《一次同余式組的解研究》4000字（論文）

一次同余式組的解研究目錄TOC\o"1-2"\h\u17446前言 2302941一次同余式組的背景及意義 242431.1選題背景 297611.2選題意義 352692一次同余式組的準(zhǔn)備知識(shí)及概念 4266412.1準(zhǔn)備知識(shí) 4195902.2一次同余式組的概念 441263一次同余式組有解的判定 523953.1時(shí) 519655解 5172963.2當(dāng)時(shí) 5288614一次同余式組的幾種解法 6303504.1一次同余式組解的三種簡(jiǎn)單算法 6141434.2用代入法解一次同余式組 7205254.3用矩陣解一次同余式組 9164064.4用孫子定理解一次同余式組 1074744.5系數(shù)不為1的情況 1210372組成六個(gè)同余式組用孫子定理解分別為 13253575一次同余式組的應(yīng)用 1442675.1一次同余式在生活中的應(yīng)用 14225495.2一次同余式組在多元不定方程的應(yīng)用 1564565.3在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 16141036小結(jié) 16853參考文獻(xiàn) 17摘要：同余理論是初等數(shù)論的一個(gè)重要課題，它要解決的是如何確定一個(gè)同余式（或同余式組）的解的個(gè)數(shù)與解的方法.本文通過(guò)介紹一次同余式組的背景意義、一次同余式組的準(zhǔn)備知識(shí)及概念、一次同余式組的解法（同余式組有解的情況、代入法、矩陣法、孫子定理（中國(guó)剩余定理）及例題再到一次同余式組的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：一次同余式組；孫子定理；大衍求一術(shù)；前言一次同余式組是一個(gè)古老的研究課題，在中國(guó)最早見于一次同余式組問(wèn)題的書籍是《孫子算經(jīng)》中的物不知其數(shù)問(wèn)題，秦九韶給出了解一次同余式組的一般方法，在先人的基礎(chǔ)上一次同余式組的問(wèn)題有了更多解決的方法，本文闡述了三種方法（代入法、矩陣法、孫子定理（中國(guó)剩余定理）.文中還討論了一次同余式組有解的情況，除了文中簡(jiǎn)紹的還有其它的方法.一次同余式組在其它方面作用也很大，例如在同余方程、同余組、計(jì)算機(jī)都有應(yīng)用，在公鑰系統(tǒng)與通信編碼領(lǐng)域等都有重要作用.由此可見一次同余數(shù)組在數(shù)學(xué)中的重要性.1一次同余式組的背景及意義1.1選題背景在中國(guó)以中國(guó)剩余定理為代表的同余理論源遠(yuǎn)流長(zhǎng),可追溯到《周易》中的人筮古法,另一個(gè)來(lái)源是古代制定歷法的需要,從漢末到宋末余年的時(shí)間中,有很多天文學(xué)家熟悉一次同余式組的解法,他們?cè)诰幹茪v法時(shí)利用它來(lái)推算“上元積年”.在中國(guó)最早見于數(shù)學(xué)典籍的一次同余式組問(wèn)題在《孫子算經(jīng)》物不知其數(shù)的問(wèn)題.秦九韶在《數(shù)書九章》中將這一問(wèn)題發(fā)展為求解一次同余式組的一般解法，稱為“大衍總數(shù)術(shù)”，現(xiàn)在統(tǒng)稱“中國(guó)剩余定理”.在西方經(jīng)過(guò)歐拉、拉格朗日、高斯三代人努力才完成一次同余理論的建立,當(dāng)時(shí)在據(jù)學(xué)術(shù)界中心地位的彼得堡科學(xué)院,柏林科學(xué)院竟相發(fā)表,高斯在其名著《算術(shù)探討》中列專章闡述.公元年，英國(guó)基督教教士偉烈亞力將“物不知其數(shù)”題介紹到西方，人們發(fā)現(xiàn)它符合高斯定理，遂稱“中國(guó)剩余定理”，這個(gè)定理至今仍聞名海外，給中國(guó)和世界數(shù)學(xué)史增添了光輝的一頁(yè).參看的文獻(xiàn)用求矩陣的初等變換將同余式組的系數(shù)矩陣的末一行化為的形式便可以求出解這種方法比較簡(jiǎn)單,計(jì)算量不大.文獻(xiàn)介紹了”大衍求一術(shù)“的基本思想和現(xiàn)代數(shù)論之間的關(guān)系，并給出了現(xiàn)代證明[2]如果有解，而文獻(xiàn)主要介紹了一次同余式組的解法，系數(shù)未必是的情況和模未必兩兩互素的情況.文獻(xiàn)介紹一次同余式組的由來(lái),國(guó)內(nèi)外對(duì)于一次同余式組的研究發(fā)展?fàn)顩r,分析必較了印度、日本、歐洲等國(guó)的情況表面中國(guó)古代在解一次同余式組的問(wèn)題上,不但時(shí)間遙遙領(lǐng)先,而且在理論和方法上以有光輝而獨(dú)特的成就.文獻(xiàn)介紹了大衍求一術(shù)的珠算程序，介紹了大衍求一術(shù)的一些理論和歷史發(fā)展情況，大衍求一術(shù)在一次同余式組中的應(yīng)用.文獻(xiàn)文獻(xiàn)中都有關(guān)于同余式組的介紹，有關(guān)一次同余式組的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于本文的書提供了幫助.在很多期刊、報(bào)紙以及書籍上都有關(guān)于一次同余式組的解法的研究，但都不是很全面，本文對(duì)于一次同余式組的解進(jìn)行討論，然后提出一次同余式組的幾種解法，在解題過(guò)程中可以選擇簡(jiǎn)單的方法.1.2選題意義我國(guó)及國(guó)外對(duì)于"一次同余式的解"都有很多的研究，取得的成果也十分的豐碩通過(guò)了解"一次同余式組的解”的多種方法發(fā)展邏輯思維能力，通過(guò)在解題的過(guò)程中提高運(yùn)算能力，一題多解的方法運(yùn)用于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中開闊讀者的思維，培養(yǎng)讀者的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更對(duì)讀者的啟蒙教育有深刻的意義.對(duì)于數(shù)論的各個(gè)分支的發(fā)展都有很強(qiáng)的推動(dòng)作用，對(duì)于其他數(shù)學(xué)分支以及其他數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展也有推動(dòng)作用.通過(guò)了解一次同余式組的解的多種方法，例如孫子定理、大衍求一術(shù)、代入法、矩陣法的過(guò)程了解偉大的數(shù)學(xué)家在研究某些問(wèn)題時(shí)也會(huì)受到一定的限制，他的研究方法不是萬(wàn)能的也不是對(duì)于解決這個(gè)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的方法，從而培養(yǎng)正確面對(duì)困難的能力，樹立積極樂(lè)觀的心態(tài).2一次同余式組的準(zhǔn)備知識(shí)及概念2.1準(zhǔn)備知識(shí)[16]2.2一次同余式組的概念同余數(shù)組（或同余式，同余方程組）或?qū)懗缮鲜椒Q為同余式組，其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，若未知數(shù)的次數(shù)是，則稱為一次同余式組.[11]3一次同余式組有解的判定3.1時(shí)設(shè)且若?則這兩個(gè)同余式?jīng)]有公解,所以一次同余式組沒有解,若則他們有公解,而且這公解是以為模的一類剩余解.[17]例解∵?∴這兩個(gè)同余式?jīng)]有公解,則無(wú)解.例解因?yàn)樗赃@個(gè)同余式組有解，由得3.2當(dāng)時(shí)設(shè)同余式組是個(gè)聯(lián)立同余式，若有一個(gè)?，則這個(gè)聯(lián)立同余式?jīng)]有公解，若所有的都能除盡則個(gè)聯(lián)立同余式僅有一個(gè)公解而且這個(gè)公解是以為模的一類剩余.[18]例解∵?∴這個(gè)同余式組無(wú)解例解因?yàn)樗赃@三個(gè)同余式組解得代入得所以.4一次同余式組的幾種解法4.1一次同余式組解的三種簡(jiǎn)單算法引理[19]:若有解其中①若則②若則③若則例[19]一個(gè)兩位數(shù)除以余，除以余，除以余，則這個(gè)數(shù)為多少？解由題可解由題可知又因?yàn)槭莾晌粩?shù)∴，∴該數(shù)為.例一個(gè)數(shù)除以余，除以余，除以余.則滿足條件的最小正整數(shù)為多少？解由題可知：∴最小的正整數(shù)為.例一個(gè)數(shù)除以余，除以余，除以余，則該數(shù)為多少？解由題可知，∴該數(shù)為.4.2用代入法解一次同余式組同余式組由得代入得代解出代入（1再代入第三個(gè)同余式，依次類推，直到最后一個(gè)同余式.[17]例8解同余式組解例[20]求一個(gè)正整數(shù)，用來(lái)，則余數(shù)是,用來(lái)除,則余數(shù)是，用來(lái)除,則余數(shù)是，用來(lái)除,則余數(shù)是.解由題得設(shè)代入式4.3用矩陣解一次同余式組同余式組其中，做矩陣 其中則對(duì)于進(jìn)行初等變換，使其某一行變?yōu)?且此時(shí)的解為,若，則可以換為例解作矩陣4.4用孫子定理解一次同余式組孫子定理；[21]設(shè)m兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，令則一次同余式一定有解，它的解為其中可以列表為表SEQ表\*ARABIC1除數(shù)余數(shù)最小公倍數(shù)衍數(shù)乘率各總答數(shù)……………例解一次同余式組解所以上式同余式組有解∴此時(shí)?；ニ?，由孫子定理得，例解一次同余式組解兩兩互質(zhì)以可以列表為表SEQ表\*ARABIC2乘數(shù)余數(shù)最小公倍數(shù)衍數(shù)乘率各總答數(shù)最小答數(shù)4.5系數(shù)不為1的情況是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，所以有解的充分必要條件為，且有解時(shí)，解數(shù)為.定理：設(shè)，則同余式有解的充要條件為且有解時(shí)，解數(shù)為.例解一次同余式組解因?yàn)樗杂薪猓袃蓚€(gè)解，因?yàn)樗杂薪猓腥齻€(gè)解，又因?yàn)?，所以上述同余式組共有個(gè)解，由得求得兩個(gè)解由得求得三個(gè)解組成六個(gè)同余式組用孫子定理解分別為解得解得解得解得解得解得例求一次同余式組的解解5一次同余式組的應(yīng)用5.1一次同余式在生活中的應(yīng)用在日常生活中，我們所要注意的常常不是某些整數(shù)，而是這些數(shù)用某一固定的數(shù)去除所得的余數(shù)，例如我們問(wèn)現(xiàn)在是幾點(diǎn)鐘，就是用去除某一個(gè)總的時(shí)數(shù)所得的系數(shù)，同是幾點(diǎn)鐘或同為星期幾，常常在生活中有同樣的意義，這樣就在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了同余的概念.例假定現(xiàn)在是點(diǎn)，在兩個(gè)小時(shí)前是幾點(diǎn)呢.我們會(huì)立刻得到答案點(diǎn)，那么過(guò)了個(gè)小時(shí)后呢,即晚上點(diǎn).解決問(wèn)題的方法是，若現(xiàn)在時(shí)間是問(wèn)經(jīng)過(guò)小時(shí)后的時(shí)間只需，余數(shù)就是手表的小時(shí)數(shù)。例如果今天是星期一，問(wèn)從今天起再過(guò)天是星期幾？解∵∴是星期五.例某車間生產(chǎn)了一批不足個(gè)零件，如果每盒裝入個(gè)零件，還剩個(gè)零件，如果每盒裝入個(gè)零件，還剩個(gè)零件，問(wèn)這批零件一共有多少個(gè)？解設(shè)這批零件一共為個(gè)由題可得設(shè)因?yàn)樯a(chǎn)不足150個(gè)，所以，所以5.2一次同余式組在多元不定方程的應(yīng)用例求的一切解解因?yàn)?，所以有解先解而與同解的一組解為，的一組解為的一切解為又的一組解為一組解為的一切解為的一切解為5.3在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常碰到一些需要用到中國(guó)剩余定理的問(wèn)題，在處理這些問(wèn)題時(shí)，中國(guó)剩余定理是個(gè)有利的工具.例[22]求證：對(duì)任何正整數(shù)，存在個(gè)相繼的正整數(shù)，它們都不是素?cái)?shù)的正整數(shù)冪（第30屆IMO試題）.證明取個(gè)不同的素?cái)?shù)，則由孫子定理，同余方程組有解設(shè)此解為，則是個(gè)相繼正整數(shù)，它們中的每一個(gè)都至少含有兩個(gè)不同的素因數(shù)，所以，每一個(gè)都不是素?cái)?shù)的正整數(shù)冪，所以對(duì)于任何正整數(shù)，存在個(gè)相繼的正整數(shù)，它們都不是素?cái)?shù)的正整數(shù)冪.6小結(jié)一次同余式組的解法一直以來(lái)都有學(xué)者在研究，本文中結(jié)合了學(xué)者的研究給出了一次同余式組的解法，除了文中的方法還有其它解決一次同余式組的方法，各種解法各有千秋，在使用的時(shí)候還需要靈活變通，根據(jù)不同的類型而選擇使用不同的方法，甚至是將各種方法融合在一起共同使用，以達(dá)到解決題的目的，在求解時(shí)還需要觀察一次同余式組特征性質(zhì)來(lái)選擇簡(jiǎn)單的方法.參考文獻(xiàn)周立仁.一次同余式組的矩陣解法.[J],湖南理工學(xué)報(bào),2005,18(4).叢山."大衍求一術(shù)"與一次不定方程.[J],淮南職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004,01王世民.一次同余式組的解法.[J],數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1983,02.米道生.一次同余式組的解法.[J],中學(xué)生數(shù)學(xué),1981,02.沈康身.中國(guó)剩余定理的歷史發(fā)展.[N],杭州大學(xué)學(xué)報(bào),1988,03.鄧真峰.中國(guó)剩余定理的中外歷史發(fā)展比較[D],四川.四川師范大學(xué)碩士論文,2017.潘天驥.論述中國(guó)剩余定理的形成及其影響.[J],九江師專學(xué)報(bào),1987,05.張藝林.中國(guó)剩余定理及其應(yīng)用.[J],科學(xué)展望,2017,29.姜春艷.中國(guó)剩余定理探析.[N],武警學(xué)院學(xué)報(bào),2005,03.劉芹英.大衍術(shù)算法的推進(jìn)和簡(jiǎn)化研究.[J],河南科學(xué),2003,06.李子愚."大衍求一術(shù)"探秘.[J],懷化師專學(xué)報(bào)，1986,z1.錢寶琮,秦九韶.(數(shù)書九章)宋元教學(xué)史論文集.[J],科學(xué)出版社,1966.沈康身.秦九韶大衍術(shù)與高斯《算術(shù)探討》,[N],杭州大學(xué)學(xué)報(bào),1992,02.華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,1995.陳景潤(rùn).初等數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,1978.單墫.初等數(shù)輪[M].南京大學(xué)出版社，2000：33—34.王峰.初等