四川省攀枝花市第七高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次診斷性考試數(shù)學(xué)試題

攀枝花七中2025屆高三上第四次診斷性考試命題人：劉剛審題人：王坤注意事項1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將化簡，最后寫出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由，得，則z的共軛復(fù)數(shù)是．故選：C2.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.36 B.48 C.52 D.66【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式進行計算即可.【詳解】由，得，得.故選：D3.已知向量，，若，則（）A2 B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齊次化法將所求式子化成含有的式子即可運算求解.【詳解】由于，.故答案為：C.4.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.(?∞,?1)∪(1,+∞)C.(?1,0)∪(1,+∞) D.【答案】A【解析】【詳解】當a>0時，a<0,于是0<a<1,當a<0時，a>0,于是1<a<0.故選A5.2024年10月1日是我國國慶75周年，全國人民以各種各樣的形式共同慶祝.我校以文藝演出的形式慶祝，原本準備了4個舞蹈，2個獨唱，2個朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時決定加入一個學(xué)生紅歌合唱與一個教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排法一共有（

）種A.72 B.36 C.45 D.90【答案】D【解析】【分析】采用插空法，分為插入兩個空和一個空兩種方法.【詳解】原本8個節(jié)目順序不動，形成個空，將兩個紅歌合唱節(jié)目插進去，可以插入兩個空或一個空兩種，所以共有種排法.故選：D6.函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A.2 B.3C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】令,轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)問題，再借助函數(shù)的單調(diào)性與增長趨勢即可得到答案.【詳解】由題意可得，令，所以，令，則在上都為增函數(shù)，且易得當或時，，當時，易得在的下方，當時，易得在的上方，當時，對數(shù)函數(shù)的增長速度小于一次函數(shù)，故此時在的下方.綜上：函數(shù)有兩個零點分別為.故選：A.7.已知非零實數(shù)，，，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】舉例分別說明充分性以及必要性，即可得出答案.【詳解】若，，，則由可得或x>2；若，，，則由可得.此時有，但是，所以，“”不是“”成立的充分條件；設(shè)，因為恒成立，所以；設(shè)，因為恒成立，所以，此時有.但是，，，即不成立，所以，“”不是“”成立的必要條件.綜上所述，“”是“”成立的既不充分也不必要條件.故選：D.8.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式判斷得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，列出方程推得，然后根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，求解即可得出答案．【詳解】x∈R，所以為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，可得，即，又，，所以，當且僅當即等號成立.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵點是根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性得出.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知、是夾角為的單位向量，．下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.在方向上的投影數(shù)量為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量的模計算公式求，判斷選項A；利用數(shù)量積的運算律，判斷選項B；求出，求解，判斷選項C；根據(jù)投影數(shù)量計算公式，判斷選項D．【詳解】對于A，，是夾角為的單位向量，則，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由A得，，所以，又，所以，C錯誤；對于D，在上的投影數(shù)量為，D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為2B.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心C.將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】先將化簡為，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷4個選項即可.【詳解】，故最小正周期為，A錯誤；，點是一個對稱中心，B正確；向左平移個單位長度得到，關(guān)于軸對稱，C正確；，單調(diào)遞減，D錯誤.故選：BC.11.已知曲線與直線分別相切于點，與直線分別相切于點，且相交于點，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，對其整理即可判斷AB；對于C：可知fx,gx的圖象關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱可得，利用基本不等式分析判斷；對于D：整理可得，且，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可判斷.【詳解】設(shè)，則，可知，即，對于選項A：由，整理得，若，則，不滿足，不合題意，所以，故A正確；對于選項B：把，代入，即，整理得，故B錯誤；對于選項C：因為，且fx,gx的圖象關(guān)于直線所以點A關(guān)于直線對稱點為，可得，所以，故C正確；對于選項D：因為直線關(guān)于直線對稱，則點就是直線與直線的交點，聯(lián)立方程，可得，即，可得，因為，且，則，由整理可得，令，可知為Fx在1,+∞內(nèi)的零點，且，因為，則，可得，可知Fx在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且可知Fx在1,+∞內(nèi)有唯一零點，且，設(shè)，則，可知hx在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)對稱性分析可知：點就是直線與直線的交點，進而可得，放縮證明即可判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.設(shè)，集合，則______【答案】0【解析】【分析】根據(jù)可知，故.【詳解】由可知，又，故.故答案為：013.已知函數(shù)兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，根據(jù)一元二次方程根的分布可得結(jié)果.【詳解】橢圓離心率，雙曲線離心率.由題意得，.∵函數(shù)兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，∴，解得.故答案為：.14.若不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為__________【答案】【解析】【分析】利用在上單調(diào)遞增，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值得的取值范圍，再得的最小值.【詳解】令，易知在上單調(diào)遞增，由得，即可得，即，所以，即，令，則，易得，，即在上單調(diào)遞增，當，，即在上單調(diào)遞減，可得在處取得極大值，也是最大值；因此，可得.即實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)利用函數(shù)同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)果.四．解答題:本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.15.在三角形中，角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若三角形為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，利用兩角和的正切公式結(jié)合題目條件可得，根據(jù)的范圍可得結(jié)果.（2）由正弦定理得，由得，由三角形為銳角三角形可得的范圍，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴，∴，即，∵，故，又，∴，∵，∴.【小問2詳解】由（1）和正弦定理得，∵為銳角三角形，∴，解得，∴，∴.16.設(shè)函數(shù)（1）分析的單調(diào)性和極值；（2）設(shè)，若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍；【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后注意到，進而得到，，再驗證充分性；【小問1詳解】易知函數(shù)fx=xln令，解得，當時，，單調(diào)遞減時，，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值.【小問2詳解】對任意的，都有成立，即對任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當時，因為單調(diào)遞增，則當時，恒成立，所以時單調(diào)遞增，故；故實數(shù)的取值范圍為.17.我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團隊經(jīng)過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達到領(lǐng)先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專利；（1）在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間上x(月)和該產(chǎn)品的厚度y(nm)進行統(tǒng)計，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？（2）某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競爭壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：方案一：直接售賣，則每條生產(chǎn)線可賣6萬元；方案二：先花22萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進行改造，使其達到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣20萬元；若改造失敗，則賣價為0萬元.①設(shè)3條老舊生產(chǎn)線中改造成功的生產(chǎn)線條數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案可能更為有利？并說明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和縱截距的最小二乘法估計的計算公式為，．【答案】（1），13nm（2）①分布列見解析，；②方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，則，利用回歸直線公式可得，則關(guān)于的回歸方程為，可以估計該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm；（2）①由已知，可得，分別求出X取值時的概率，即可列出分布列，進而求出數(shù)學(xué)期望；②分別計算兩種方案的收益，比較即得.【小問1詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，所以可以估計該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm．【小問2詳解】X的取值為，因為每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨立，所以，所以；；；；所以的分布列為0123所以．②當實施方案一時，設(shè)3條生產(chǎn)線的賣價為萬元，則；當實施方案二時，設(shè)3條生產(chǎn)線的賣價為萬元，則，所以的數(shù)學(xué)期望．因為，所以該企業(yè)應(yīng)選擇方案二售賣可能更為有利．18.已知正項數(shù)列，為其前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由，求出，再利用與的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消求數(shù)列的前項和為，再比較與的大小關(guān)系即可證明.【小問1詳解】由，則在正項數(shù)列中，當時，，整理得，即，所以，當時，，兩式相減得，當時，，符合要求，故．【小問2詳解】由（1）可得，則.19.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（i），（ii）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，的周長為8，離心率為，結(jié)合橢圓標準方程的定義，求解即可；（2）（i）由（1）知，點，傾斜角為，故直線設(shè)為：，與聯(lián)立求得，，再以為坐標原點，折疊后原軸負半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，再求異面直線和所成角的余弦值即可；（ii）根據(jù)題意得到，設(shè)折疊前，，直線與橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，在折疊后的圖形中建立空間直角坐標系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負半軸為軸），設(shè)，在新圖形中對應(yīng)點記為，，，，得到，結(jié)合，得到的值．【小問1詳解】因為的周長為8，離心率為，所以，即，，，所以橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】由（1）知，點，傾斜角為，故直線設(shè)為：，（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程