專題29 一線三等角模型（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題29一線三等角模型

例1（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，BC90，P是BC上一

點(diǎn)，PAPD，APD90．

求證：ABCDBC．

ABCD

問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，B∠C45，P是BC上一點(diǎn)，PAPD，APD90．求

BC

的值．

例2（2021年·吉林長春·中考真題）在ABC中，ACB＝90o，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN

于D，BEMN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①ACD≌CEB；

②DE＝AD＋BE．

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE＝ADBE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，

并加以證明．

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例3（2020年·海南·中考真題）（1）嘗試探究：如圖①，在ABC中，BAC90，ABAC，AF是過

點(diǎn)A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；

DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為．

（2）類比延伸：如圖②，ABC90，BA=BC，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使PAB與ABC全等．直

接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．△

一線三等角是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形。這

個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或者鈍角。對(duì)于“一線三等角”，有的地區(qū)叫“K型圖”，也有的地區(qū)叫“M型

圖”。

“一線三等角”的起源

DE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn),從外到內(nèi)，從一般位置到特殊位置.

下面分幾種類型討論：

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一、直角形“一線三等角”——“一線三直角”

結(jié)論：△ADB∽△CEA

二、銳角形“一線三等角

結(jié)論：△ADB∽△CEA∽△CAB

三、鈍角形“一線三等角

結(jié)論：△ADB∽△CEA∽△CAB

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【變式1】（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC

上一點(diǎn)，且BP＝2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊

始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E．

(1)求證：△BPD∽△CEP；

(2)是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．

【變式2】（2022·河北唐山·唐山市第十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，拋物線yax2bx3與x軸交于A，B兩

點(diǎn)，其中A（－2，0），點(diǎn)D（4，3）為該拋物線上一點(diǎn)．

(1)B點(diǎn)坐標(biāo)為______；

(2)直線x=n交直線AD于點(diǎn)K，交拋物線于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在點(diǎn)K上方，連接PA、PD．

①請(qǐng)直接寫出線段PK長（用含n的代數(shù)式表示）

②求△PAD面積的最大值；

(3)將直線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l，若點(diǎn)Q是直線l上的點(diǎn)，且∠ADQ=45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q

坐標(biāo)______．

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【變式3】（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋

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物線y=-x22x交x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1，連接BC交y軸于點(diǎn)D．

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(1)如圖1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，點(diǎn)E在線段PG上，連接AE，過點(diǎn)E

作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

2

(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=AH，求

3

點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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【變式4】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸交于A2,0，B6,0兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為4,3．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mm0，過點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M．PM與直線l交于

點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且ADQ45，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【變式5】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，ABC中BC30，DEF30，且點(diǎn)E為邊BC的中

點(diǎn)．將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q，

連結(jié)PQ．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA上時(shí)，

①求證：BPE∽VCEQ；

②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

CQ

(2)當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求的值．

BP

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【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且BD4，

ABC60．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（）

A．43B．2C．4D．63

2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)

D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）

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A．3B．2C．D．

42

3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，ABC中，ABAC,BAC90．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BEl

于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFl于點(diǎn)F．若BE2,CF5，則EF__________．

4．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝﹣x2+4x上有一點(diǎn)B（1，3），點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的

對(duì)稱軸對(duì)稱．過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，

以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為_____．

5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的

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頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，若PQ等于72，則OQ的長等于

_____．

6．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，分別過點(diǎn)B，

C作過點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若BD4cm，CE3cm，求DE的長．

7．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：

如圖1，BADACBAED90，由12BAD180，2DAED180，可得1D；

BC

又因?yàn)锳CBAED90，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到______．我們把這個(gè)模型稱為“一線三等

AC

角”模型．

應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在ABC中，ABAC10，BC12，

點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且APDB．

①求證：△ABP∽△PCD；

②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長．

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8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在ABC中，ABBC．

（1）如圖①所示，直線NM過點(diǎn)B，AMMN于點(diǎn)M，CNMN于點(diǎn)N，且ABC90．求證：

MNAMCN．

（2）如圖②所示，直線MN過點(diǎn)B，AM交MN于點(diǎn)M，CN交MN于點(diǎn)N，且AMBABCBNC，

則MNAMCN是否成立？請(qǐng)說明理由．

9．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）問題背景：（1）如圖①，已知ABC中，BAC90，ABAC，直

線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：DE______+______．

（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在ABC中，ABAC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，

并且有BDAAECBAC，請(qǐng)求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在△ACB中，ACB90，ACBC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為6,3，

請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．

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10．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，

垂足分別為D，E，AD2.5cm，DE1.7cm．求BE的長”，請(qǐng)直接寫出此題答案：BE的長為________．

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在MAN的邊AM、AN上，ABAC，點(diǎn)E，F(xiàn)在MAN內(nèi)部的射

線AD上，且BEDCFDBAC．求證：ABE≌CAF．

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ABC中，ABAC，ABBC．點(diǎn)D在邊BC上，CD2BD，點(diǎn)E、F在

線段AD上，BEDCFDBAC．若ABC的面積為15，則ACF與BDE的面積之和為________．（直

接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）

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11．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)長春市第四十五中學(xué)?？计谥校┩ㄟ^對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”

模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

[模型呈現(xiàn)]如圖1，BAD90，ABAD，過點(diǎn)B作BCAC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E．求

證：BCAE．

[模型應(yīng)用]如圖2，AEAB且AEAB，BCCD且BCCD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為________________．

[深入探究]如圖3，BADCAE90，ABAD，ACAE，連接BC，DE，且BCAF于點(diǎn)F，DE

與直線AF交于點(diǎn)G．若BC21，AF12，則△ADG的面積為_____________．

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12．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）

(1)如圖（1），已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，

垂足分別為點(diǎn)D、E.證明△：DE=BD+CE．

(2)如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有

∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意△銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出

證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

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13．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）觀察理解：

如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，

求證：△AEC≌△CDB．

（2）理解應(yīng)用：

如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交

EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．

（3）類比探究：

①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；

②如圖4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至

DE，△AED的面積為．

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14．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E，在直線m上方

有ABAC，且滿足BDAAECBAC．

(1)如圖1，當(dāng)90時(shí)，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是____________；

(2)如圖2，當(dāng)0180時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明

理由；

(3)應(yīng)用：如圖3，在ABC中，BAC是鈍角，ABAC，BADCAE,BDAAECBAC，直線m

與CB的延長線交于點(diǎn)F，若BC3FB，ABC的面積是12，求FBD與△ACE的面積之和．

15．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥

直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA

＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F

為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，

求證：△DEF是等邊三角形．

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16．（2021秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）模型探究：

（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作ADED于

點(diǎn)D，過B作BEED于點(diǎn)E．求證：BECD；

模型應(yīng)用：

（2）已知直線l1:y2x4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線l2，如圖2，求直

線l2的函數(shù)表達(dá)式；

1

（3）如圖3，已知點(diǎn)A、B在直線yx4上，且AB42．若直線與y軸的交點(diǎn)為M，M為AB中點(diǎn)．試

2

判斷在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使得ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形．

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17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直

線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．

①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．

②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)

系．

（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若

不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明．

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18．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(a,0)、B(0,b)分別在坐

標(biāo)軸的正半軸上．

（1）如圖1，若a、b滿足(a4)2b30，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角ABC，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________；

（2）如圖2，若ab，點(diǎn)D是OA的延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰直

角△BDE，連接AE，求證：ABDAED；

（3）如圖3，設(shè)ABc，ABO的平分線過點(diǎn)D