2023-2024學(xué)年廣東省深圳市中科實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題中科實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每題3分）1.下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列各式：，，，，，其中分式共有幾個(gè)（）A. B. C. D.3.下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）A. B.C. D.4.下列結(jié)論中，不正確的是（）A.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形B.對角線相等的平行四邊形是矩形C.菱形的面積等于對角線乘積的一半D.一組對邊平行，一組對邊相等四邊形是平行四邊形5.如圖，已知是菱形的對角線，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的周長相等 B.菱形的周長等于兩條對角線長之和的兩倍C.與的面積相等 D.菱形的面積等于兩條對角線長之積的兩倍6.習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”、為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動，用元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用元購買的套數(shù)只比第一批少4套，設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.7.如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值可以是（）A1 B.0 C. D.8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長是（）A.3 B. C.3 D.9.已知，中，，，平分，，垂足為D，E為中點(diǎn)，連結(jié)，，則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，正方形外取一點(diǎn)E，連接．過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)P，若，．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)B到直線的距離為；③；④，其中正確結(jié)論的序號是（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④二．填空題（共5小題，每題3分）11因式分解：_______．12.如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E，AB=3，AE=1，則BC=____．13.已知m是方程的一個(gè)根，則的值為________．14.關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍為________．15.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形各邊的中點(diǎn)，要使中間陰影部分小正方形的面積是5，那么大正方形的邊長應(yīng)該是__________．三．解答題（共7小題）16.解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．17.先化簡，再求值：，其中．18.解下列方程：（1）；（2）．19.如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ABC向左平移6個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度后得到的A1B1C1；（2）請畫出ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的A2B2C2；（3）在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．20.在今年新冠肺炎防疫工作中，學(xué)校購買了A、B兩種不同型號口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號口罩的單價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，學(xué)校還需要增加購買一些口罩，增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過7200元，求增加購買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？21.如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，連接．（1）求證：四邊形菱形；（2）若，，求的長．22.已知正方形與正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，請判斷，的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；（3）將圖1中的正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)在一條直線上，若，，請直接寫出的長____________________．

中科實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每題3分）1.下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形，理解軸對稱圖形和中心對稱圖形是解答的關(guān)鍵．2.下列各式：，，，，，其中分式共有幾個(gè)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式的概念進(jìn)行判斷.【詳解】，，，，，中分式有：,,共計(jì)3個(gè).故選C.【點(diǎn)睛】考查分式的概念，解題關(guān)鍵是抓?。号袛嘁粋€(gè)式子是不是分式，要看分母中是否含有未知數(shù)；分式與整式的區(qū)別主要在于：分母中是否含有未知數(shù)．3.下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)中一元二次方程根的判別式的符號，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.在中，，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故A不符合題意；B.在中，，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故B不符合題意；C.在中，，所以該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故C符合題意；D.將整理得：，，所以該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．4.下列結(jié)論中，不正確的是（）A.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形B.對角線相等的平行四邊形是矩形C.菱形的面積等于對角線乘積的一半D.一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】由菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C．菱形的面積等于對角線乘積的一半，故選項(xiàng)C不符合題意；D．一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，已知是菱形的對角線，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的周長相等 B.菱形的周長等于兩條對角線長之和的兩倍C.與的面積相等 D.菱形的面積等于兩條對角線長之積的兩倍【答案】C【解析】【分析】利用菱形的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．在菱形中，，∵由圖可知，的周長，的周長，∴的周長大于的周長故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．菱形的周長與兩條對角線之和無關(guān)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，，則與的面積相等，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．菱形的面積等于兩條對角線長之積的一半，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，正確靈活的運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6.習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”、為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動，用元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用元購買的套數(shù)只比第一批少4套，設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則第一批購買了套，第二批購買了套，根據(jù)用元購買的套數(shù)只比第一批少4套列出方程即可【詳解】解：設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，由題意得，．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．7.如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變．8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長是（）A.3 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB＝AO，則OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝1，∴BD＝2，∴AD＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出BD＝2是解題的關(guān)鍵．9.已知，中，，，平分，，垂足為D，E為中點(diǎn)，連結(jié)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延長與相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，用三角形的中位線定理可得，確定的長，并計(jì)算的長，由面積法可得和的長，最后由面積法可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長與相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于M，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E為中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，由勾股定理得：，∵∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得：，∵，即，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，作輔助線構(gòu)造出以DE為中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形外取一點(diǎn)E，連接．過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)P，若，．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)B到直線的距離為；③；④，其中正確結(jié)論的序號是（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】證明，則，進(jìn)一步即可得到，即可判斷①；過B作，交的延長線于F，則，得，，由，可得，即可判斷②；連接，由全等三角形的性質(zhì)可得到，，根據(jù)，即可判斷③；求出，則，得到，即可判斷④．【詳解】解：∵正方形外取一點(diǎn)E，連接．過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)P，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴；故①正確；過B作，交的延長線于F，則，∵，

∴，，又∵，∴，即點(diǎn)B到直線的距離為1，故②不正確；如圖，連接，∵，∴，，∴，故③正確；∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故④正確，綜上可知，①③④正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題，每題3分）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E，AB=3，AE=1，則BC=____．【答案】4【解析】【分析】只要證明DE=DC=3，AD=BC=4，即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD，∴∠DEC=∠ECD，∴DE=CD=3，∴AD=AE+DE=1+3=4．∴BC=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．13.已知m是方程的一個(gè)根，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)m是方程的一個(gè)根，得出，代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．14.關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍為________．【答案】且【解析】【分析】方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，它的解為含有a的式子，解為正數(shù)且最簡公分母不為零，得到關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可．【詳解】方程兩邊同乘(x?1)得：2?(5-a)=-2(x?1)解得：x=∵x>0且x?1≠0，∴解得：a<5且a≠3故答案為：a<5且a≠3【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解的定義，求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于零的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式組的解法，求解每個(gè)不等式，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分即可．15.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形各邊的中點(diǎn)，要使中間陰影部分小正方形的面積是5，那么大正方形的邊長應(yīng)該是__________．【答案】5

【解析】【分析】根據(jù)正方形的對稱性，將空白處的三角形旋轉(zhuǎn)即可得到4個(gè)與陰影部分全等的正方形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由正方形的對稱性可知：把所有空白處拼起來可以得到4個(gè)與陰影部分全等的正方形故陰影部分的正方形面積是大正方形的面積的所以大正方形的面積是，邊長是.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方的性質(zhì)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）16.解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】-2≤x＜3，表示見解析【解析】【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：由題意得，解不等式①，得x<3，解不等式②，得x≥-2，故不等式組的解集為-2≤x＜3，在數(shù)軸上表示為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先計(jì)算括號內(nèi)加法，再計(jì)算除法即可得到化簡結(jié)果，再把字母的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）運(yùn)用公式法解方程即可；（2）方程整理后，運(yùn)用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：，，∴，【小問2詳解】解：，整理得，，∴或∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的解法，能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌浇獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解等．19.如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ABC向左平移6個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度后得到的A1B1C1；（2）請畫出ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的A2B2C2；（3）在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對稱點(diǎn)A2、B2、C2即可；（3）把AB平移使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為P1，同理方法可畫出P2、P3．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）如圖，P1、P2、P2為所作，所以滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們在畫一個(gè)圖形的軸對稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的．也考查了平行四邊形的判定與平移變換．20.在今年新冠肺炎防疫工作中，學(xué)校購買了A、B兩種不同型號的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多1.5元，且用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號口罩的單價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，學(xué)校還需要增加購買一些口罩，增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過7200元，求增加購買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？【答案】（1）A型口罩的單價(jià)是4元，B型口罩的單價(jià)是2.5元（2）800個(gè)【解析】【分析】（1）設(shè)B型口罩的單價(jià)是x元，則A型口罩的單價(jià)是元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用8000元購買A型口罩的數(shù)量與用5000元購買B型口罩的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．（2）設(shè)增加購買A型口罩的數(shù)量是y個(gè)，則增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是個(gè)，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過7200元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【小問1詳解】設(shè)B型口罩的單價(jià)是x元，則A型口罩的單價(jià)是元，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴．答：A型口罩的單價(jià)是4元，B型口罩的單價(jià)是2.5元．【小問2詳解】設(shè)增加購買A型口罩的數(shù)量是y個(gè)，則增加購買B型口罩?jǐn)?shù)量是個(gè)，依題意得：，解得：．答：增加購買A型口罩的數(shù)量最多是800個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找出關(guān)鍵描述，找出合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)先證得，再利用全等三角形判定證得，得到，求出，進(jìn)而推出四邊形是平行四邊形，并根據(jù)證得四邊形是菱形；（2）首先利用勾股定理求出，設(shè)，然后用x表示出和，再在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出x即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∴，∵，即，且平分，，∴，∵，，∴，∴，