四川省眉山市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024級高一上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合交集的概念，解方程組即可得解.【詳解】令或，所以.故選：B.2.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判定方法，結(jié)合定義域和對應(yīng)法則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)與的定義域不同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)和，兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個函數(shù)是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：B3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)具體函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域，即可求解.【詳解】由題意可知，，解得：，所以函數(shù)的定義域為.故選：D4.下列函數(shù)中，值域為的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)值域的求解方法求解.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，，因為，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故C錯誤；對于D，因為，所以，故，過于，故D錯誤.故選：B5.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】A利用不等式的基本性質(zhì)判斷；B、C、D、利用特殊值判斷.【詳解】A.因為，所以，則，故正確；B.當(dāng)時，，故錯誤；C.當(dāng)時，，故錯誤；D當(dāng)時，，故錯誤；故選：A6.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解.【詳解】解：因為不等式的解集為，所以，解得，故選：C7.對，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，我們把，叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯（Gaussian）函數(shù)，也有數(shù)學(xué)愛好者形象的稱其為“地板函數(shù)”，早在十八世紀(jì)，人類史上偉大的數(shù)學(xué)家，哥廷根學(xué)派的領(lǐng)袖約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedriChGaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函數(shù)”．在現(xiàn)實生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，如停車收費、EXCEL電子表格，在數(shù)學(xué)分析中它出現(xiàn)在求導(dǎo)、極限、定積分、級數(shù)等等各種問題之中．則不等式成立的充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，確定，對比選項得到答案.【詳解】，則，故或，，對比選項知：成立的一個充分必要條件是，其他選項不滿足.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對，，當(dāng)，且時，成立，若對任意恒成立，則實數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，分類討論當(dāng)時，得到，利用基本不等式，當(dāng)時，符合題意，即可得出答案．【詳解】解：函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)，且時，成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又對任意恒成立，則對任意恒成立，當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，，即實數(shù)的取值范圍為，故D正確，A、B、C錯誤．故選：D．二、多選題本題共4小題：每小題6分，共24分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)是在上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值可以是（）A.4 B.5 C. D.7【答案】AB【解析】【分析】分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在函數(shù)和均單調(diào)遞減，且，得的范圍即可.【詳解】解：因為函數(shù)是在R上的減函數(shù)，所以，解之得，所以的取值可以是4，5.故選：AB.10.有下列幾個命題，其中正確的是（）A.函數(shù)y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是減函數(shù)C.函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間是[－2，＋∞)D.已知函數(shù)g(x)＝是奇函數(shù)，則f(x)＝2x＋3【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)簡單函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，即可容易判斷和選擇.【詳解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上遞增知，函數(shù)y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故A正確；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是減函數(shù)，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是減函數(shù)，如－2<0，但故B錯誤；y＝在上無意義，從而在[－2，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯誤；設(shè)x<0，則－x>0，g(－x)＝－2x－3，因為g(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正確．故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷以及利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，屬中檔題.11.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對于任意，，若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.C.在上單調(diào)遞減 D.若正數(shù)滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷、的單調(diào)性判斷AC，根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】對于任意，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項A正確；因為的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，所以，由在上單調(diào)遞增，所以，故選項B正確；對于任意，，因為，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；，即，又，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，即，故選項D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則的圖象過定點__________.【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)概念知系數(shù)必為1，再由冪函數(shù)遞增知冪指數(shù)大于0，從而解得，再利用指數(shù)函數(shù)必過點0,1來求出函數(shù)過的定點.【詳解】由冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增可知：，解得，則，此時當(dāng)時，，所以則的圖象過定點，故答案為：.13.______.【答案】##8.5【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】.故答案為：14.已知中有且僅有一個元素，則的最小值為___.【答案】##【解析】【分析】先利用題給條件求得之間的關(guān)系，再利用均值定理即可求得M的最小值.【詳解】當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，由中有且僅有一個元素，可得，且，則，則令，則，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）則的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.使不等式對一切實數(shù)x恒成立的k的取值范圍記為集合A，集合．（1）求集合A；（2）若“”是“的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）m的取值范圍為.【解析】【分析】（1）由題設(shè)不等式恒成立有恒成立，即可求k范圍，由此確定集合A；（2）根據(jù)必要不充分條件的定義可得，分別在和條件下列不等式求m的取值范圍．.【小問1詳解】因為對一切實數(shù)x恒成立，所以，所以，即.【小問2詳解】因為“”是“的必要不充分條件，所以，又，當(dāng)時，即時，，滿足關(guān)系，，所以，當(dāng)時，即時，，由，可得且，又，所以，當(dāng)時，，符合要求，所以m的取值范圍為.16.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）解不等式．【答案】（1），（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由已知得，求出，的值，即可求得函數(shù)的解析式，再檢驗即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，解得，經(jīng)檢驗，時，，所以是上的奇函數(shù)，滿足題意，又，解得，故，；小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，則，因為且，所以，，，，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】因為為奇函數(shù)，所以，由（2）可知在上單調(diào)遞增所以，解得，即不等式的解集為.17.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．（1）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，請根據(jù)條件將圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）寫出函數(shù)的解析式；（3）若關(guān)于的方程有4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（只需寫出結(jié)論）（4）求函數(shù)y=fx在時的值域．【答案】（1）圖象見解析，（2）（3）（4）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得函數(shù)的完整圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)解析式.（3）結(jié)合圖象，可得方程有4個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)的取值范圍.（4）分類討論，弄清函數(shù)在上的單調(diào)性，求函數(shù)值域.【小問1詳解】函數(shù)的圖象如圖：單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以.設(shè)，則，所以所以當(dāng)時，.的解析式為.【小問3詳解】關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根，等價于與的圖象有個交點結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，與的圖象有個交點所以.【小問4詳解】當(dāng)時，在單調(diào)遞減，而，最小值為∴的值域為當(dāng)時，在單調(diào)上遞減，在上單調(diào)遞增所以最小值為1，<=0∴的值域為當(dāng)時，在單調(diào)上遞減，在上單調(diào)遞增所以最小值為1，最大值為∴的值域為綜上可得的值域為：當(dāng)時，值域為；當(dāng)，值域為當(dāng)時，值域為.18.已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）．【解析】【分析】（1）因為是定義域為上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）先根據(jù)定義法判斷的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可求解不等式的解集；（3）因為，令，可得，分別討論和，即可求得的值.【詳解】（1）是定義域為上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定義為在上任取，且，即在上單調(diào)遞增，可化簡為：，即，解得或．不等式的解集為．（3）．令，則．，．當(dāng)時，則當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，則當(dāng)時，，解得，(舍去)．綜上所述，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式和根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟和根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19.設(shè)函數(shù)．（1）若，且集合中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值集合；（2）時，求不等式的解集；（3）當(dāng)時，記不等式的解集為，集合，若對于任意正數(shù)，，求的最大值．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況即可求解.（2