專題16 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形

專題16銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其計(jì)算

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

核心考點(diǎn)四解直角三角形及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)五三角函數(shù)的綜合

新題速遞

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其運(yùn)算

例1（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，若將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B的位置，連接BB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BB，交BB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為

（）

24

A．31B．232C．3D．3

33

例2．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當(dāng)45，30時(shí)，

232162

sin4530，則sin15的值為_(kāi)______．

22224

第1頁(yè)共23頁(yè).

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過(guò)程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫(xiě)在橫線上，

并依次標(biāo)注序號(hào)：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．

21x23x

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知識(shí)點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值

1.圖表記憶

三角函數(shù)圖形記憶

30°45°60°

123

sin

222

1

cos32

222

3

tan13

3

2.規(guī)律記憶

第2頁(yè)共23頁(yè).

30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，2，3；

30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。

【變式1】（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以點(diǎn)A為圓心、AB

長(zhǎng)為半徑的弧BE與DC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面

積是（）

88

A．63B．83C．633D．833

33

【變式2】（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖1，在ABC中，ABC60，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P

從ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿ABD的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．線段DP的長(zhǎng)度

y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則ABC的面積為（）

163

A．4B．43C．8D．

3

2

31

【變式3】（2020·四川自貢·校考一模）在ABC中，若sinAcosB0，A，B都是銳角，

22

則ABC是______三角形．

第3頁(yè)共23頁(yè).

【變式4】（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0，0)，

點(diǎn)B(23，2)．D是邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OB交OC于點(diǎn)E．將該紙片沿DE折疊，

得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′．當(dāng)點(diǎn)C′落在OB上時(shí)，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

1

【變式5】．（2021·新疆烏魯木齊·?？既＃┯?jì)算：()2tan452cos30|13|(20212021)0.

2

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

例1（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，AB6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC

相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，CDE18，則GFE的度數(shù)是

（）

A．50°B．48°C．45°D．36°

例2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．（結(jié)果保留π）

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例3（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，BC3CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且AECF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處．

（1）如圖1，當(dāng)EH與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PEPF；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，GH交AB于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；

（3）當(dāng)AB5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．

【變式1】（2022·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC

1

上一點(diǎn)，sinD=,則BC的長(zhǎng)為（）

2

79

A．63B．43C．3D．3

32

第5頁(yè)共23頁(yè).

【變式2】（2022·山東·統(tǒng)考二模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB1,BC3，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)BP，點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為C1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C1也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，

則線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積是（）

3333

A．B．C．D．2

42

【變式3】（2021·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組要測(cè)量塔的高度，在測(cè)量過(guò)程中，結(jié)

合圖形進(jìn)行了操作（如圖所示）．在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點(diǎn)向塔底B

走80m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?5°，那么塔AB的高為_(kāi)___________m（計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參

考數(shù)據(jù)：21.41，31.73）．

【變式4】．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，連結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)A作

ABx軸于點(diǎn)B，AB3，OB1，把ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后，得到A1B1O，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為

______．

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【變式5】（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島20

千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15的方向航行．

(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？

(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行106千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島

B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少．（結(jié)

果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)21.41,31.73,62.45）

核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

例1（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1Lcos，阻力臂L2lcos，

如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）

A．越來(lái)越小B．不變C．越來(lái)越大D．無(wú)法確定

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例2（2022·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD

上一點(diǎn)，若AC45，OE2，則AB的最大值為_(kāi)_________．

例3（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離BC4m．

（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m，滑梯最高處A在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為1m，

求滑梯的高AC；

（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ABC）不超過(guò)30°屬于安全范圍，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

1.三角函數(shù)值的變化規(guī)律

①當(dāng)角度A在0°—90°間變化時(shí)，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）

②當(dāng)角度A在0°—90°間變化時(shí)，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。

【變式1】（2020·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若090，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A．sin隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大

D．0<sin<1

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【變式2】．（2022·上?！ば？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（）

13

A．0sinAB．0cosA

22

3

C．tanA1D．1cotA3

3

【變式3】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為_(kāi)____，

寫(xiě)出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系__________．

【變式4】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)O平分BC，BC23，

點(diǎn)E、D分別在BA、CA上運(yùn)動(dòng)，且AECD，連接CE、BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)F23,1，連接PF，則PFC

度數(shù)的最大值為_(kāi)_________．

【變式5】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知ABC和射線BD上一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），

且點(diǎn)P到BA、BC的距離為PE、PF．

(1)若EBP40，F(xiàn)BP20，PBm，試比較PE、PF的大?。?/p>

(2)若EBP，F(xiàn)BP，，都是銳角，且．試判斷PE、PF的大小，并給出證明．

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核心考點(diǎn)四解直角三角形及其應(yīng)用

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每

次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形

的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖

l

1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)l6R，則63．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率則圓周率約為

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高

度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部

的俯角為60°，則旗桿的高度約為_(kāi)_______m．（參考數(shù)據(jù)：31.732，結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

例3（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民

4

樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD15m，斜坡的傾斜角為，cos．小文在C點(diǎn)處測(cè)

5

得樓頂端A的仰角為60，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．

(1)求C，D兩點(diǎn)的高度差；

(2)求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：31.7）

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在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已

知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。

1.靈活運(yùn)用邊角關(guān)系求邊與角;

2.若所求解的直角三角形“不可直接解”,應(yīng)注意設(shè)元,借助方程來(lái)解決;

3.如果圖形中沒(méi)有直角時(shí),要添加垂線將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.

【變式1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一把梯子AB斜靠在墻上，端點(diǎn)A離地面的高度AC長(zhǎng)

為1m時(shí)，ABC45．當(dāng)梯子底端點(diǎn)B沿水平方向向左移動(dòng)到點(diǎn)B，端點(diǎn)A沿墻豎直向上移動(dòng)到點(diǎn)A，

設(shè)ABC，則AA的長(zhǎng)可以表示為（）

A．2sinB．2sin1C．2cos1D．2tan1

【變式2】（2022·河北唐山·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)O為ABC的內(nèi)心，B=60，BMBN，點(diǎn)M，N分別

為AB，BC上的點(diǎn)，且OMON．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：MON120；乙：四邊形OMBN的

面積為定值；丙：當(dāng)MNBC時(shí)，△MON的周長(zhǎng)有最小值．則下列說(shuō)法正確的是（）

A．只有甲正確B．只有乙錯(cuò)誤

C．乙、丙都正確D．只有丙錯(cuò)誤

【變式3】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩幢完全一樣的房子如圖1，小聰與弟弟住在甲幢，為

測(cè)量對(duì)面的乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離，制定如下方案：兩幢房子截面圖如圖2，AB12m，小聰在

第11頁(yè)共23頁(yè).

離屋檐A處3m的點(diǎn)G處水平放置平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），弟弟在離點(diǎn)G水平距離3m的點(diǎn)H處

恰好在鏡子中看到乙幢屋頂N，此時(shí)測(cè)得弟弟眼睛與鏡面的豎直距離IH0.6m．下樓后，弟弟直立站在DE

處，測(cè)得地面點(diǎn)F與E，M，N在一條直線上，DE1.2m，F(xiàn)D2m，BF5m，則甲、乙兩幢間距

BC_________m，乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離為_(kāi)____________m．

【變式4】（2023·浙江金華·?？家荒＃┙鹑A新金婺大橋是華東第一的獨(dú)塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的

效果圖．2022年4月13日開(kāi)始主塔吊裝作業(yè)．如圖2，我們把吊裝過(guò)程抽象成如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：線段OP為

主塔，在離塔頂10米處有一個(gè)固定點(diǎn)Q(PQ10米)．在東西各拉一根鋼索QN和QM，已知MO等于214

米．吊裝時(shí)，通過(guò)鋼索QM牽拉，主塔OP由平躺橋面的位置，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與橋面垂直的位置．中午休息

時(shí)PON60，此時(shí)一名工作人員在離M6.4米的B處，在位于B點(diǎn)正上方的鋼索上A點(diǎn)處掛彩旗．AB正

好是他的身高1.6米．

（1）主塔OP的高度為_(kāi)____米，（精確到整數(shù)米）

（2）吊裝過(guò)程中，鋼索QN也始終處于拉直狀態(tài)，因受場(chǎng)地限制和安全需要，QN與水平橋面的最大張角

在37到53之間(即37QNM53)，ON的取值范圍是_____．（注：tan370.75，31.73）．

第12頁(yè)共23頁(yè).

【變式5】（2023·廣西河池·?？家荒＃┤鐖D，一艘漁船位于小島B的北偏東30方向，距離小島40nmile的

點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15的方向航行．

(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？

(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行206nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小

島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)到達(dá)事故地點(diǎn)的最短航程BC是多少nmile（結(jié)果保留根號(hào)）？

核心考點(diǎn)五三角函數(shù)的綜合

例1（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC

的延長(zhǎng)線上，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE4，OF6．則下列

185

結(jié)論：①GF2；②OD2OG；③tanCDE；④ODFOCF90；⑤點(diǎn)D到CF的距離為．其

25

中正確的結(jié)論是（）

A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤

第13頁(yè)共23頁(yè).

例2．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ABAC10，對(duì)角線AC、BD相交于

1

點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MPPB的最小值是______．

2

例3（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別為a，b，c．

ab

∵sinA，sinB

cc

ab

∴c，c

sinAsinB

ab

∴

sinAsinB

abc

(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．請(qǐng)?zhí)骄?，?/p>

sinAsinBsinC

之間的關(guān)系，并寫(xiě)出探究過(guò)程．

(2)解決問(wèn)題：如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，

∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．

第14頁(yè)共23頁(yè).

【變式1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，

3

若CF4，tanEFC，則折痕AE（）

4

A．45B．55C．8D．10

【變式2】（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，射線OM,ON互相垂直，OA8，點(diǎn)B位于射線OM的上方，

且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB5．將線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段AB，

若點(diǎn)B恰好落在射線ON上，則點(diǎn)A到射線ON的距離是（）

2413

A．B．C．4D．17

53

【變式3】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在RtABC中，C90，ACBC4．矩形DEFG的頂點(diǎn)

3

D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tanDEC，則矩形EDFG面積的最大值=______．

4

【變式4】（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢?/p>

定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．

(1)已知ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且C90．

①若A△60，則B______；

第15頁(yè)共23頁(yè).

②若A40，則B______；

【鞏固新知】

(2)如圖①，在Rt△ABC中，ACB90，AB6，BC2，點(diǎn)D在AC邊上，若△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”，

求CD的長(zhǎng)；

【解決問(wèn)題】

(3)如圖②，在四邊形ABCD中，CDCB，ABDBCD，AB5，BD8，且ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，

求△BCD的面積．

第16頁(yè)共23頁(yè).

【新題速遞】

1．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，那么下列結(jié)論正確的是（）

2222

A．tanAB．cotAC．sinAD．cosA

3333

2．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知為銳角，則msincos的值（）

A．m1?B．m1?C．m1?D．m1?

3．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們都知道蜂巢是很多個(gè)正六邊形組合來(lái)的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合

度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長(zhǎng)為6的正六邊形ABCDEF，若O

的內(nèi)接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長(zhǎng)為（）

A．12B．62C．63D．123

4．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)?？计谀┡d義市進(jìn)行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測(cè)某樓AB的高度，工程師在D得

用高1m的測(cè)角儀CD，測(cè)得樓頂端A的仰角為30，然后向樓前進(jìn)20m到達(dá)E，又測(cè)得樓頂端A的仰角為60，

樓AB的高為（）

A．1031B．2031C．531D．1531

5．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格

點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則tanADC的值為()

325213

A．B．C．D．

23313

第17頁(yè)共23頁(yè).

6．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，AD,BE是ABC的角平分線，如果

ABAC10,BC12，那么tanABE的值是（）

166

A．B．C．D．2

234

7．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊ABC中，CDAB，垂足為D，以AD，CD為鄰

邊作矩形ADCE，連接BE交CD邊于點(diǎn)F，則cosCBE的值為（）

5211

A．7B．7C．21D．21

147147

8．（2023秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，A,D兩點(diǎn)關(guān)于直

線BE對(duì)稱，連接DC并延長(zhǎng)交直線BE于F，連接AF，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AFCF的最大值是（）

A．6B．63C．43D．431

9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線MN與O相切于點(diǎn)M，MEEF且EF∥MN，則

cosE________．

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10．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則tanBAC的值為

__________．

11．（2023秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，C90，ACBC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接

BD，tanABD的值為_(kāi)_____．

12．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，

3

若CF4，tanEFC，則折痕AE______．

4

13．（2023秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，某施工方計(jì)劃把一座山的C，D兩點(diǎn)用隧道打通，并

利用北斗衛(wèi)星定位技術(shù)確定A，C，D三點(diǎn)在東西方向的同一條直線上．在隧道沒(méi)有打通之前，技術(shù)監(jiān)督

員李工每天需要駕車先從隧道口C點(diǎn)向正西行駛1km到達(dá)A點(diǎn)，然后再沿南偏東60方向行駛4km到達(dá)B點(diǎn)，

接著再沿北偏東45方向行駛一段路程才能到達(dá)隧道口D，則隧道CD的長(zhǎng)度為_(kāi)_____km．

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14．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，AB8，A60，點(diǎn)E為邊AD的

中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，把△AEF沿EF所在直線折疊，得到△AEF，連接AB，AC，

當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，線段AF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

15．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：33tan30382008．

16．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校安裝了紅外線體溫檢測(cè)儀（如圖1），該

設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測(cè)溫，其紅外線探測(cè)點(diǎn)O可以在垂直于地

面的支桿OP上下調(diào)節(jié)（如圖2），探測(cè)最大角（OBC）為58，探測(cè)最小角（OAC）為26.6，已知該

設(shè)備在支桿OP上下調(diào)節(jié)時(shí)，探測(cè)最大角及最小角始終保持不變．若要求測(cè)溫區(qū)域的寬度AB為2.53米，請(qǐng)

你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC．（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin580.85，cos580.53，

tan581.60，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）

第20頁(yè)共23頁(yè).

17．（2023秋·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)B，

E為AB上一點(diǎn)，且AEAC，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)D．

(1)求證：BCBD；

1

(2)若⊙O的半徑為5，tanBCE，求BD的長(zhǎng)．

3

18．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中ABCD，壩頂BC2m，

壩高CH5m，迎水坡AB的坡度為i1:1．

(1)求壩底AD的長(zhǎng)；

(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡坡角改

為30．求加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：3.14,21.41,31.73；結(jié)果精確

到0.1m3）

第21頁(yè)共23頁(yè).

19．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某校“趣味數(shù)學(xué)”社團(tuán)開(kāi)展了測(cè)量本

校旗桿高度的實(shí)踐活