（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)05三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)（教師版）

第05課三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)考點(diǎn)01：三角函數(shù)的定義域、值域【例1】已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒有.【答案】(1)的最小正周期為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)證明見解析【詳解】（1）函數(shù)，∴函數(shù)的最小正周期，令，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，∴即當(dāng)時(shí)，恒成立，得證.【變式1】函數(shù)的最小值是______．【答案】【詳解】函數(shù)，令，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.故答案為：解得，故選：D【變式2】函數(shù)，的值域是______.【答案】【詳解】，且，，，，因此函數(shù)在的值域是.故答案為：.考點(diǎn)02：由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【例2】設(shè)函數(shù)，已知，當(dāng)______時(shí)，的最小值為-2，此時(shí)______.【答案】【詳解】.∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為，∴.故答案為：；【變式3】已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上存在最大值，所以在區(qū)間上存在最小值，由，得，所以，即.故答案為：【變式4】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是______.

【答案】【分析】由，推出，從而知，再由，求得的取值范圍，并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解．【詳解】由圖知，所以，因?yàn)?，所以，即，由，知，因?yàn)樵谏锨∮幸粋€(gè)最大值和一個(gè)最小值，所以，解得．故答案為：．考點(diǎn)03：求三角函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性【例3】（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為D．在單調(diào)遞減【答案】ABD【詳解】函數(shù)，最小正周期為，A選項(xiàng)正確；由，解得圖像的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，B選項(xiàng)正確；，不是的零點(diǎn)，C選項(xiàng)不正確；時(shí)，有，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，所以在單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【變式5】（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：的最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A符合題意；對(duì)于B：，將在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對(duì)于C，的最小正周期，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，，的最小正周期，，則在區(qū)間上有增有減，故D不正確.故選：AC.【變式6】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為－2B．的單調(diào)增區(qū)間為，C．的對(duì)稱中心為，D．若為偶函數(shù)，則最小值是【答案】BD【分析】根據(jù)二倍角的正弦余弦公式和輔助角公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，可得的最小值為，故A錯(cuò)誤；由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，，故B正確；由，得，所以的對(duì)稱中心為，，故C錯(cuò)誤；若為偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，所以，解得，可得最小值是，故D正確.故選：BD.考點(diǎn)04：解三角不等式【例4】在中，是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】在中，，則或，故推不出，可推出，則在中，是的必要不充分條件，故選：B.【變式7】求函數(shù)的定義域?yàn)開________．【答案】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式組，再利用正余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】函數(shù)有意義，則，即，解，得，解，得，于是，所以所求定義域?yàn)?故答案為：考點(diǎn)05：根據(jù)單調(diào)求參數(shù)【例5】函數(shù)的最小正周期為________，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.【答案】【詳解】函數(shù)的最小正周期.由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，則，則，即的最大值為.【變式8】（多選）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則以下（

）可能是的值.A． B．4 C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)的對(duì)稱中心和單調(diào)性列不等式，求得的范圍，從而確定正確答案.【詳解】由于關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，①.由于，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以在上遞減，，所以②.由①②得，所以或或，所以，或，或.故選：ABC【變式9】（多選）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】方法一：首先求得，由在上單調(diào)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合可確定所有可能的取值，由此可得的范圍，進(jìn)而確定選項(xiàng)；方法二：利用誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)得到，得到，根據(jù)，可確定，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得的范圍，進(jìn)而確定選項(xiàng).【詳解】方法一：當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；綜上所述：.方法二：，當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)，，；由，知：或，解得：或，.故選：AC.考點(diǎn)06：根據(jù)對(duì)稱求參數(shù)【例6】若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，則ω的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閰^(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，故，解得.故選：D【變式10】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為________．【答案】【分析】代入余弦函數(shù)的零點(diǎn)滿足的公式判斷即可.【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：【變式11】（多選）已知函數(shù)在上單調(diào)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．的最小正周期為B．C．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以的最小正周期滿足，即，所以.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，得，，由，得，因?yàn)?，所以?所以.對(duì)于A，的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，，所以，故B不正確；對(duì)于C，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為為偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，令，得，令，由，得，作出函數(shù)與直線的圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD考點(diǎn)07：由圖象確定三角函數(shù)解析式【例7】（多選）如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，所以，解得，因?yàn)椋?，即，所以A正確，B不正確；又由，所以C正確；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，所以函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.故選：ACD.【變式12】（多選）已知是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)的圖象是函數(shù)圖象的一部分(如圖所示)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，取得最大值C．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為D．當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)和【答案】BCD【詳解】由圖得，且位于增區(qū)間上，所以，又因?yàn)椋?，，則，得，所以，所以，由圖可知，原點(diǎn)右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)為，所以的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樽畲笾担瑒t當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；當(dāng)時(shí)，，令，得或，則或，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)和，故D正確.故選：BCD.考點(diǎn)08：描述三角函數(shù)的變換過程【變式8】已知函數(shù)的部分圖象如下所示，其中，為了得到的圖象，需將（

）A．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍D．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍【答案】D【詳解】依題意，，解得，故，則，而2，故，而，故.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到.故選：D.【變式13】（多選）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到，故A正確；將向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到，故B正確；將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得到，再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故C錯(cuò)誤；將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到，再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D正確；故選：ABD【變式14】已知函數(shù)的最小正周期為T．若，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到偶函數(shù)的圖象，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】由題知，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即．又，所以．因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，即，解得．所以，所以．故選：A．考點(diǎn)9：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例9】已知函數(shù)，，(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在閉區(qū)間上的最大值和最小值；(3)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和．【答案】(1)；(2)最小值為，最大值為；(3)【詳解】（1）函數(shù).令解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）由（1）得，由于，所以，所以，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取最大值，最大值為.（3）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，令，，即，整理得，即或，當(dāng)時(shí)，或，即，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；故所有零點(diǎn)之和為．【變式15】（多選）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為 D．方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】ACD【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，所以的最小正周期為，則是的半個(gè)最小正周期，又是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，所以，即，，解得，，因?yàn)?，所以，故，的最小正周期，故A正確；令，，解得，，即的遞增區(qū)間為，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；，所以，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；當(dāng)時(shí)，令，則、、、、，即方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：ACD.三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋运笞钚≌芷跒?故選：C.2.若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，取得最值，所以，得，對(duì)于A，若，則，解得，不合題意，對(duì)于B，若，則，解得，不合題意，對(duì)于C，若，則，解得，題意，對(duì)于D，若，則，解得，不合題意，故選：C3.為了得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【詳解】易知，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：D．4.已知向量，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄?.所以.對(duì)于A，把代入得，沒有取得最值，所以不成立.對(duì)于B，把代入得，所以不成立.對(duì)于C，由于周期,所以不成立.對(duì)于D，因?yàn)?，又，所以在上是增函?shù).故選：D.5.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒tα的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由，令，得：，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)椋院瘮?shù)為遞增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即時(shí)，，使函數(shù)的值域?yàn)?，所以由余弦函?shù)圖象與性質(zhì)可知，，所以的取值范圍是：．故選：A6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，,解得：，因?yàn)?，故，而，故，?故選：C7.函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【詳解】，，則，，故.故答案為：8.已知函數(shù)的部分圖象如圖．

(1)求的表達(dá)式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到函數(shù)的圖