2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2024?渾南區(qū)校級模擬）函數(shù)f（x）＝emx+（m﹣1）x﹣lnx（m∈R）．若對任意x＞0，都有f（x）≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．[1e，+∞) B．[﹣e C．[e2，+∞)2．（2024?遼寧模擬）若a＝1.01+sin0.01，b＝1+ln1.01，c＝e0.01，則（）A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b3．（2024?蘇州模擬）考慮從1到2024的所有正整數(shù)．我們作一個(gè)2024×2024的數(shù)表T，使得若i為j的倍數(shù)，則在（i，j）位置填入1，否則填為0，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知ln2024≈7.613）A．13000 B．14000 C．15000 D．160004．（2024?黔東南州模擬）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：s）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)t＝π時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）A．33006πcm/s BC．31503πcm/s 5．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+2sinx1+x2，則曲線y＝f（A．16 B．13 C．12 6．（2024?海淀區(qū)一模）函數(shù)f（x）是定義在（﹣4，4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f（3）＝0．設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f（x+1）?f′（x）≥0的解集是（）A．[0，2] B．[﹣3，0]∪[3，4） C．（﹣5，0]∪[2，4） D．（﹣4，0]∪[2，3）7．（2024?新疆模擬）過點(diǎn)（1，4）且與曲線f（x）＝x3+x+2相切的直線方程為（）A．4x﹣y＝0 B．7x﹣4y+9＝0 C．4x﹣y＝0或7x﹣4y+9＝0 D．4x﹣y＝0或4x﹣7y+24＝08．（2024?云南模擬）已知函數(shù)f(x)=a2x2-x(lnx-b-1)，a，b∈R，且f（x）在區(qū)間（A．0 B．1e C．ln2 D．﹣9．（2024?江蘇模擬）若命題：“?a，b∈R，使得a﹣cosb≤b﹣cosa”為假命題，則a，b的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b10．（2024?石嘴山模擬）若f(x)=ln(x2+1)-1|x|，設(shè)a＝f（﹣3），b＝f（ln2），c＝f（20.3），則aA．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?渾南區(qū)校級模擬）函數(shù)f（x）＝emx+（m﹣1）x﹣lnx（m∈R）．若對任意x＞0，都有f（x）≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．[1e，+∞) B．[﹣e C．[e2，+∞)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)條件得到emx+mx≥elnx+lnx恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）＝ex+x，利用h（x）＝ex+x的單調(diào)性，得到m≥lnxx在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=【解答】解：因?yàn)閒（x）＝emx+mx﹣x﹣lnx＝emx+mx﹣（elnx+lnx），因?yàn)閷θ我鈞＞0，都有f（x）≥0，即emx+mx≥elnx+lnx恒成立，令h（x）＝ex+x，易知h（x）＝ex+x在定義域上單調(diào)遞增，所以mx≥lnx在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，也即m≥lnxx在區(qū)間（0，+令g(x)=lnxx，則g'(x)=1-lnxx2，由g′（x）＞0，得到0＜x＜e，由g′（x即g(x)=lnxx在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，所以g(x)≤lnee故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．2．（2024?遼寧模擬）若a＝1.01+sin0.01，b＝1+ln1.01，c＝e0.01，則（）A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)f（x）＝1+x+sinx﹣ex，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到f（x）＝1+x+sinx﹣ex在區(qū)間(0，12)上單調(diào)遞增，從而得出c＜a，構(gòu)造函數(shù)G（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到G（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，從而得出【解答】解：令f（x）＝1+x+sinx﹣ex，則f′（x）＝1+cosx﹣ex，令h（x）＝1+cosx﹣ex，則h′（x）＝﹣sinx﹣ex＜0在區(qū)間(0，1即f′（x）在區(qū)間(0，12而(1+32)即f（x）＝1+x+sinx﹣ex在區(qū)間(0，12)上單調(diào)遞增，所以f（0）＜得到0＜1.01+sin0.01﹣e0.01，即e0.01＜1.01+sin0.01，所以c＜a，令G（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，則G'(x)=ex-1x+1，當(dāng)x∈（0，1即G（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，所以G（0）＜G（0.01），得到0＜e0.01﹣ln1.01﹣1，即1+ln1.01＜e0.01，所以b＜c，綜上所述，b＜c＜a．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024?蘇州模擬）考慮從1到2024的所有正整數(shù)．我們作一個(gè)2024×2024的數(shù)表T，使得若i為j的倍數(shù)，則在（i，j）位置填入1，否則填為0，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知ln2024≈7.613）A．13000 B．14000 C．15000 D．16000【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】將命題轉(zhuǎn)化為計(jì)算i=12024[2024i]【解答】解：設(shè)N(i，j)=1設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則對i＝1，2，3，…，2024，在1，2，3，…，2024中有[2024i]所以j=12024故數(shù)表中的數(shù)之和為i=12024由于對1013≤i≤2024有[2024對675≤i≤1012有[2024對507≤i≤674有[2024對405≤i≤506有[2024對338≤i≤404有[2024對290≤i≤337有[2024對254≤i≤289有[2024對225≤i≤253有[2024對203≤i≤224有[2024對185≤i≤202有[2024對169≤i≤184有[2024對156≤i≤168有[2024對145≤i≤155有[2024對135≤i≤144有[2024對127≤i≤134有[2024對120≤i≤126有[2024故i=1202024[2024i]=1012+338?2+168?3+102?4+67?5+48?6+36?7+29?8+22?9+18?10+16?11+13?12+11?13+10＝4932．同時(shí)有i=120＝7274．最后，設(shè)f（x）＝x﹣ln（1+x），則f'令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜0，令f′（x）＞0，解得x＞0，故f（x）在（﹣1，0]上遞減，在[0，+∞）上遞增，從而f（x）≥f（0）＝0．所以對大于1的正整數(shù)i，由f(1i)≥0有1由f(-1i)≥0有所以有i=21119i=21119從而i=12024且i=12024而ln11920＜故i=12024[2024因此15500＜i=12024[2024故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于對目標(biāo)的表達(dá)式分為三段，每段需用不同的方式進(jìn)行處理，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．4．（2024?黔東南州模擬）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：s）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)t＝π時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）A．33006πcm/s BC．31503πcm/s 【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：設(shè)注入溶液的時(shí)間為t（單位：s）時(shí)，溶液的高為hcm，則13π?(因?yàn)閔'=133150πt2，所以當(dāng)故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+2sinx1+x2，則曲線y＝f（A．16 B．13 C．12 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再結(jié)合切點(diǎn)，求出切線方程，即可求解．【解答】解：f（x）=e則f'（x）=(故f'（0）＝3，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線為y＝3x+1，令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x=-故所求三角形的面積為S=1故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?海淀區(qū)一模）函數(shù)f（x）是定義在（﹣4，4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f（3）＝0．設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f（x+1）?f′（x）≥0的解集是（）A．[0，2] B．[﹣3，0]∪[3，4） C．（﹣5，0]∪[2，4） D．（﹣4，0]∪[2，3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)﹣4＜x≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f′（x）≤0，當(dāng)0≤x＜4時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f′（x）≥0，由f（x+1）?f′（x）≥0可得，f(x+1)≥0f'(x)≥0即3≤x+1＜解得，2≤x＜3或﹣4＜x≤0．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?新疆模擬）過點(diǎn)（1，4）且與曲線f（x）＝x3+x+2相切的直線方程為（）A．4x﹣y＝0 B．7x﹣4y+9＝0 C．4x﹣y＝0或7x﹣4y+9＝0 D．4x﹣y＝0或4x﹣7y+24＝0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】設(shè)過點(diǎn)P（1，4）的切線與曲線y＝f（x）相切于點(diǎn)A（x0，x30+x0+2），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求出x0，即可得解．【解答】解：設(shè)過點(diǎn)P（1，4）的切線與曲線y＝f（x）相切于點(diǎn)A（x0，x30+x0+2），由f（x）＝x3+x+2，得f′（x）＝3x20+1，∴過切點(diǎn)的切線方程為y﹣4＝（3x20+1）（x﹣1），將切點(diǎn)坐標(biāo)A（x0，x30+x0+2）代入上式得，x30+x0+2﹣4＝（3x20+1）（x0﹣1），整理得2x30﹣3x20+1＝0，解得x0＝1或x0=-當(dāng)x0＝1時(shí)，f′（x0）＝3x20+1＝4，切線方程為4x﹣y＝0，當(dāng)x0=-12時(shí)，f′（x0）＝3x20+1=74，切線方程為7x﹣4故選：C．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．8．（2024?云南模擬）已知函數(shù)f(x)=a2x2-x(lnx-b-1)，a，b∈R，且f（x）在區(qū)間（A．0 B．1e C．ln2 D．﹣【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為ax+b≥lnx在（0，+∞）上恒成立，對于使得2a+b取得最小值時(shí)，直線y＝ax+b和函數(shù)y＝lnx的圖象相切，求得y＝lnx上的一點(diǎn)（x0，lnx0）的切線方程為y=1x0x+lnx【解答】解：由f(x)=a2x2-x(lnx-b-1)所以f′（x）＝ax+b﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，即ax+b≥lnx在（0，+∞）上恒成立，對于使得2a+b取得最小值時(shí)，直線y＝ax+b和函數(shù)y＝lnx的圖象相切，又由y＝lnx，可得y'=1可得y＝lnx在點(diǎn)（x0，lnx0）的切線為y-lnx令a=1x0令g(x)=2x+lnx-1(x當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（2）＝ln2，所以2a+b的最小值為ln2．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．9．（2024?江蘇模擬）若命題：“?a，b∈R，使得a﹣cosb≤b﹣cosa”為假命題，則a，b的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；存在量詞和存在量詞命題．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】由題意得，?a，b∈R，使得a﹣cosb＞b﹣cosa，即a+cosa＞b+cosb恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x+cosx，x∈R，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可判斷．【解答】解：若命題：“?a，b∈R，使得a﹣cosb≤b﹣cosa”為假命題，則?a，b∈R，使得a﹣cosb＞b﹣cosa，即a+cosa＞b+cosb恒成立，令f（x）＝x+cosx，x∈R，則f′（x）＝1﹣sinx≥0，即f（x）在R上單調(diào)遞增，由f（a）＞f（b），可得a＞b．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了含有量詞的命題真假關(guān)系的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?石嘴山模擬）若f(x)=ln(x2+1)-1|x|，設(shè)a＝f（﹣3），b＝f（ln2），c＝f（20.3），則aA．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可比較a，b，c的大?。窘獯稹拷猓阂椎胒(x)=ln(x當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ln（1+x2）-1因?yàn)閍＝f（﹣3）＝f（3），且3＞20.3＞1＞ln2，故f（3）＞f（20.3）＞f（ln2），所以a＞c＞b．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．存在量詞和存在量詞命題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號：?特稱命題：含有存在量詞的命題．符號：“?”．存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．命題全稱命題?x∈M，p（x）特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②對一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立③對每一個(gè)x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立【解題方法點(diǎn)撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，對命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對“若p則q”形式的命題而言，既要否定條件，也要否定結(jié)論．常見詞語的否定如下表所示：詞語是一定是都是大于小于詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于詞語且必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立詞語的否定或一個(gè)也沒有至多有n﹣1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立【命題方向】本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中．2．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】對于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會貫通，靈活運(yùn)用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）=a-2x2x解：由題意可知，f（x）的定義域?yàn)镽，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）=a-2x2x+1=-f【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識點(diǎn)．3．瞬時(shí)變化率【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化f（x2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x1+△x)-f(x1【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處附近平均變化率的極限：x→【命題方向】常見題型包括計(jì)算函數(shù)在特定點(diǎn)上的瞬時(shí)變化率，分析實(shí)際問題中的瞬時(shí)變化率．函數(shù)f(x)=-6x在x＝1解：函數(shù)f（x）在x＝1處的瞬時(shí)變化率為limΔx→0故答案為：6．4．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求證：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n25．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞