2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?新縣校級(jí)模擬）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球．（1）若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率．2．（2024?莆田模擬）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．3．（2024?邵陽(yáng)三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類(lèi)題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類(lèi)題目；乙方案：第一次答A類(lèi)題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類(lèi)題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類(lèi)題目．已知A類(lèi)題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類(lèi)題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為25，每道B類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為35，且每道（1）若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？4．（2024?保定三模）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求a的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（2）若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在[110，130）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再?gòu)倪@7件中隨機(jī)抽取2件，求至少有一件的指標(biāo)值在[120，130）的概率；（3）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．5．（2024?福建模擬）為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有A和B兩類(lèi)試題，每類(lèi)試題各10題，其中每答對(duì)1道A類(lèi)試題得10分；每答對(duì)1道B類(lèi)試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類(lèi)試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)A類(lèi)試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道B類(lèi)試題的概率均為23（1）若該同學(xué)只抽取3道A類(lèi)試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；（2）若該同學(xué)在A類(lèi)試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．6．（2024?白云區(qū)校級(jí)模擬）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”．小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色．每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5．（1）寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率．7．（2023秋?T8聯(lián)考月考）為應(yīng)對(duì)全球氣候變化，我國(guó)制定了碳減排的國(guó)家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策措施積極推進(jìn)碳減排，作為培育發(fā)展新動(dòng)能、提升綠色競(jìng)爭(zhēng)力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國(guó)各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點(diǎn)和焦點(diǎn)．某公司為了解員工對(duì)相關(guān)政策的了解程度，隨機(jī)抽取了180名員工進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：了解程度性別合計(jì)男性女性比較了解6060不太了解2040合計(jì)（1）補(bǔ)充表格，并根據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析了解程度與性別是否有關(guān)？（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：a0.100.050.0250.0100.001xa2.7063.8415.0246.63510.828χ28．（2024?浙江模擬）為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉．在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為80%，跳繩的概率為20%，在下雪天他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%．已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里．記寒假第n天不下雪的概率為Pn．（1）求P1、P2、P3的值，并求Pn；（2）設(shè)小王寒假第n天通過(guò)運(yùn)動(dòng)消耗的能量為X，求X的數(shù)學(xué)期望．9．（2024?江西模擬）甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方．若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為23，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為13，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽決定，第（1）求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；（2）設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．10．（2024?宜賓三模）某地為調(diào)查年齡在35﹣50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35﹣50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：女性男性每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)6080每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)4020（1）根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35﹣50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)與性別有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35﹣50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．參考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（K2＞k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?新縣校級(jí)模擬）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球．（1）若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；超幾何分布；求解條件概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】運(yùn)動(dòng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；E（X）＝1；（2）13【分析】（1）由超幾何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；（2）設(shè)事件A＝“最后得分為8分”；事件B＝“恰取到一個(gè)紅球”，求出P（A），P（AB），再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）由題意得X的可能取值為：0，1，2，P(X=0)=C40C4所以X的分布列為：X012P31447314數(shù)學(xué)期望E(X)=0×（2）設(shè)事件A＝“最后得分為8分”；事件B＝“恰取到一個(gè)紅球”，由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個(gè)白球1個(gè)紅球或1個(gè)黑球2個(gè)紅球，所以P(A)=C32所以P(B|A)=P(AB)【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題．2．（2024?莆田模擬）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）13（2）X的分布列為：X12345P11541513415115E（X）＝3．【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，5，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解即可．【解答】解：（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率為C4（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，5，且P(X=1)=CP（X＝2）=P（X＝3）=CP（X＝4）=CP（X＝5）=C故X的分布列為：X12345P11541513415115所以E(X)=1×【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．3．（2024?邵陽(yáng)三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類(lèi)題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類(lèi)題目；乙方案：第一次答A類(lèi)題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類(lèi)題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類(lèi)題目．已知A類(lèi)題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類(lèi)題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為25，每道B類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為35，且每道（1）若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）44125（2）乙方案．【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）由二項(xiàng)分布求出小李采用甲方案答題的期望E（Y），若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為Z，求出Z的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望公式求出E（Z），由E（Y）＜E（Z）即可得出答案．【解答】解：（1）若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件E，則小李至少答對(duì)2道A類(lèi)題目，所以P(E)=C（2）若小李采用甲方案答題，設(shè)他的得分為Y，則他答對(duì)的題數(shù)為X，且X～B(3，則E(Y)=40E(X)=40×若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為Z，Z的可能取值為0，30，40，70，80，120，P(Z=0)=35×P(Z=40)=25×P(Z=80)=25×所以E(Z)=0×因?yàn)镋（Y）＜E（Z），所以小李想要答題得分的期望值更大，應(yīng)該選擇乙方案答題．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，屬于中檔題．4．（2024?保定三模）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求a的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（2）若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在[110，130）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再?gòu)倪@7件中隨機(jī)抽取2件，求至少有一件的指標(biāo)值在[120，130）的概率；（3）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）0.02；優(yōu)質(zhì)率為25%；（2）57（3）分布列見(jiàn)解析，E（X）＝1．【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有頻率之和為1及優(yōu)質(zhì)率的定義即可求得結(jié)果；（2）由分層抽樣可得質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）有4件，質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）有3件，結(jié)合古典概型求其概率即可；（3）由題意知，4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布，即X～B（4，14【解答】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得（0.005+0.04+0.03+a+0.005）×10＝1，解得a＝0.02，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過(guò)130的頻率為（0.002+0.005）×10＝0.25，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%．（2）因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在[110，120）和[120，130）的頻率分別為0.4和0.3，所以質(zhì)量指標(biāo)在[110，130）產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）有3件，從這7件中任取2件，設(shè)至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）的事件為A，所以至少一件質(zhì)量指標(biāo)在[120，130）的概率為P（A）＝1-C（3）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為144件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)X～B（4，14P(X=k)=C4k(14)k(34)4-kP(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CX的分布列為：X01234P812562764271283641256E(X)=4×【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題．5．（2024?福建模擬）為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有A和B兩類(lèi)試題，每類(lèi)試題各10題，其中每答對(duì)1道A類(lèi)試題得10分；每答對(duì)1道B類(lèi)試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類(lèi)試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)A類(lèi)試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道B類(lèi)試題的概率均為23（1）若該同學(xué)只抽取3道A類(lèi)試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；（2）若該同學(xué)在A類(lèi)試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意，先得到X的所有可能取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，即可求解．【解答】解：（1）易知X的所有可能取值為0，10，20，30，此時(shí)P(X=0)=C33P（X＝20）=C72則X的分布為：X0102030P11207402140724故E(X)=0×（2）記“該同學(xué)僅答對(duì)1道題”為事件M，此時(shí)P(M)=7所以這次競(jìng)賽中該同學(xué)僅答對(duì)1道題得概率為1990【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．6．（2024?白云區(qū)校級(jí)模擬）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”．小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色．每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5．（1）寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出P（X＝4），P（X＝3），P（X＝2）的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝，求出P(A)，P(A【解答】解：（1）設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，P(X=4)=CP(X=3)=CP(X=2)=C所以X的分布列為：X432P11581525故E(X)=4×（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝，因?yàn)榇┘t色衣物的概率為P(A)=P(X=4)+P(X=3)=1則穿藍(lán)色衣物的概率為P(A穿紅色連衣裙的概率為P(B|A)=0.6=35，穿藍(lán)色連衣裙的概率為則當(dāng)天穿連衣裙的概率為P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為1425【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查條件概率及全概率公式，屬中檔題．7．（2023秋?T8聯(lián)考月考）為應(yīng)對(duì)全球氣候變化，我國(guó)制定了碳減排的國(guó)家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策措施積極推進(jìn)碳減排，作為培育發(fā)展新動(dòng)能、提升綠色競(jìng)爭(zhēng)力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國(guó)各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點(diǎn)和焦點(diǎn)．某公司為了解員工對(duì)相關(guān)政策的了解程度，隨機(jī)抽取了180名員工進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：了解程度性別合計(jì)男性女性比較了解6060不太了解2040合計(jì)（1）補(bǔ)充表格，并根據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析了解程度與性別是否有關(guān)？（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：a0.100.050.0250.0100.001xa2.7063.8415.0246.63510.828χ2【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）首先求出抽得女性、男性的人數(shù)，依題意可得X的可能取值為0、2、4、6，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）依題意補(bǔ)充表格如下：了解程度性別合計(jì)男性女性比較了解6060120不太了解204060合計(jì)80100180零假設(shè)為H0：了解程度與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2=180×(60×40-60×20根據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即了解程度與性別無(wú)關(guān)．（2）用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性12×4060∴X的可能取值為0、2、4、6．則P(X=0)=C83P(X=4)=C85∴X的分布列為：X0246P8331633833133∴E(X)=0×【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（2024?浙江模擬）為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉．在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為80%，跳繩的概率為20%，在下雪天他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%．已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里．記寒假第n天不下雪的概率為Pn．（1）求P1、P2、P3的值，并求Pn；（2）設(shè)小王寒假第n天通過(guò)運(yùn)動(dòng)消耗的能量為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）P1＝1，P2＝0.4，P3＝0.52，Pn（2）E（X）＝250+30×(【分析】（1）由題可直接求得P1，P2，P3，并能推得Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1（2）由題X的取值為X＝200，300，且可得P（X＝300）＝0.6Pn+0.2，然后利用期望的性質(zhì)及公式即可求解．【解答】解：（1）依題意，P1＝1，P2＝1×0.4＝0.4，P3＝0.4×0.4+0.6×0.6＝0.52，依題意Pn整理得Pn所以{Pn-12即Pn所以Pn（2）由題X的取值為X＝200，300，則P（X＝300）＝0.8Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.6Pn+0.2，P（X＝200）＝1﹣P（X＝300）＝0.8﹣0.6Pn，所以E（X）＝300P（X＝300）+200P（X＝200）＝300（0.6Pn+0.2）+200（0.8﹣0.6Pn）＝220+60Pn＝250+30×(【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望及條件概率的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．9．（2024?江西模擬）甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方．若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為23，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為13，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽決定，第（1）求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；（2）設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）1427（2）分布列為：E（X）=74【分析】（1）分類(lèi)討論結(jié)合獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；（2）分情況討論列出分布列并計(jì)算期望即可．【解答】解：（1）由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為23，乙發(fā)球的概率為1所以第3回合甲發(fā)球的概率為23乙發(fā)球的概率為23可得第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為59故第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為1427（2）由題意可知：X可以取1，2，3，4，當(dāng)X＝1時(shí)，P1當(dāng)X＝2時(shí)，前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為23第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為13第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為13故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為P2當(dāng)X＝4時(shí)，P4當(dāng)X＝3時(shí)，P3故X的分布列為：E(X)=1×【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的概率和分布列，期望的求解，屬于中檔題．10．（2024?宜賓三模）某地為調(diào)查年齡在35﹣50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35﹣50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：女性男性每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)6080每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)4020（1）根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35﹣50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)與性別有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35﹣50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．參考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（K2＞k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）有；（2）X的分布列為：X0123P343100044110001891000271000910【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解；（2）先判斷X服從二項(xiàng)分布，X＝0，1，2，3，依次求出概率，再結(jié)合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）由K2故有99%把握認(rèn)為該地35﹣50歲年齡段人每周運(yùn)動(dòng)超過(guò)2小時(shí)與性別有關(guān)．（2）抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為X，則X～B(3，310)，X＝0，P(X=0)=(710)3P(X=3)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P343100044110001891000271000故E（X）=3×【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿(mǎn)足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．3．求解條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計(jì)算：P(A|B)=P(A∩B)P(B)其中P（B）＞【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算條件概率時(shí)，確定事件B的發(fā)生對(duì)事件A的影響，通過(guò)交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計(jì)算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用問(wèn)題．4．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的