湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第1章直角三角形測(cè)試題及答案

第第頁(yè)湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章測(cè)試卷評(píng)卷人得分一、單選題1．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C(∠C除外)相等的角的個(gè)數(shù)是()A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A＝30°，BD＝2，則AD的長(zhǎng)度是()A．6 B．8 C．12 D．163．如圖，AB＝AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE，CF交于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中不正確的是()A．△ABE≌△ACF B．點(diǎn)D在∠BAC的平分線上C．△BDF≌△CDE D．D是BE的中點(diǎn)4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺規(guī)作圖的方法作線段AD和線段DE，保留作圖痕跡如圖所示，認(rèn)真觀察作圖痕跡，則△BDE的周長(zhǎng)是()A．8 B．5 C． D．105．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為32，則符合題意的點(diǎn)P有(A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)評(píng)卷人得分二、填空題6．若一個(gè)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為20，則斜邊長(zhǎng)為________．7．如圖，∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，PC∥OB，交OA于點(diǎn)C，CD⊥OB于點(diǎn)D.若PC＝3，則CD的長(zhǎng)為________．8．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為5∶12∶13，且周長(zhǎng)為60cm，則它的面積為________cm2.9．如圖，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要添加的條件是________或________．10．三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足(a+b)2=c2+2ab，則這個(gè)三角形是_______．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，則BE的長(zhǎng)為_____．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AB邊的中點(diǎn)，連接ME，MD，ED.設(shè)AB＝4，∠DBE＝30°，則△EDM的面積為________．評(píng)卷人得分三、解答題13．如圖，∠ACB＝∠CDE＝90°，B是CE的中點(diǎn)，∠DCE＝30°，AC＝CD.求證：AB∥DE.14．某地管轄A，B，C，D四個(gè)鎮(zhèn)，其中C，A，D三個(gè)鎮(zhèn)在一條直線上，相互兩鎮(zhèn)之間的公路里程如圖所示，由于大山阻隔，原來(lái)從A，C兩鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)都需繞到B鎮(zhèn)前往．為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，縮短A，C兩鎮(zhèn)到D鎮(zhèn)的路程，現(xiàn)決定開鑿隧道修通A，C兩鎮(zhèn)直達(dá)D鎮(zhèn)的公路AD.公路修通后從A鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)的路程比原來(lái)縮短了多少千米？(參考數(shù)據(jù)：＝32，≈46.65)15．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點(diǎn)D，連接AD.(1)請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；(2)若BC＝10，求AB＋AE的長(zhǎng)．16．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB邊的中點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，CD平分∠ACB.(1)求證：∠1＝∠2；(2)過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，BE.求證：CM＝EM.17．如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.(1)求證：AF＋EF＝DE.(2)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并直接寫出(1)中的結(jié)論是否仍然成立．(3)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出AF，EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．參考答案1．A【解析】【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結(jié)合題目條件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．【詳解】解：∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，

∴∠C=∠BDF=∠BAD，

∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，

∴∠C=∠ADE，

∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個(gè)數(shù)是3，

故選A．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用已知條件得出等角的余角相等，利用平行線的性質(zhì)得出角相等.2．A【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC、AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD=AB-BD計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，AB=2BC=2×4=8，∴AD=AB-BD=8-2=6．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．做題時(shí)，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．【詳解】∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS)，正確；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，正確；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，正確；D.無(wú)法判定，錯(cuò)誤；故選D.4．D【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，根據(jù)尺規(guī)作圖可知AD平分∠CAB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=45°，

由尺規(guī)作圖可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB=90°，

∴DE=DC，又∠B=45°，

∴DE=BE，

∴△BDE的周長(zhǎng)=BD+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和基本尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．5．A【解析】試題解析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=42，CD=22，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=AEAB∴AE=AB?sin∠ABD=42?sin45°=4＞3，CF=22CD═2＜3，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為3的點(diǎn)2故選A．6．40【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：直角三角形斜邊等于斜邊上的中線的2倍，即40．故答案為:40【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)．7．【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠AOP=∠BOP，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OPC=∠BOP，然后求出∠AOP=∠OPC，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得OC=PC，然后利用直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得CD=OC．【詳解】解：∵OP是∠AOB的平分線，

∴∠AOP=∠BOP，

∵PC∥OB，

∴∠OPC=∠BOP，

∴∠AOP=∠OPC，

∴OC=PC=3，

∵∠AOB=30°，CD⊥OB，

∴CD=OC=．

故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行線是性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題關(guān)鍵．8．120【解析】【詳解】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用由題意設(shè)三邊長(zhǎng)分別為、、，根據(jù)周長(zhǎng)即可求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否為直角三角形，即可求出面積。設(shè)三邊長(zhǎng)分別為、、，由題意得，解得，則三邊長(zhǎng)分別為、、，，所以這是一個(gè)直角三角形，9．AC＝ADBC＝BD【解析】【分析】本題要判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具備了一組邊、一組角相等，故添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC后可分別根據(jù)AAS、HL判定三角形全等．【詳解】解：添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC．∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB（∠CBA=∠DBA），AB=AB∴△ABC≌△ABD（AAS）；∵∠C=∠D=90°，AB=AB（AD=AC），BD=BC∴△ABC≌△ABD（HL）．故答案為:BC=BD或AC=AD．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．10．直角三角形【解析】【分析】對(duì)等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀．【詳解】解：化簡(jiǎn)（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故答案為:直角【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定：用勾股定理的逆定理判定．11．【解析】試題分析：因?yàn)椤螦BC=90°，AB=3，AC=5，所以由勾股定理可得：BC=4，設(shè)BE=x，由折疊可得：BE=B′E=x，∠CB′E=90°，AE=AB′=3，所以CE=4-x，CB′=5-3=2，由勾股定理可得：所以解得：x=．考點(diǎn)：勾股定理、圖形折疊的性質(zhì)．12．【解析】試題分析：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分別是它們斜邊上的中線，∴EM=DM=AB，∵M(jìn)E=AB=MA，∴∠MAE=∠MEA，∴∠BME=2∠MAE，同理，MD=AB=MA，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BMD=2∠MAD，∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC=60°，所以△DEM是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以S△DEM=．故答案為．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．13．證明見解析【解析】【分析】首先根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得，再由，可得DE=CB，再有條件AC=CD，∠ACB=∠D，可證明△ABC≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠E，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵∠CDE=90°，∠DCE=30°∴∵B是CE的中點(diǎn)，∴∴DE=CB在△ABC和△CED中∴△ABC≌△CED∴∠ABC=∠E∴AB∥DE.14．公路修通后從A鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)的路程比原來(lái)縮短了32千米．【解析】【分析】首先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，在直角△ABD中利用勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，則公路修通以后從A到D比原來(lái)縮短的路程即可求解．【詳解】∵AC2＋AB2＝102＋242＝676，BC2＝262＝676，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°－∠BAC＝90°.在Rt△ABD中，AD＝＝＝32(千米)，則公路修通以后從A鎮(zhèn)到D鎮(zhèn)的路程比原來(lái)縮短了24＋40－32＝32(千米)．答：公路修通后從A鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)的路程比原來(lái)縮短了32千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是正確證明△ABC是直角三角形．15．(1)見解析；(2)AB＋AE＝10.【解析】【分析】(1)如圖，根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE為等腰三角形；由角平分線的性質(zhì)可知AE=DE，由此得到△AED為等腰三角形；同理可得△ABD為等腰三角形；

(2)由于△AED為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的長(zhǎng)．【詳解】(1)如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠7＝∠C＝45°，∴DE＝DC，故△DCE為等腰直角三角形．∵BE是△ABC的角平分線，∠BAC＝∠BDE＝90°，∴AE＝DE，∴△ADE為等腰三角形．∵BE是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴AB＝DB，∴△ABD為等腰三角形．故圖中所有的等腰三角形為△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共4個(gè)．(2)由(1)可知△ADE為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，△DCE為等腰三角形，故AB＝DB，AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝DB＋DC＝BC＝10.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)及等量代換的應(yīng)用是正確解題關(guān)鍵．16．（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】試題分析：（1）由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，我們只需證∠ACM=∠BCH就可得∠1=∠2；而由CM是Rt△ABC斜邊上的中線易得AM=CM，由此可得∠ACM=∠A，而由已知易證∠A=∠BCH，從而可得∠ACM=∠BCH；（2）由CH⊥AB，ME⊥AB可得ME∥CH，由此可得∠E=∠1=∠2，就可得CM=M