（滬教版2020選修二）2022年上海高二數(shù)學(xué)同步講義-第7章概率初步（續(xù)）（壓軸題專練）（學(xué)生版）

第7章概率初步（續(xù)）壓軸題專練

能力提升

一、單選題

1.（2021?全國?高二單元測試）我們知道，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（即伯努利試驗(yàn)）中，

每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布8（",P）,事實(shí)上，

在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)

行的次數(shù)乙顯然尸以=左）="（1-01水=1,2,3廣.,我們稱￥服從“幾何分布”，經(jīng)計(jì)算得

E（Y）=~.由此推廣，在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件A和何都發(fā)生后停止，此時(shí)

P

所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為Z,則尸（Z=4）=）（1-0廣+（1_0pi,左=2,3,…，那么E（Z）=

（）

C.-......r+1D.------

"（1-P）（1-P）

2.（2020?浙江?三模）隨機(jī)變量X的分布列是（）

X246

Pabc

A.E(X)N”(X)B.E(X)4")(X)

C.E(X)2D(X)D.￡(X)<D(X)

3.（2020?新疆?新源縣第二中學(xué)高二期末（理））拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，在有

一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是（）

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)0＜。＜，隨機(jī)變量邪）分布列是:

X-112

11aa

P—ci—+—

2222

則當(dāng)n（x）最大時(shí)的a的值是

A.1B.上C.1D.A

416525

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）一只小蟲從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)爬行，若一次爬行過程

中，小蟲等概率地向前或向后爬行1個(gè)單位，設(shè)爬行“次后小蟲所在位置對應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變

量則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.磯B）=0B.D值）=〃

C-P（%2。=0）〈尸（22。=2）D.P（^2020=0）<P（^18=0）

6.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）已知集合4={1,2,3,4},8={1,2,3,4,5},從集合A中任取

3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用。表示，從集合8中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元

素用6表示，記X=6-a,則隨機(jī)變量X的期望為（）

A.—B.—C.3D.4

44

7.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線尸aV+6x+c（aW0）的對稱軸在

碑由的左側(cè)，其中a、b、ce{-3,-2,-1,0,1,2,3）,在這些拋物線中，記隨機(jī)變量f="|a

一引的取值”，則f的數(shù)學(xué)期望以門為（）

A—B.3C.劣D.1

9553

8.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高二期中）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎

（COVIA19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人

體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情

最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新

冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切

接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家

被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)

行''核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為''感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈

陽性的概率均為P（O<P<D且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個(gè)人才能確定為“感染高危

戶”的概率為/（p）,當(dāng)。=。0時(shí)，/（p）最大，則p（）=（）

A.1一&B.逅C.蛆D.1一也

3333

9.（2021?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球.現(xiàn)擲一枚均

勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為

10.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛a〃｝滿足&=0,且對任意〃CN*,a.1等概率地

取a〃+l或&-1,設(shè)a”的值為隨機(jī)變量丁，則（）

A.尸（&3=2）=yB.￡（&3）=1

C.〃（&5=0）<P（^5=2）D.尸（&5=0）<P（^3=0）

11.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如果｛q｝不是等差數(shù)列，但若*eN*,使得

ak+aM=2aM,那么稱｛““｝為"局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列｛斗｝的項(xiàng)數(shù)為4,記事件A：集合

｛%,孫玉,毛｝<｛1,2,3,4,5｝,事件B：｛與｝為“局部等差”數(shù)列,則條件概率尸（3|A）=

A.—B.—C.-D.-

153056

二、填空題

12.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）X服

從正態(tài)分布N（11O,1O2）,從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績記該同學(xué)的成績90<4V110為事

件A,記該同學(xué)的成績80<JV100為事件B,則在A事件發(fā)生的條件下3事件發(fā)生的概率

P（B\A）=.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：P（〃—cr<X4〃+cr）=0.68；尸（〃—2cr<X<〃+2cr）=0.95；

P（〃-3cr<X<〃+3cr）=0.99.

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)為、馬、三、％為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X和F

的分布列如下表，若記DX,￡>y分別為X,y的方差，則DXDY.（填〉，〈，=）

X玉x2元3%

X+巧x2+x3X3+%%+%

Y1

2222

j_￡￡￡

P4444

14.（2020?廣東佛山?高三階段練習(xí)）連續(xù)投擲一枚均勻硬幣，正面出現(xiàn)W次或者背面只

要出現(xiàn)一次，就算比賽結(jié)束，則比賽結(jié)束時(shí)出現(xiàn)正面的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.

15.（2021?全國?高二單元測試）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲〃次，以匕表示沒有出現(xiàn)連

續(xù)3次正面的概率.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①4=（;②且弋；③當(dāng)心2時(shí)，Pn+l<Pn；④*七+%+乩3（心4）.

o1OZ4o

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）對一個(gè)物理量做〃次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為

該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差￡為使誤差J在（-050.5）的概率不

小于0.9545,至少要測量____次（若X?則「（|X2b）=0.9545））.

17.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?高二期末）某人投籃命中的概率為0.3,投籃15次，最有可能命中

次.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（O,1）,則下列結(jié)論正確的

是.（填序號(hào)）

①P（罔<a）=<a）+P偌>-a）（a>0）.

②P（團(tuán)<a）=2P偌<a）-l（a>O）.

③P（|倒<a）=1-2P（J<a）（a>0）；

④P（團(tuán)<a）=l-P（團(tuán)>a）（a>0）.

三、解答題

19.（2021?重慶市鳳鳴山中學(xué)高二期中）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷

活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一；一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白

球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到

白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白

球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到

白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金

券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促

銷活動(dòng)？

20.（2020?甘肅?民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））2018年，依托用戶碎片化時(shí)間的娛樂

需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起；與此同時(shí)，移動(dòng)閱讀方興未

艾，從側(cè)面反應(yīng)了人們對精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部

分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊(yùn)的嚴(yán)肅閱讀青睞有加.

某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時(shí)長（單位：分鐘），

繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時(shí)長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.

（1）請?zhí)顚懸韵?x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有

關(guān)？

活躍用戶不活躍用戶合計(jì)

城市M

城市N

合計(jì)

（2）以頻率估計(jì)概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活

躍用戶的人數(shù)為八求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）該讀書APP還統(tǒng)計(jì)了2018年4個(gè)季度的用戶使用時(shí)長y（單位：百萬小時(shí)），發(fā)現(xiàn)y與季

度（x）線性相關(guān)，得到回歸直線為夕=4x+G,已知這4個(gè)季度的用戶平均使用時(shí)長為12.3

百萬小時(shí)，試以此回歸方程估計(jì)2019年第一季度（x=5）該讀書APP用戶使用時(shí)長約為多少

百萬小時(shí).

n(ad-bc)一

附:K2=其中〃=a+Z?+c+d.

(a+))(c+4)(a+c)(b+d)'

0.0250.0100.0050.001

5.0246.6357.87910.828

21.(2019?湖南?長郡中學(xué)一模(理))隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1

日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入

額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：

個(gè)人所得優(yōu)現(xiàn)率表(兩處前)個(gè)人所存稅稅隼表(兩恁后)

3500t生證箱5000七

統(tǒng)我全月底加批所捋頤稅率(%)全月應(yīng)納稅所用匏機(jī)率(%)

1不姥過1500元郃分31不堪43000元部分3

越過1500元越過3000元

210210

￡4500元的缽分至12000元的邵宗

超過4500元超過12000元

320320

￡9000元的林分至25000元的非分

??????…?????????

(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)

納的稅，試寫出調(diào)整前后，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制

成下面的頻數(shù)分布表：

收入[3000,[5000,[7000,[9000,[IIOOO[13000

(元)5000)7000)9000)11000),13000),15000)

人敦304010875

①先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅

法知識(shí)宣講員，用。表示抽到作為宣講員的收入在［3000,5000）元的人數(shù)，匕表示抽到作為宣講員

的收入在［5000,7000）元的人數(shù)，隨機(jī)變量Z=|a-6］,求z的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)

整前增加了多少？

22.（2020?河南?高三階段練習(xí)（理））某公司生產(chǎn)了A8兩種產(chǎn)品投放市場，計(jì)劃每年

對這兩種產(chǎn)品投入200萬元，每種產(chǎn)品一年至少投入20萬元，其中A產(chǎn)品的年收益P（。），B

產(chǎn)品的年收益Q（a）與投入。（單位萬元）分別滿足23）=80+4缶,。（°）=。。+120；若公司

有100名銷售人員，按照對兩種產(chǎn)品的銷售業(yè)績分為普通銷售、中級(jí)銷售以及金牌銷售，其

中普銷售28人，中級(jí)銷售60人，金牌銷售12人

（1）為了使A8兩種產(chǎn)品的總收益之和最大，求A產(chǎn)品每年的投入

（2）為了對表現(xiàn)良好的銷售人員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，公司制定了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：

方案一富按分層抽樣從三類銷售中總共抽取25人給予獎(jiǎng)勵(lì)：普通銷售獎(jiǎng)勵(lì)2300元，中級(jí)銷售

獎(jiǎng)勵(lì)5000元；金牌銷售獎(jiǎng)勵(lì)8000元

方案二：每位銷售都參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則：從一個(gè)裝有3個(gè)白球，2個(gè)紅球（求只有顏色

不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到紅球的總數(shù)為2,則可獎(jiǎng)勵(lì)

1500元，若摸到紅球總數(shù)是3,則可獲得獎(jiǎng)勵(lì)3000元，其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定普通銷售

均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；中級(jí)銷售均可參加2次摸獎(jiǎng)游戲，金牌銷售均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲

（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立，獎(jiǎng)勵(lì)疊加）

（i）求方案一獎(jiǎng)勵(lì)的總金額；

（五）假設(shè)你是企業(yè)老板，試通過計(jì)算并結(jié)合實(shí)際說明，你會(huì)選擇哪種方案獎(jiǎng)勵(lì)銷售員.

23.(2020?江西南昌?二模(理))某班級(jí)共有50名同學(xué)(男女各占一半)，為弘揚(yáng)傳統(tǒng)

文化，班委組織了“古詩詞男女對抗賽”，將同學(xué)隨機(jī)分成25組，每組男女同學(xué)各一名，每

名同學(xué)均回答同樣的五個(gè)不同問題，答對一題得一分，答錯(cuò)或不答得零分，總分5分為滿分.

最后25組同學(xué)得分如下表：

組別號(hào)12345678910111213

男同學(xué)得分5455455444554

女同學(xué)得分4345554555535

分差1110-101-1-1-102-1

組別號(hào)141516171819202122232425

男同學(xué)得分434444555433

女同學(xué)得分534543553455

分差-100-1010020-2-2

(D完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該次對抗賽是否得滿分”與“同學(xué)性

別”有關(guān)；

(II)某課題研究小組假設(shè)各組男女同學(xué)分差服從正態(tài)分布首先根據(jù)前20組男女

同學(xué)的分差確定〃和b,然后根據(jù)后面5組同學(xué)的分差來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，檢驗(yàn)方法是：記后面5組

男女同學(xué)分差與〃的差的絕對值分別為x?=1,2,3,4,5),若出現(xiàn)下列兩種情況之一，則不接

受該模型，否則接受該模型.①存在占23。；②記滿足2b<x,<3。的/的個(gè)數(shù)為次，在服從正

態(tài)分布的總體(個(gè)體數(shù)無窮大)中任意取5個(gè)個(gè)體，其中落在區(qū)間

(〃-3cr,jU-2<T)u(〃+2cr,〃+3b)內(nèi)的個(gè)體數(shù)大于或等于4的概率為戶，P<0.003.

試問該課題研究小組是否會(huì)接受該模型.

P(K2>k]0.100.050.010

k2.7063.8416.635

參考公式和數(shù)據(jù)：犬"嗎丁"h八

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

VoJx0.894,4^9x0.949,0.9575?0.803,43x0.9574*36,43x43x0.9573夕1.62x103；若

X?N(〃,b，，有尸(〃-2<T<X<〃+2cr)q0.9544,P(〃-3cr<X<〃+3cr)q0.9974.

24.(2021?黑龍江?哈爾濱三中高一期末)在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資

生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在

國際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)

抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分

成以下五組：[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如下頻率分布直

(1)規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二

級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩.現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽

取8個(gè)口罩，再從中抽取3個(gè)，求恰好取到一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為2的概率；

(2)在2020年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲、乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)上

分別參加4輛店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購，其中每個(gè)訂單由〃(7拒2,個(gè)該型號(hào)口罩

構(gòu)成.假定甲、乙兩人在/、3兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為彳，2COS7-記甲、乙

n--------

n

兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為x,y.

①求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

②求當(dāng)y的數(shù)學(xué)期望E(Y)取最大值時(shí)正整數(shù)?的值.

25.(2020?全國?模擬預(yù)測(理))某廠計(jì)劃購買50臺(tái)機(jī)床，該種機(jī)床使用四年后即被淘

汰，并且在使用過程中機(jī)床有一易損零件，若在購進(jìn)機(jī)床同時(shí)額外購買這種易損零件作為備

用件，此時(shí)每個(gè)只需300元.在使用期間如果備件不足再購買，則每個(gè)要500元.所以在購

買前要決策購買數(shù)目.使得該廠購買機(jī)床時(shí)搭配的易損備用零件費(fèi)用最省.為此業(yè)內(nèi)相關(guān)人

員先搜集了50臺(tái)以往這種機(jī)床在四年內(nèi)更換的易損零件數(shù)，并整理數(shù)據(jù)后得如下柱狀圖.

每臺(tái)

更

換易

損

零件

數(shù)

以這50臺(tái)機(jī)床更換的易損零件數(shù)的頻率代替每臺(tái)機(jī)床更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率.記X

表示2臺(tái)機(jī)床四年內(nèi)實(shí)際共需更換的易損零件數(shù)，”表示購買2臺(tái)機(jī)床的同時(shí)備用的易損零

件數(shù)目，尸(X=〃)為購買機(jī)床時(shí)備用件數(shù)〃發(fā)生的概率.

(1)求尸(X6)00.5時(shí)”的最小值;

（2）求X的分布列及備用的易損零件數(shù)〃=19時(shí)X的數(shù)學(xué)期望；

（3）將購買的機(jī)床分配給50名年齡不同（視技術(shù)水平不同）的人加工一批模具，因熟練程

度不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量x表示不同技工的年

齡，變量，為相應(yīng)的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，他們的每日工作效益滿足最小二乘

法和y關(guān)于X的線性回歸方程S=L2x+40,已知他們年齡X的方差為$=14.4,所對應(yīng)的效

益方差為￥=22.5.

①試預(yù)測年齡為50歲的技工使用該機(jī)床每日所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；

②試根據(jù)「的值判斷使用該批機(jī)床的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱.

附：下面三個(gè)計(jì)算回歸直線方程y=去+。的斜率區(qū)和截距"及表示隨機(jī)變量工與了相關(guān)關(guān)系

強(qiáng)弱的系數(shù)，計(jì)算公式：B......-,「=」.

26.（2020?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））新冠抗疫期間，我們經(jīng)歷了太多悲慟，

也收獲了不少感動(dòng).某數(shù)學(xué)小組希望通過將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于我們的抗疫，決定以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

的方式探索新冠的傳染和防控.過程如下：假設(shè)小盒中有8個(gè)黑球，2個(gè)紅球.模型①：若

取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球后，則放回小盒并往小盒里加入2倍

的紅球.此模型可以解釋為“傳染模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個(gè)新冠感染者，若不作任何處理，則

會(huì)產(chǎn)生2倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅

球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，此模型可以解釋為“安全模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個(gè)

新冠患者，則移出將其隔離進(jìn)行診治.（注：考慮樣本容量足夠大和治愈率的可能性，故用

黑球代替紅球)

(1)分別計(jì)算在兩種模型下，取出一次球后，第二次取到紅球的概率;

(2)在模型②的前提下：

(i)記在第“(“22)次時(shí)，剛好抽到第二個(gè)紅球，試用”表示剛好第”次抽到第二個(gè)紅球?qū)?/p>

應(yīng)的概率；

(ii)若規(guī)定無論第10次是否能夠抽到紅球或第二個(gè)紅球，當(dāng)進(jìn)行到第10次時(shí)，即停止抽

球；記抽到第二個(gè)紅球時(shí)所需要的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.(精確到個(gè)位)

k-lJt-1k-\k-\\

994、io4

*?13.58.

1055

k=27k=2

27.(2021?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之

間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開

市場，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測試，測試成功后將在

全市進(jìn)行推廣.

(1)公司內(nèi)部測試的活動(dòng)方案設(shè)置了第個(gè)七乂)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為%+2,抽中的用戶退

出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè).若某次抽

獎(jiǎng)，剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均

在其中.

①請求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率分別是多少？

②請求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和期望？

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次

抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第1次乂）次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為〃.=2±21,每次中

,40

獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2"（77WN+）次.已知用戶

丙參加了第一次抽獎(jiǎng)，并在這2"次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎(jiǎng)

活動(dòng)次數(shù)的均值小于

28.（2020?江西?余干縣新時(shí)代學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在全球關(guān)注的抗擊“新冠肺

炎”中，某跨國科研中心的一個(gè)團(tuán)隊(duì)，研制了甲、乙兩種治療''新冠肺炎”新藥，希望知道

哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下:

第一種：選取A,B,C,D,E,F,G,H,1,J共10只患病白鼠，服用甲藥后某項(xiàng)

指標(biāo)分別為：84,87,89,91,92,92,86,89,90,90；

第二種：選取。，b,c,d,e,f,g,h,i,j共10只患病白鼠，服用乙藥后某項(xiàng)指標(biāo)

分別為：81,87,83,82,80,90,86,89,84,79；

該團(tuán)隊(duì)判定患病白鼠服藥后這項(xiàng)指標(biāo)不低于85的確認(rèn)為藥物有效，否則確認(rèn)為藥物無效.

（1）已知第一種試驗(yàn)方案的10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為89,求這組數(shù)據(jù)的方差；

（2）現(xiàn)需要從已服用乙藥的10只白鼠中隨機(jī)抽取7只，求其中服藥有效的只數(shù)不超過2只的

概率；

（3）該團(tuán)隊(duì)的另一實(shí)驗(yàn)室有1000只白鼠，其中900只為正常白鼠，100只為患病白鼠，每用

新研制的甲藥給所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%變?yōu)檎０资?，但正常白鼠仍?/p>

r%（0<r<10）變?yōu)榛疾“资?，假設(shè)實(shí)驗(yàn)室的所有白鼠都活著且數(shù)量不變，且記服用"次甲藥

后此實(shí)驗(yàn)室正常白鼠的只數(shù)為巴.

(i)求為并寫出4+i與%的關(guān)系式；

(ii)要使服用甲藥兩次后，該實(shí)驗(yàn)室正常白鼠至少有950只，求最大的正整數(shù)f的值.

29.(2020?江蘇?揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí))我省2021年起全面實(shí)施新高考方案.

在6門選擇性考試科目中，物理、歷史兩門學(xué)科采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物

采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個(gè)等級(jí)，

各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、13%和2%,并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分.某市

組織了高三年級(jí)期初統(tǒng)一考試，并嘗試對生物學(xué)科的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分.

(1)某校生物學(xué)科獲得A等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分9896959290888583

轉(zhuǎn)換分10099979594918886

人數(shù)11212111

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于95分的人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)該市此次高三學(xué)生的生物學(xué)科原始分丫服從正態(tài)分布N(75,36).現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市100名

高三學(xué)生的生物學(xué)科的原始分，學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記占為被抽到的原始分不低于81分

的學(xué)生人數(shù)，求尸C=外取得最大值時(shí)上的值.

附：若Z?N(〃,cr2)則/*(“一cr<Z<M+b)=0.7,尸(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.95.

30.（2021?全國?高三專題練習(xí)）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試

方法如下：拿出“（凡?N*且〃24）瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品

質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這,瓶酒，并重新按品

質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測試，根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評

分.現(xiàn)分別以%、出、的、L、%表示第一次排序時(shí)被排在1、2、3、L、〃的〃種酒在第

二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1-oj+|2-局+|3-局■）---i-pz—an|,則X是對兩次排序的偏離

程度的一種描述.

（1）證明：無論“取何值，X的可能取值都為非負(fù)偶數(shù)；

（2）取”=4,假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測來排序的條件下，％、/、的、肉等可能地為

1、2、3、4的各種排列，且各輪測試相互獨(dú)立.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有XV2,則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功

能.求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測試方法的合理性.

31.(2021?全國?高二專題練習(xí))國際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙

敗制.單敗制即每場比賽的失敗者直接淘汰，常見的有801,803等等.801表示雙方進(jìn)行一

局比賽，獲勝者晉級(jí).303表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級(jí)；若前兩

局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù).現(xiàn)在AB,C。四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制

采用單敗制，/與正組，占正組，第一輪兩組分別進(jìn)行801,勝者晉級(jí)，敗者淘汰；第二

輪由上輪的勝者進(jìn)行303,勝者為冠軍.已知/與瓦C3比賽，/的勝率分別為B與

172

co比賽，相勺勝率分別萬,于修〃比賽，的勝率為］.任意兩局比賽之間均相互獨(dú)立.

(1)在儺入第二輪的前提下，求/最終獲得冠軍的概率；

(2)記/參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為無求粕勺分布列與數(shù)學(xué)期望.

32.（2021?廣東?模擬預(yù)測）某商城玩具柜臺(tái)五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并

且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開

出玩偶A，4,4中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶與，層中的一個(gè).

（1）記事件一次性購買〃個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶4，A,玩偶；事件尸"：一次性

購買幾個(gè)乙系列盲盒后集齊用，當(dāng)玩偶；求概率尸（用）及「（且）；

（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，且購

買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲

系列的概率為：，購買乙系列的概率為:；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列

的概率為；1，購買乙系列的概率為：3，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率

為購買乙系列的概率為如此往復(fù)，記某人第〃次購買甲系列的概率為2.

①求｛2｝的通項(xiàng)公式；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)

該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).

33.（2021?重慶八中高三階段練習(xí)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比

賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段

為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分

析，這些分?jǐn)?shù)腐B在［75,100）內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“需=y”）