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文檔簡介

模塊二常見模型專練

專題32幾何圖形中的最值問題(含隱圓)

最值問題一阿氏圓問題

例1(2020·廣西·中考真題)如圖,在RtABC中,AB=AC=4,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)P

1

是扇形AEF的上任意一點(diǎn),連接BP,CP,則BP+CP的最小值是_____.

EF2

【答案】17.

PTAP1

【分析】在AB上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PA,CT.證明PAT∽BAP,推出==,

PBAB2

11

推出PT=PB,推出PB+CP=CP+PT,根據(jù)PC+PT≥TC,求出CT即可解決問題.

22

【詳解】解:在AB上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PA,CT.

∵PA=2.AT=1,AB=4,

∴PA2=4AT?AB,

PAAB

∴=,

ATPA

∵∠PAT=∠PAB,

∴PAT∽BAP,

PTAP1

∴==,

PBAB2

1

∴PT=PB,

2

1

∴PB+CP=CP+PT,

2

第1頁共94頁.

∵PC+PT≥TC,

在RtACT中,

∵∠CAT=90°,AT=1,AC=4,

∴CT=AT2AC2=17,

1

∴PB+PC≥,

217

1

∴PB+PC的最小值為.

217

故答案為17.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,三角形的三邊關(guān)

系,圓的基本性質(zhì),掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

例2(2019·山東·統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣5x+5與x軸,y軸分別交于

A,C兩點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為B

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),四邊形AMBC

面積最大,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積;

1

(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn),連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),PC+PA的

2

值最小,請求出這個(gè)最小值,并說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣6x+5,B(5,0);(2)當(dāng)M(3,﹣4)時(shí),四邊形AMBC面積最大,最大面積

1

等于18;(3)PC+PA的最小值為,理由詳見解析.

241

【分析】(1)由直線y=﹣5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo),用待定系數(shù)法求拋物線解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo).

(2)從x軸把四邊形AMBC分成ABC與ABM;由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求ABC面積;設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為

△△△

第2頁共94頁.

m,過點(diǎn)M作x軸的垂線段MH,則能用m表示MH的長,進(jìn)而求ABM的面積,得到ABM面積與m

的二次函數(shù)關(guān)系式,且對應(yīng)的a值小于0,配方即求得m為何值時(shí)取△得最大值,進(jìn)而求點(diǎn)△M坐標(biāo)和四邊形

AMBC的面積最大值.

BDBP1

(3)作點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),可得BD=1,進(jìn)而有,再加上公共角∠PBD=∠ABP,根據(jù)兩

BPAB2

PD11

邊對應(yīng)成比例且夾角相等可證PBD∽△ABP,得等于相似比,進(jìn)而得PD=AP,所以當(dāng)C、P、D

PA22

1△

在同一直線上時(shí),PC+PA=PC+PD=CD最?。脙牲c(diǎn)間距離公式即求得CD的長.

2

【詳解】解:(1)直線y=﹣5x+5,x=0時(shí),y=5

∴C(0,5)

y=﹣5x+5=0時(shí),解得:x=1

∴A(1,0)

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)

1bc0b6

∴解得:

00c5c5

∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+5

2

當(dāng)y=x﹣6x+5=0時(shí),解得:x1=1,x2=5

∴B(5,0)

(2)如圖1,過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H

∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)

∴AB=5﹣1=4,OC=5

11

∴SABC=AB?OC=×4×5=10

22

∵點(diǎn)△M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)

∴設(shè)M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)

∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5

第3頁共94頁.

11222

∴SABM=AB?MH=×4(﹣m+6m﹣5)=﹣2m+12m﹣10=﹣2(m﹣3)+8

22

△22

∴S四邊形AMBC=SABC+SABM=10+[﹣2(m﹣3)+8]=﹣2(m﹣3)+18

∴當(dāng)m=3,即M△(3,﹣△4)時(shí),四邊形AMBC面積最大,最大面積等于18

(3)如圖2,在x軸上取點(diǎn)D(4,0),連接PD、CD

∴BD=5﹣4=1

∵AB=4,BP=2

BDBP1

BPAB2

∵∠PBD=∠ABP

∴△PBD∽△ABP

PDPD1

APBP2

1

∴PD=AP

2

1

∴PC+PA=PC+PD

2

1

∴當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí),PC+PA=PC+PD=CD最小

2

∵CD=OC2OD2524241

1

∴PC+PA的最小值為

241

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合,解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似三角形的判斷

與性質(zhì).

模型建立:已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合=k(k>0且k≠1)的點(diǎn)P會組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先

第4頁共94頁.

由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法:構(gòu)造三角形相似.

模型解讀:

如圖1所示,⊙O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在⊙O外,P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn),已知r=k·OB.連接PA、PB,

則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確定?

1:連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0(將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接),即連接OP、OB;

2:計(jì)算連接線段OP、OB長度;

3:計(jì)算兩線段長度的比值;

??

??=k

4:在OB上截取一點(diǎn)C,使得構(gòu)建母子型相似:

????

5:連接AC,與圓0交點(diǎn)為P,??即=A?C?線段長為PA+K*PB的最小值.

本題的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小,(如圖2)在線段OB上截取OC使OC=k·r,則可說明△BPO

與△PCO相似,即k·PB=PC.

∴本題求“PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值,即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最小(如圖3),

時(shí)AC線段長即所求最小值.

【變式1】(2022·全國·九年級專題練習(xí))如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,⊙B的半徑為2,點(diǎn)P是

1

⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PD﹣PC的最大值為_____.

2

第5頁共94頁.

【答案】5

11

【詳解】分析:由PD?PC=PD?PG≤DG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí),PD?PC的值最大,最大值為

22

DG=5.

詳解:在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,如圖,

PB2BC4

∵2,2,

BG1PB2

PBBC

∴,

BGPB

∵∠PBG=∠PBC,

∴△PBG∽△CBP,

PGBG1

∴,

PCPB2

1

∴PG=PC,

2

1

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí),PD?PC的值最大,最大值為DG=22=5.

243

故答案為5

點(diǎn)睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建相似三

角形解決問題,學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決,題目比較難,屬于中

第6頁共94頁.

考壓軸題.

【變式2】(2022·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心,

6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是________.

【答案】1210

2

【分析】如下圖,在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4,先證△DCE∽△ACD,將AD轉(zhuǎn)化為DE,從而求得

3

2

ADBD的最小距離,進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值.

3

【詳解】如下圖,在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

∵AC=9,CD=6,CE=4

CDAC

CECD

∵∠ECD=∠ACD

∴△DCE∽△ACD

EDDC6

ADAC9

2

∴ED=AD

3

在△EDB中,ED+DB≥EB

∴ED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

2

∴ADDBEB

3

在Rt△ECB中,EB=12242410

第7頁共94頁.

2

∴ADDB410

3

∴2AD+3DB=1210

故答案為:1210.

【點(diǎn)睛】本題考查求最值問題,解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCE∽△ACD.

【變式3】(2022秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖所示,ACB60,半徑為2的圓O內(nèi)切于ACB.P為

圓O上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于ACB的兩邊,垂足為M、N,則PM2PN的取值范圍

為___________.

【答案】623?PM2PN?623

【分析】根據(jù)題意,本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問題-“阿氏圓”模型,首先作MHNP于H,作MFBC于F,如圖

1

所示,通過代換,將PM2PN轉(zhuǎn)化為PNPMPNHPNH,得到當(dāng)MP與O相切時(shí),MF取得最

2

大值和最小值,分兩種情況,作出圖形,數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值,進(jìn)而得到取值范圍.

【詳解】解:作MHNP于H,作MFBC于F,如圖所示:

PMAC,PNCB,

PMCPNC90,

MPN360PMCPNCC120,

第8頁共94頁.

MPH180MPN60,

1

HPPMcosMPHPMcos60PM,

2

1

PNPMPNHPNH,

2

MFNH,

當(dāng)MP與O相切時(shí),MF取得最大和最小,

①連接OP,OG,OC,如圖1所示:

可得:四邊形OPMG是正方形,

MGOP2,

在RtCOG中,CGOGtan6023,

CMCGGM223,

在Rt△CMF中,MFCMsin6033,

1

HNMF33,即PM2PN2PMPN2HN623;

2

②連接OP,OG,OC,如圖2所示:

可得:四邊形OPMG是正方形,

MGOP2,

第9頁共94頁.

由上同理可知:在RtCOG中,CGOGtan6023,

CMCGGM232,

在Rt△CMF中,MFCMsin6033,

1

HNMF33,即PM2PN2PMPN2HN623,

2

623?PM2PN?623.

故答案為:623?PM2PN?623.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值模型-“阿氏圓”,難度較大,掌握解決動(dòng)點(diǎn)最值問題的方法,熟記相關(guān)幾何知識,

尤其是圓的相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4】(2021·全國·九年級專題練習(xí))如圖1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的

半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,BP,求:

1

①APBP,

2

②2APBP,

1

③APBP,

3

④AP3BP的最小值.

237

【答案】①37;②237;③;④237.

3

【分析】①在CB上取點(diǎn)D,使CD1,連接CP、DP、AD.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證DCPPCB,即可

11

得出PDBP,從而推出APBPAPPD,說明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí),APPD最小,最小值即

22

為AD長.最后在RtACD中,利用勾股定理求出AD的長即可;

1

②由2APBP2(APBP),即可求出結(jié)果;

2

21

③在CA上取點(diǎn)E,使CE,連接CP、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證ECPPCA,即可得出EPAP,

33

第10頁共94頁.

1

從而推出APBPEPBP,說明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí),EPBP最小,最小值即為BE長.最后在Rt△BCE

3

中,利用勾股定理求出BE的長即可;

1

④由AP3BP3(APBP),即可求出結(jié)果.

3

【詳解】解:①如圖,在CB上取點(diǎn)D,使CD1,連接CP、DP、AD.

∵CD1,CP2,CB4,

CDCP1

∴.

CPCB2

又∵DCPPCB,

∴DCPPCB,

PD11

∴,即PDBP,

BP22

1

∴APBPAPPD,

2

∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí),APPD最小,最小值即為AD長.

∵在RtACD中,ADAC2CD2621237.

1

∴APBP的最小值為37;

2

1

②∵2APBP2(APBP),

2

∴2APBP的最小值為237237;

2

③如圖,在CA上取點(diǎn)E,使CE,連接CP、EP、BE.

3

第11頁共94頁.

2

∵CE,CP2,CA6,

3

CECP1

∴.

CPCA3

又∵ECPPCA,

∴ECPPCA,

EP11

∴,即EPAP,

AP33

1

∴APBPEPBP,

3

∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí),EPBP最小,最小值即為BE長.

2237

∵在Rt△BCE中,BEBC2CE242()2.

33

1237

∴APBP的最小值為;

33

1

④∵AP3BP3(APBP),

3

237

∴AP3BP的最小值為3237.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理.正確的作出輔助線,并且理解三

點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

最值問題二胡不歸問題

例1(2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題)如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,

垂足為D,P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC.則PA+2PB的最小值為_____.

第12頁共94頁.

【答案】42

1

【分析】在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,此時(shí)PA+2PB=2PAPB=

2

1

PFPB=2BF,通過解直角三角形ABF,進(jìn)一步求得結(jié)果.

2

【詳解】解:如圖,

在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,

此時(shí)PA+2PB最小,

∴∠AFB=90°

∵AB=AC,AD⊥BC,

11

∴∠CAD=∠BAD=BAC3015,

22

∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°,

1

∴PF=PA,

2

11

∴PA+2PB=2PAPB=PFPB=2BF,

22

在Rt△ABF中,AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°,

2

∴BF=AB?sin45°=422,

2

∴(PA+2PB)最大=2BF=42,

故答案為:42.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),解直角直角三角形,解題的關(guān)鍵是作輔助線.

第13頁共94頁.

4

例2(2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線yx4分別與x,y軸交于

3

5

點(diǎn)A,B,拋物線yx2bxc恰好經(jīng)過這兩點(diǎn).

18

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是0,6,將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上;

3

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn),求BPEP取最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).

5

51

【答案】(1)yx2x4

182

3

(2)①點(diǎn)E在拋物線上;②P(0,?)

2

【分析】(1)先求出A、B坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo),然后把E的坐標(biāo)代入(1)的函

數(shù)解析式中,從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上;

AOHP333

②過點(diǎn)E作EH⊥AB,交y軸于P,垂足為H,sinABO,則HPBP,得BP+EP=HP+PE,

ABBP555

可知HP+PE的最小值為EH的長,從而解決問題.

【詳解】(1)解:當(dāng)x=0時(shí),y=-4,

4

當(dāng)y=0時(shí),x40,

3

∴x=-3,

∴A(-3,0),B(0,-4),

5

把A、B代入拋物線yx2bxc,

18

5

(3)23bc0

得18,

c4

第14頁共94頁.

1

b

∴2,

c4

51

∴拋物線解析式為yx2x4.

182

(2)解:①∵A(-3,0),C(0,6),

∴AO=3,CO=6,

由旋轉(zhuǎn)知:EF=AO=3,CF=CO=6,∠FCO=90°

∴E到x軸的距離為6-3=3,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),

51

當(dāng)x=3時(shí),y62643,

182

∴點(diǎn)E在拋物線上;

②過點(diǎn)E作EH⊥AB,交y軸于P,垂足為H,

∵A(?3,0),B(0,?4),

∴OA=3,OB=4,

∴AB=5,

AOHP3

∵sinABO,

ABBP5

3

∴HPBP,

5

3

∴BP+EP=HP+PE,

5

∴HP+PE的最小值為EH的長,

作EG⊥y軸于G,

∵∠GEP=∠ABO,

∴tan∠GEP=tan∠ABO,

第15頁共94頁.

PGAO

∴,

EGBO

PG3

∴,

64

9

∴PG=,

2

93

∴OP=?3=,

22

3

∴P(0,?).

2

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角函數(shù),兩點(diǎn)之

3

間、線段最短等知識,利用三角函數(shù)將BP轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵.

5

“PA+k·PB”型的最值問題,當(dāng)k=1時(shí)通常為軸對稱之最短路徑問題,而當(dāng)k>0時(shí),若以常規(guī)的軸對稱的

方式解決,則無法進(jìn)行,因此必須轉(zhuǎn)換思路.

1.當(dāng)點(diǎn)P在直線上

如圖,直線BM,BN交于點(diǎn)B,P為BM上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A在射線BM,BN同側(cè),已知sin∠MBN=k.

過點(diǎn)A作AC⊥BN于點(diǎn)C,交BM于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k·PB取最小值,最小值即為AC的長.

證明如圖,在BM上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,作QD⊥BN于點(diǎn)D.

由sin∠MBN=k,可得QD=k·QB.

所以QA+k·QB=QA+QD≥AC,即得證.

2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上

如圖,⊙O的半徑為r,點(diǎn)A,B都在⊙O外,P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn),已知r=k·OB.

在OB上取一點(diǎn)C,使得OC=k·r,連結(jié)AC交⊙O于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k·PB取最小值,最小值即為AC的

長.

第16頁共94頁.

證明如圖,在⊙O上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,BQ,連結(jié)CQ,OQ.

則OC=k·OQ,OQ=k·OB.

而∠COQ=∠QOB,所以△COQ∽△QOB,

所以QC=k·QB.

所以QA+k·QB=QA+QC≥AC,即得證.

【變式1】(2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模)如圖,在△ACE中,CACE,CAE30,半徑為5的O經(jīng)

過點(diǎn)C,CE是圓O的切線,且圓的直徑AB在線段AE上,設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則

1

ODCD的最小值為______.

2

【答案】53

2

1

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線,過點(diǎn)D作DH垂直于該平行線于H,可將CD轉(zhuǎn)化為DH,此時(shí)

2

1

ODCD就等于ODDH,當(dāng)ODH共線時(shí),即為所要求的最小值.

2

【詳解】解:如圖所示,過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線,過點(diǎn)D作DH垂直于該平行線于H,

CH//AB,CAE30,OCOA,

HCAOCA30,

HD1

sinHCD,HCO60,

CD2

1

CDHD,

2

第17頁共94頁.

1

ODCDODDH,

2

當(dāng)O,D,H三點(diǎn)共線,即在圖中H在H'位置,D在D'位置的時(shí)候有ODDH最小,

1

當(dāng)O,D,H三點(diǎn)共線時(shí),ODCD有最小值,

2

353

此時(shí)OH'OCsinHCOOCsin605,

22

1

ODCD的最小值為53,

22

故答案為53.

2

1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題,解題的關(guān)鍵是在于將OD進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

2

【變式2】(2022秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

1

點(diǎn)F在邊CD上,且線段EF=4,點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn),連接BG、CG,則BG+CG的最小值為_____.

2

【答案】5

1

【分析】因?yàn)镈G=EF=2,所以G在以D為圓心,2為半徑圓上運(yùn)動(dòng),取DI=1,可證△GDI∽△CDG,

2

1

從而得出GI=CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系,得出BI是其最小值

2

【詳解】解:如圖,

在Rt△DEF中,G是EF的中點(diǎn),

1

∴DG=EF2,

2

∴點(diǎn)G在以D為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

第18頁共94頁.

在CD上截取DI=1,連接GI,

DI

∴=DG=1,

DGCD2

∴∠GDI=∠CDG,

∴△GDI∽△CDG,

IGDI

∴=1,

CGDG2

1

∴IG=CG,

2

1

∴BG+CG=BG+IG≥BI,

2

1

∴當(dāng)B、G、I共線時(shí),BG+CG最小=BI,

2

在Rt△BCI中,CI=3,BC=4,

∴BI=5,

故答案是:5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,圓的概念,求得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

【變式3】(2021春·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,且BP=2.連

1

接CP,將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.連接CQ、DQ,則DQ+CQ的最小值為___.

2

【答案】5

AQ2

【分析】連接AC、AQ,先證明△BCP∽△ACQ得即AQ=2,在AD上取AE=1,證明△QAE∽△DAQ

BP2

11

得EQ=QD,故DQ+CQ=EQ+CQ≥CE,求出CE即可.

22

【詳解】解:如圖,連接AC、AQ,

∵四邊形ABCD是正方形,PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ,

∴∠ACB=∠PCQ=45°,

BC2PC2

∴∠BCP=∠ACQ,cos∠ACB=,cos∠PCQ=,

AC2QC2

第19頁共94頁.

∴∠ACB=∠PCO,

∴△BCP∽△ACQ,

AQ2

BP2

∵BP=2,

∴AQ=2,

∴Q在以A為圓心,AQ為半徑的圓上,

在AD上取AE=1,

AE1AQ1

∵,,∠QAE=∠DAQ,

AQ2AD2

∴△QAE∽△DAQ,

EQ11

∴即EQ=QD,

QD22

1

∴DQ+CQ=EQ+CQ≥CE,

2

連接CE,

∴CEDE2CD25,

1

∴DQ+CQ的最小值為5.

2

故答案為:5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定,三角函數(shù),解題的關(guān)鍵

在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

【變式4】(2021秋·四川達(dá)州·九年級達(dá)州市第一中學(xué)校校考期中)如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在

3

x、y軸的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(23,4),一次函數(shù)y=-x+b的圖象與邊OC、AB、x軸分別交于

3

點(diǎn)D、E、F,DFO30,并且滿足ODBE,點(diǎn)M是線段DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

第20頁共94頁.

(1)求b的值;

(2)連接OM,若ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

1

(3)求OMMF的最小值.

2

2379

【答案】(1)b3;(2)M(,);(3)

332

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì),用b表示點(diǎn)E的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求解;

(2)首先求出四邊形OAED的面積,再根據(jù)條件求出△ODM的面積,即可解決問題;

1

(3)過點(diǎn)M作MNx軸交于點(diǎn)N,則OMMFOMMN,即可轉(zhuǎn)化為求OMMN的最小值,作點(diǎn)

2

O關(guān)于一次函數(shù)的對稱點(diǎn)O,過點(diǎn)O作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N,交一次函數(shù)于點(diǎn)M,即OMMN的最

小值為ON,算出長度即可.

3

【詳解】(1)在y=-x+b中,令x0,則yb,

3

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,b),

ODBE,B(23,4),

E(23,4b),

33

把E(23,4b)代入y=-x+b中得:4b23b,

33

解得:b3;

3

(2)由(1)得一次函數(shù)為yx3,D(0,3),E(23,1),

3

OD3,AE1,OA23,

11

S=(ODAE)OA(31)2343,

四邊形OADE22

ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3,

\DODM的面積與四邊形OADE的面積之比為1:4,

第21頁共94頁.

1

SS3,

ODM4四邊形OADE

1

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a,則3a3,

2

23

解得:a,

3

2337

把x代入yx3中得:y,

333

237

M(,);

33

(3)

如圖所示,過點(diǎn)M作MNx軸交于點(diǎn)N,

DFO30,

1

MNMF,

2

1

OMMFOMMN,

2

作點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)的對稱點(diǎn)O,且OO’與直線DF交于Q點(diǎn),過點(diǎn)O作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N,

OMOM,

1

OMMFOMMNOMMN,

2

當(dāng)O、M、N在同一直線時(shí)OMMN最小,

1

即OMMFOMMNOMMN的最小值為ON,

2

DFO30,

ODF60,DOQ30,OON903060,

333

在RtVODQ中,OQODsin603,

22

OO2OQ33,

39

在RtONO中.ONOOsin6033,

22

第22頁共94頁.

19

OMMF的最小值為.

22

【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題,包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積,解直角三角形

以及胡不歸問題,屬于中考壓軸題.

最值問題三隱圓問題

例1(2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB3,BC4.點(diǎn)P是線段BC上

一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).ADMBAP,則BM的最小值為()

5123

A.B.C.13D.132

252

【答案】D

【分析】證明AMD=90,得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心,以AO為半徑的圓上,從而計(jì)算出答案.

【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O,以O(shè)點(diǎn)為圓心,AO為半徑畫圓

∵四邊形ABCD為矩形

∴BAP+MAD=90

∵ADMBAP

∴MAD+ADM=90

∴AMD=90

∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心,以AO為半徑的圓上

第23頁共94頁.

連接OB交圓O與點(diǎn)N

∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)

∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí),BM最短

1

∵BO2AB2AO2,AO=AD=2

2

∴BO29413

∴BO13

∵BNBOAO132

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識.

例2(2021·湖北十堰·中考真題)如圖,四邊形ABCD是正方形,ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不

含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證:AMBENB;

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMCM的值最小;

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMBMCM的值最小,并說明理由;

(3)當(dāng)AMBMCM的最小值為31時(shí),求正方形的邊長.

【答案】(1)見解析;(2)①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí);②當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM

+CM的值最小,理由見解析;(3)2

【分析】(1)由題意得MBNB,ABN15,所以EBN45,容易證出AMBENB;

(2)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,可得,當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AMCM的值最?。?/p>

②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AMBMCM的值最小,即等于EC的

長(如圖);

(3)作輔助線,過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F,由題意求出EBF30,設(shè)正方形的邊長為x,

在RtEFC中,根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為2.

【詳解】解:(1)證明:ABE是等邊三角形,

第24頁共94頁.

BABE,ABE60.

∵M(jìn)BN60,

MBNABNABEABN.

即MBANBE.

又∵M(jìn)BNB,

AMBENB(SAS).

(2)解:①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),A、M、C三點(diǎn)共線,AMCM的值最?。谌鐖D,連接CE,

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AMBMCM的值最小,

理由如下:連接MN,由(1)知,AMBENB,

AMEN,

∵M(jìn)BN60,MBNB,

BMN是等邊三角形.

∴BMMN.

AMBMCMENMNCM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知,若E、N、M、C在同一條直線上時(shí),ENMNCM取得最小值,最小

值為EC.

在ABM和CBM中,

ABCB

ABMCBM,

BMBM

ABMCBM(SAS),

BAMBCM,

BCMBEN,

EBCB,

若連接EC,則BECBCE,

BCMBCE,BENBEC,

M、N可以同時(shí)在直線EC上.

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AMBMCM的值最小,即等于EC的長.

(3)解:過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F,

EBFABFABE906030.

第25頁共94頁.

3x

設(shè)正方形的邊長為x,則BFx,EF.

22

在RtEFC中,

EF2FC2EC2,

x3

()2(xx)2(31)2.

22

解得x12,x22(舍去負(fù)值).

正方形的邊長為2.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理,解

題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn),添加適當(dāng)輔助線,靈活運(yùn)用.

【模型一:定弦定角的“前世今生”】

【模型二:動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長】

第26頁共94頁.

【模型三:直角所對的是直徑】

【模型四:四點(diǎn)共圓】

牢記口訣:

定點(diǎn)定長走圓周,定線定角跑雙弧。

直角必有外接圓,對角互補(bǔ)也共圓。

【變式1】(2022秋·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學(xué)附屬初中??计谥校鰽BC中,AB=AC=5,BC=6,

D是BC的中點(diǎn),E為AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)B在△ABC內(nèi)(不含△ABC的邊上),則BE

長的范圍為______.

95

【答案】BE

52

【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡在以D為圓心,BD為半徑的圓弧上,然后分點(diǎn)B恰好

第27頁共94頁.

落在AB邊上和點(diǎn)B恰好落在AC邊上兩種情況討論,分別利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行

求解和證明即可得出兩種臨界情況下BE的長度,從而得出結(jié)論.

【詳解】解:∵點(diǎn)B與B關(guān)于DE對稱,

∴BDBD,則點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡在以D為圓心,BD為半徑的圓弧上,

①如圖所示,當(dāng)點(diǎn)B恰好落在AB邊上時(shí),此時(shí),連接AD和DE,

1

由題意及“三線合一”知,ADBD,BDBC3,

2

∴在RtABD中,ADAB2BD252324,

此時(shí),根據(jù)對稱的性質(zhì),DEAB,

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