結(jié)合角平分線性質(zhì)，計算得DCE；再根據(jù)余角性質(zhì)計算，即可得到答案．

【詳解】如下圖，過點B作BEOM，過點C作CEON，BE與CE相交于點E

∵ABM40，CBEABE

∴CBEABE90ABM50

∴ABCABECBE100

∵CD與AB平行

∴BCD180ABC80

第9頁共68頁.

∵BCEDCE，BCEDCEBCD

1

∴BCEDCEBCD40

2

∴DCN90DCE50

故選：B．

【點睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而

完成求解．

例2（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，

則∠2的度數(shù)是___________．

【答案】5328

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得23,34，根據(jù)等量等量代換得34，進(jìn)而根據(jù)鄰補角性質(zhì)即可

求解．

【詳解】解：如圖

l1∥l2，l2∥l3，

23，34，

24，

∠1＝12632，

241801263217960126325328，

第10頁共68頁.

故答案為：5328．

【點睛】本題考查了鄰補角，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．

(1)求證：EBDEDB．

(2)當(dāng)ABAC時，請判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)見解析

(2)相等，見解析

【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得ADEAED，則AD=AE，從而有CD=BE，由(1)得，EBDEDB，

可知BE=DE，等量代換即可．

【詳解】（1）證明：∵BD是ABC的角平分線，

∴CBDEBD．

∵DE∥BC，

∴CBDEDB，

∴EBDEDB．

（2）CDED．理由如下：

∵ABAC，

∴CABC．

∵DE∥BC，

∴ADEC,AEDABC，

∴ADEAED，

∴ADAE，

第11頁共68頁.

∴ACADABAE，即CDBE．

由（1）得EBDEDB，

∴BEED，

∴CDED．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平

行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．

角在幾何學(xué)中，是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的邊，它

們的公共端點叫做角的頂點。一般的角會假設(shè)在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以

定義角。角在幾何學(xué)和三角學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的

角平分線。

注：角平分線類型的題目，輔助線一般都是過角平分線上的向兩邊作垂線。

【變式1】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知a∥b，直角三角板的直角頂點在直線a上，若130，

則2等于（）

A．70B．60C．50D．40

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到3與1互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知2的度

數(shù)．

【詳解】解：如圖，

第12頁共68頁.

∵直角三角板的直角頂點在直線a上，130

∴3903060

∵a∥b，

∴2360

故選：B．

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

【變式2】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的

中垂線，直線m為ABC的角平分線，l與m相交于P點．若A60，DACP=24°，則ABP的度數(shù)是

（）

A．24B．30C．32D．36

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線定義求出ABPCBP，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BPCP，求出

CBPBCP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3ABP2460180，求出方程的解即可．

【詳解】解：BP平分ABC，

ABPCBP，

直線l是線段BC的垂直平分線，

BPCP，

CBPBCP，

ABPCBPBCP，

AACBABC180，A60，ACP24，

第13頁共68頁.

3ABP2460180，

解得：ABP32，故C正確．

故選：C．

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能

求出ABPCBPBCP是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

【變式3】（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知BAC60，AD是角平分線且AD20，作AD的垂直

平分線交AC于點F，作DEAC，則DEF的周長為______．

【答案】10103

【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE、根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、

三角形的周長公式計算，得到答案．

【詳解】解：∵BAC60，AD是角平分線，

∴DAE30，

在RtDAE中，AD20,DAE30，

1

∴DEAD10，

2

由勾股定理得：AEAD2DE2103，

∵AD的垂直平分線交AC于點F，

∴FAFD，

∴DEF的垂直DEEFFDDEEFFADEAE10103，

故答案為：10103．

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上

的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·四川眉山·模擬預(yù)測）如圖，AB8，AC7，PB、PC分別平分B、C，DE∥BC，

則VADE的周長是______．

第14頁共68頁.

【答案】15

【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△BDP和△CEP是等腰三角形，再由等腰三角形的性

質(zhì)得BDPD，CEEP，則VADE的周長ABAC15．

【詳解】解：PB平分ABC，PC平分ACB，

DBPPBC，ECPPCB，

DE//BC，

DPBPBC，EPCPCB，

DBPDPB，ECPEPC，

BDPD，CEEP(等角對等邊)，

VADE的周長ADDPPEAEADBDCEAEABAC8715．

故答案為：15．

【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注

意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．

【變式5】（2022·浙江紹興·一模）（1）問題背景

如圖①，RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線

BD于E，C△E交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是________．

（2）類比探索

在（1）中，如果把BD改為ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還

成立嗎？若成立，請寫出證明△過程；若不成立，請說明理由．

（3）拓展延伸

1

在（2）中，如果ABAC，其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為________．

2

第15頁共68頁.

【答案】（1）問題背景：BD=2CE（2）類比探索：結(jié)論BD=2CE仍然成立，證明見解析（3）拓展延伸：

BD=CE

【分析】（1）根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△BME△BCE（ASA），CE=ME，結(jié)合圖形

得出∠ADB=∠M，sin∠ADB=sin∠M，再由正弦函數(shù)證明即可；

（2）根據(jù)題意，證明方法同（1）類似，證明即可；

ABAC

（3）根據(jù)②得，將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果．

BDCM

【詳解】（1）解：∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠CBD，

在△BME和△BCE中，

ABDCBD

BEBE，

BEMBEC

∴△BME△BCE（ASA），

∴CE=ME，

∵CE⊥BD，∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，

∴∠ADB=∠M，

∴sin∠ADB=sin∠M，

ABAC

即，

BDCM

∵AB=AC，

∴BD=CM，

∴BD=2CE；

（2）結(jié)論BD=2CE仍然成立．

第16頁共68頁.

證明：∵BD是∠ABF的平分線，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3，∠2=∠4，

∴∠3=∠4，

在△CBE和△MBE中，

34

BEBE，

CEBMEB90

∴△CBE△MBE（ASA），

∴CE=ME，

∴CM=2CE，

∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．

∴∠D=∠M，

∴sin∠D=sin∠M，

ABAC

∴，

BDCM

∵AB=AC，

∴BD=CM=2CE；

ABAC

（3）解：同（2）可得，CE=ME，

BDCM

1

∵ABAC，

2

1

∴BDCM，

2

∴BD=CE．

第17頁共68頁.

故答案為：BD=CE．

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用，角平分線的計算等，理解題意，綜合

運用這些知識點是解題關(guān)鍵．

核心考點三相交線

例1（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，

則∠2的度數(shù)為（）

A．26°B．36°C．44°D．54°

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義可得COE90，根據(jù)平角的定義即可求解．

【詳解】解：EO⊥CD，

COE90，

1COE2180，

2180905436．

故選：B．

【點睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

例2（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與CD相交于點O，OE是AOC的平分線，且OC恰好

平分EOB，則AOD_______度．

第18頁共68頁.

【答案】60

【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得COB60，再根據(jù)對頂角相等即可得．

【詳解】解：設(shè)AOC2x，

OE是AOC的平分線，

1

AOEEOCAOCx，

2

OC平分EOB，

COBEOCx，

又AOEEOCCOB180，

xxx180，

解得x60，即COB60，

由對頂角相等得：AODCOB60，

故答案為：60．

【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．

例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點，且BEBC，

過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由

∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．

【詳解】證明：∵BEBC

第19頁共68頁.

∴∠C=∠BEC，

∵∠BEC=∠AED，

∴∠AED=∠C，

∵AD⊥BD，

∴∠D=90°，

∵ABC90，

∴∠D=∠ABC，

∴△ADE∽△ABC．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵．

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個公共點

時，稱這兩條直線相交。

相交線會形成三線八角

【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，

則∠COE的度數(shù)是（）

A．45°B．70°C．55°D．110°

【答案】C

1

【分析】根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠COB=110°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)課可得∠COE=∠COB，進(jìn)而得到

2

答案．

【詳解】解：∵∠BOD=70°，

第20頁共68頁.

∴∠COB=110°，

∵OE平分∠COB，

1

∴∠COE=∠COB=55°，

2

故選：C．

【點睛】此題主要考查了對頂角，鄰補角，關(guān)鍵是掌握鄰補角互補．

【變式2】（2023·山東泰安·校考一模）如圖，等邊ABC的邊長為4，點D是邊AC上的一動點，連接BD，

以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（）

A．1B．2C．2D．221

【答案】B

【分析】過點B作BHAC于H點，作射線HE，可證點B，點D，點H，點E四點共圓，可得

BHEBDE45，則點E在AHB的角平分線上運動，即當(dāng)AEEH時，AE的長度有最小值，由直角

三角形的性質(zhì)可求解．

【詳解】解：如圖，過點B作BHAC于H點，作射線HE，

ABC是等邊三角形，BHAC，

AH2CH，

BEDBHD90，

點B，點D，點H，點E四點共圓，

BHEBDE45，

點E在AHB的角平分線上運動，

第21頁共68頁.

當(dāng)AEEH時，AE的長度有最小值，

AHE45，

AH2AE2，

AE的最小值為2，

故選：B．

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．

【變式3】（2021·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在ABC中，BAC45，ABAC4，P為AB邊上一

動點，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的最小值為__．

【答案】22

【分析】過C作CDAB于D，依據(jù)ACD是等腰直角三角形，即可得出CDAD22，依據(jù)AP∥CQ，

即可得到當(dāng)PQAP時，PQ的最小值等于CD的長，進(jìn)而得到答案．

【詳解】解：如圖所示，過C作CDAB于D，

BAC45，ABAC4，

ACD是等腰直角三角形，

CDAD22，

四邊形PAQC是平行四邊形，

AP∥CQ，

當(dāng)PQAP時，PQ的最小值等于CD的長，

對角線PQ的最小值為22，

故答案為：22．

第22頁共68頁.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，點P是對角線

AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．

【答案】6

1

【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進(jìn)而得出PA+PD最小值，進(jìn)而得出答案．

2

【詳解】過點A作∠CAN=30°，過點D作DM⊥AN于點M，交AC于點P，

∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，

23

∴tan∠CAB=3，

2

∴∠CAB=60°，

則∠DAC=30°，

1

∵PA+2PD=2（PA+PD），

2

13

PAPDPMPDDMADsin60233，

22

1

此時PA+PD最小，

2

∴PA+2PD的最小值是2×3=6．

故答案為：6．

第23頁共68頁.

【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．

【變式5】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BCD130，BE平分ABC

交AD于點E，交CD的延長線于點F．

(1)求ABE的大?。?/p>

(2)若ADC48，求DEF的大小．

【答案】(1)25°

(2)23°

【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根據(jù)解平分線的定義求解即可；

∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

（2）先由平行線的性質(zhì)求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由對頂角性質(zhì)得解．

【詳解】（1）解：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，

∵BE平分ABC

11

∴∠ABE=∠ABC=50=25°；

22

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，

∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，

又由（1）知：∠ABE=25°，

第24頁共68頁.

∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，

∴∠DEF=∠AEB=23°．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

核心考點四平行線的判定

例1（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，1265,335，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．AB//CDB．B30C．C2EFCD．CGFG

【答案】C

【分析】由12可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對B進(jìn)行判斷；求出∠C，根據(jù)大角對大邊，

小角對小邊可對D進(jìn)行判斷；求出C，EFC可對C進(jìn)行判斷．

【詳解】1265，

AB//CD，故選項A正確；

335，

EFB35，

又1EFBB，

B1EFB653530，故選項B正確；

AB//CD，

CB30，

3530，

3C

CGFG，故選項D正確；

335，EFC3180

EF1C18035145，

第25頁共68頁.

而C2306595145

C2EFC，故選項C錯誤．

故選C．

【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此

題的關(guān)鍵．

例2（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，

∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)___°．

【答案】20

【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出當(dāng)∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋轉(zhuǎn)角∠BGN的度數(shù)

即可得出答案．

【詳解】解：過點G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，

∴MN//CD，

∵∠EGB＝100°，

∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，

∴至少要旋轉(zhuǎn)20°．

【點睛】本題考查了平行線的判定，以及圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．

例3（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到DBE，點C的對應(yīng)

點E恰好落在AB的延長線上，連接AD．

（1）求證：BC//AD；

第26頁共68頁.

（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．

5

【答案】（1）見解析；（2）

3

【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則可證DAB60，即CBEDAB,再根

據(jù)平行線的判定證明即可．

（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解．

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：ABCDBE,ABDCBE60

ABBD,ABD是等邊三角形

所以DAB60

CBEDAB,

∴BC//AD；

（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，

6046015

所以A，C兩點經(jīng)過的路徑長之和為．

1801803

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握

這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關(guān)鍵．

平行線判定的五種方法：

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

1.同位角相等，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

2.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

第27頁共68頁.

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。

也可以簡單的說成：

3.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

4、在同一平面內(nèi)，兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

5、兩條直線同時平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；

【變式1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，直線a、b被c、d所截，下列條件中能說明a∥b的

是（）

A．12B．24180C．3=4D．14180

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．

【詳解】34，

∴a∥b（同位角相等，兩直線平行），

故選：C．

【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用．

【變式2】（2021·福建廈門·?？级＃┤鐖D，已知AOB，按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點，以

點O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D；②連接CD，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑

作弧，交PQ于點M、N；③連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

第28頁共68頁.

A．COMCODB．點M與點D關(guān)于直線OA對稱

C．若AOB20，則2OMMND．MN//CD

【答案】C

【分析】根據(jù)等弧所對圓周角相等可以判斷A；根據(jù)平行線的判定可以判斷D；根據(jù)CMCD，OMOD，

可得OA垂直平分MD，可以判斷B；根據(jù)AOBAOMBON20，得MON60，由OMON，可

得OMN為等邊三角形，進(jìn)而可以判斷C．

【詳解】解：由作法得CMCD，

CMCD，

COMCOD，所以A選項的結(jié)論正確；

連接MD，

MCDN，

DMNMDC，

CD//MN，所以D選項的結(jié)論正確；

QCMCD，OMOD，

OA垂直平分MD，

點M與點D關(guān)于OA對稱，所以B選項的結(jié)論正確；

第29頁共68頁.

AOBAOMBON20，

MON60，

OMON，

OMN為等邊三角形，

OMMN，所以C選項的結(jié)論錯誤．

故選：C．

【點睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾

何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性

質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理．

【變式3】（2022·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將木條a，b與c釘在一起，250，若要使木條a與b

平行，則1的度數(shù)應(yīng)為______．

【答案】50°##50度

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，求出∠1的度數(shù)．

【詳解】解：∵∠1=∠2時，a∥b，

∴若要使木條a與b平行，∠1=∠2=50°，

故答案為：50°．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記平行線的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2021·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，即

可得到a//b．請你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫圖的一個依據(jù)．真命題為：①連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中，垂線段最短；②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行（選自人教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第14頁例）；③在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅

有一條直線垂直于已知直線；④經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．”這個依據(jù)是

__________．（只需填序號）

第30頁共68頁.

【答案】②

【分析】根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．

【詳解】解：由題意：a⊥AB，b⊥AB，

∴a//b（在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行），

故答案為：②．

【點睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．

【變式5】（2023·湖北武漢·校考一模）如圖，點A，B，C，D在一條直線上，CE與BF交于點G，AFBC，

CE∥DF，E50．

(1)求證：AE∥BF；

(2)求F的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

(2)50

【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AE∥BF；

（2）根據(jù)AE∥BF可得EBGC，根據(jù)CE∥DF可得FBGC，因為E50，根據(jù)等量代換即

可求出F50．

【詳解】（1）證明：AFBC，

AE∥BF；

（2）解：AE∥BF，CE∥DF，E50，

EBGC50，F(xiàn)BGC，

F50．

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

第31頁共68頁.

核心考點五利用平行線求角度或證明

例1（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線ab，截線c，d相交成30°角，114633，則2的度數(shù)

是（）

A．6327B．6427C．6433D．6333

【答案】A

【分析】由鄰補角的定義可求得3＝3327，再由平行線的性質(zhì)可得4＝3＝3327，利用三角形的外角

性質(zhì)即可求∠2．

【詳解】解：如圖，

∵1＝14633，

∴3＝1801＝3327，

∵ab，

∴4＝3＝3327，

∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，

∴2＝3327＋30＝6327，故A正確．

故選：A．

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線a∥b，AOB的邊OB在直線b上，AOB55，將AOB繞點

第32頁共68頁.

△

O順時針旋轉(zhuǎn)75至A1OB1，邊A1O交直線a于點C，則1______．

【答案】50

∠∠

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BOB1AOA175，再由平角的定義求出A1OD的度數(shù)，即可利用平

行線的性質(zhì)得到答案．

△

【詳解】解：將AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75至A1OB1，

∠∠

∴BOB1AOA175，

∵∠AOB=55°，

∠∠∠

∴A1OD180AOBAOA150，

ab，

1A1OD50，

故答案為：50．

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵．

例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.

第33頁共68頁.

(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；

(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

1

(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于CDAB，以FD為半徑

2

作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)2

(2)圖見詳解

(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解

CD2CD2

【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；

BD3CB5