《電磁場與電磁波》課件第6章

第6章均勻平面電磁波6.1無耗媒質(zhì)中的平面電磁波6.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波6.3電磁波的極化6.4電磁波的相速和群速6.5各向異性媒質(zhì)中的平面電磁波

6.1無耗媒質(zhì)中的平面電磁波

6.1.1無耗媒質(zhì)中波動方程的解

設(shè)在無界空間內(nèi)充滿均勻一致的各向同性的理想介質(zhì)，由于在該區(qū)域既沒有電流，也沒有電荷，因而滿足第5章中已推導(dǎo)出的理想介質(zhì)中電場與磁場的波動方程為

(6-1)(6-2)式中，。在直角坐標(biāo)系中，假設(shè)均勻平面電磁波沿z軸方向傳播，如圖6-1所示，則因場矢量在與z軸垂直的xy平面內(nèi)無變化，故有

(6-3)因為均勻平面波的電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H只是直角坐標(biāo)z和時間t的函數(shù)，且空間無外加場源，所以由·E(z，t)=0，得(6-4)故而Ez(z，t)=c(t)。當(dāng)t=0時，Ez(z，t)|t=0=0，那么c(t)=0，則Ez(z，t)=0。電場可表示為(6-5)同例磁場為

H=exHx(z，t)+eyHy(z，t)

(6-6)圖6-1均勻平面電磁波的傳播

對于波動方程(6-1)的求解，由于該矢量方程在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)于三個形式相同的標(biāo)量波動方程，因此可以分別求出Ex(z，t)和Ey(z，t)，然后使用疊加原理就能得到所有的電場。而相應(yīng)的磁場強(qiáng)度H則可以由麥克斯韋方程得出。

在這里，我們先求電場強(qiáng)度E，為了簡單起見，選取直角坐標(biāo)系，假設(shè)電磁波的電場E沿x軸方向，即電場只有Ex(z，t)分量(Ey=Ez=0)，平面電磁波沿z軸方向傳播。如圖6-1所示，則因場矢量在xy平面內(nèi)無變化。所以矢量波動方程式(6-1)變?yōu)闃?biāo)量波動方程(6-7)方程的通解為

Ex(z，t)=f1(z－vt)+f2(z+vt)

(6-8)

式中，f1(z－vt)和f2(z+vt)是以(z－vt)和(z+vt)為變量的任意函數(shù)?？梢宰C明f1(z－vt)和f2(z+vt)是式(6-7)的兩個特解。

現(xiàn)在讓我們來說明特解Ex(z，t)=f1(z－vt)的意義。在某特定時刻t=t1，f1(z－vt1)是z的函數(shù)，如圖6-2(a)所示。當(dāng)t1增至t2時，相應(yīng)的f1(z－vt2)仍是z的函數(shù)，如圖6-2(b)所示，其形狀與圖6-2(a)相同，但向右移動了v(t2－t1)的距離，這表明f1(z－vt)是一個以速度v向+z方向傳播的波。不難理解，Ex=f2(z+vt)表示一個以速度v向－z方向傳播的波。這兩種波均是行波。圖6-2向+z方向傳播的波在無界媒質(zhì)中，只有單一方向行進(jìn)的波。如果假設(shè)均勻平面電磁波沿+z方向傳播，且電場強(qiáng)度只有Ex(z，t)分量，則波動方程(6-7)的解為

Ex(z，t)=f(z－vt)

(6-9)

f1(z－vt)可以是(z－vt)的任何函數(shù)，完全取決于產(chǎn)生該波的激勵方式。

對于正弦電磁場，如果電場強(qiáng)度用復(fù)振幅來表示，則波動方程式(6-1)可寫為

(6-10)

式中，。在直角坐標(biāo)系中，假設(shè)均勻平面波沿z方向傳播，電場強(qiáng)度只有x方向的坐標(biāo)分量Ex(z),則波動方程(6-10)可以寫為(6-11)式(6-11)的解為

Ex(z)=E+0e－jkz+E－0e+jkz

(6-12)特解E+0e－jkz表示向+z方向傳播的入射波，E－0e+jkz表示向－z方向傳播的反射波。在這里我們僅討論向+z方向傳播的入射波E+0e－jkz。其中E+0=Emejf0，Em為電場的振幅，f0為電場的初相位，并將E+0用E0代替。所以均勻平面波的電場強(qiáng)度為

E=exEx=exE0e－jkz

(6-13)由麥克斯韋方程，可得到均勻平面波的磁場強(qiáng)度的復(fù)振幅矢量為

(6-14)式中，H0為磁場的振幅，即(6-15)η僅與媒質(zhì)的電磁參數(shù)有關(guān)，因此被稱為媒質(zhì)的波阻抗(或本征阻抗)，單位為Ω(歐姆)。在真空中的波阻抗為相應(yīng)的電場與磁場強(qiáng)度瞬時值表達(dá)式為(6-16)(6-17)6.1.2均勻平面波的傳播特性

1.相位

相位由三部分組成:ωt稱為時間相位，kz稱為空間相位，f0為t=0、z=0時的初相位。電磁波的電場和磁場隨z做正弦波動，但隨著時間的增加，電磁波的等相位面以一定速度向前推進(jìn)，這樣的電磁波稱為行波。

2.相速

相速就是電磁波在媒質(zhì)中傳播的速度，由于它是電磁波的等相位面行進(jìn)的速度，所以又稱為相速，以vp表示。由式(6-16)可見，均勻平面電磁波的等相位面方程為

ωt－kz+f=常數(shù)(6-18)

根據(jù)相速的定義和等相位面方程可得(6-19)在真空中，均勻平面電磁波傳播的相速等于光速，即vp=c=3×108m/s。

3.波長與相移常數(shù)

平面波在一個周期T以相速vp在空間向傳播方向行進(jìn)的距離稱為波長，用λ表示。相應(yīng)的相位變化了2π。則有

(6-20)(6-21)上式中的f為電磁波的頻率，而(6-22)k稱為電磁波的相位常數(shù),單位為(rad/m),它表示波向傳播方向行進(jìn)單位距離的相位的變化量。k也稱為波數(shù)，因為空間相位變化2π相當(dāng)于一個全波，k表示2π長度內(nèi)所具有的全波數(shù)目。

4.能流與能速

復(fù)坡印廷矢量為(6-23)而坡印廷矢量的平均值為(6-24)平均坡印廷矢量Sav為常數(shù)，表明在與傳播方向垂直的所有平面上，每單位面積通過的平均功率都相同，電磁波在傳播過程中沒有能量損失。因此理想媒質(zhì)中的均勻平面電磁波是等振幅波。電場能量密度和磁場能量密度的瞬時值為

(6-25)(6-26)可見，任一時刻電場能量密度和磁場能量密度相等，各為總電磁能量的一半。電磁能量的時間平均值為(6-27)(6-28)總平均能量為(6-29)電磁波的傳播實際上是電磁能量的流動。電磁波的電磁能量傳播速度簡稱能速，用ve表示，定義為(6-30)其方向為電磁能量流動的方向。均勻平面電磁波的能量傳播速度為(6-31)上式表明均勻平面電磁波的能量傳播速度等于其相速。均勻平面電磁波傳播如圖6-3所示。圖6-3無耗媒質(zhì)中的均勻平面電磁波例6-1

電磁波在真空中傳播，其電場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

E=(ex－jey)10－4e－j20πz(V/m)

試求:

(1)工作頻率f;

(2)磁場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；

(3)坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值。

解

(1)電場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

所以有電場強(qiáng)度的瞬時值為

E=10－4［excos(ωt－kz)+eysin(ωt－kz)］

(2)磁場強(qiáng)度復(fù)矢量由×E=－jωμH有:磁場強(qiáng)度的瞬時值為(3)坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值為

例6-2

已知空氣中均勻平面波的電場E=ey20cos(9π×108t+kz)V/m，求:

(1)波的頻率、波長、波數(shù)(相移常數(shù))；

(2)磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量和平均坡印廷矢量。

解

(1)

(2)可見該波是向－z方向傳播的平面波。

6.1.3向任意方向傳播的均勻平面波

在直角坐標(biāo)系中，在充滿單一無耗媒質(zhì)無界空間中，設(shè)均勻平面波沿+z方向傳播，電場強(qiáng)度只有x方向的坐標(biāo)分量Ex(z)，那么正弦均勻平面電磁波的復(fù)振幅表示為

E=exE0e－jkz=E0e－jkz

式中，E0為常矢量，即有·E0=0，×E0=0。

利用矢量恒等式×(ψA)=ψ×A+ψ×A和·(ψA)

=ψ·A+ψ·A，將上式代入麥克斯韋方程×E=－jωμH,則可以得到

可知故有(6-32)上式表明，如已知向z方向傳播的均勻平面波的電場，利用式(6-32)求磁場強(qiáng)度十分方便。同樣，如已知向z方向傳播的均勻平面波的磁場強(qiáng)度H，則可以利用下式求電場:

(6-33)現(xiàn)在用式(6-32)來推導(dǎo)向任意方向傳播的均勻平面波的相關(guān)公式。對于式(6-32)，如果開始時選擇直角坐標(biāo)系ox′y′z′，那么，正弦均勻平面電磁波的復(fù)場量可以表示為(6-34)這是沿ez′方向傳播的波。將直角坐標(biāo)系ox′y′z′任意旋轉(zhuǎn)后得到新的直角坐標(biāo)系oxyz，如圖6-4所示。圖6-4向k方向傳播的均勻平面電磁波在直角坐標(biāo)系oxyz中，式(6-34)就是沿任意方向ez′傳播的均勻平面電磁波。如果以r表示等相位面z′=常數(shù)上任一點的矢徑，則有z′=r·ez′。在直角坐標(biāo)系oxyz中有

r=exx+eyy+ezz

ez′=excosα+eycosβ+ezcosγ

式中cosα、cosβ、cosγ是ez′在直角坐標(biāo)系oxyz中的方向余弦。而式(6-34)中的相位因子為(6-35)其中，在這里，矢量k被稱為波矢量，其方向是波的傳播方向，k方向的單位矢量用ek表示，k的模是波數(shù)。然而，坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時，矢量E0并未改變，只是在不同坐標(biāo)系中其分量不同而已。故而，如已知任意方向的電場，則有

(6-36)類似地，如已知均勻平面電磁波的磁場，則有(6-37)例6-3

已知無界理想媒質(zhì)(ε=9ε0，μ=μ0，σ=0)中正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz，電場強(qiáng)度為

E=ex4e－jkz+ey3e－jkz+j(π/3)(V/m)

試求：

(1)均勻平面電磁波的相速度vp、波長λ、相移常數(shù)k和波阻抗η；

(2)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式；

(3)坡印廷矢量的平均值Sav。

解

(1)

(2)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時值為(3)復(fù)坡印廷矢量：坡印廷矢量的時間平均值為例6-4

假設(shè)真空中一平面波的磁場強(qiáng)度矢量為

H=10－4(ex+ey+Hz0ez)cos[ωt+3x－y－z)](A/m)求:(1)波的傳播方向；

(2)波的波長與頻率；

(3)磁場強(qiáng)度z分量的振幅Hz0；

(4)電場強(qiáng)度。解

(1)由磁場強(qiáng)度矢量的表示式。因為

ωt－k·r=ωt+3x－y－z

所以傳播方向矢量(2)

(3)磁場強(qiáng)度z分量的振幅Hz0。由于得Hz0=1

(4)電場強(qiáng)度

6.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波

6.2.1有耗媒質(zhì)中的波動方程及復(fù)介電常數(shù)

有耗媒質(zhì)是電導(dǎo)率不為零(σ≠0)的導(dǎo)電媒質(zhì)，為了使有耗媒質(zhì)中的均勻平面波的求解簡單起見，這里將有耗媒質(zhì)引起的導(dǎo)體損耗用等效的復(fù)介電常數(shù)體現(xiàn)，使有耗媒質(zhì)中的波動方程與無耗媒質(zhì)中的波動方程具有相同的形式。在第5章中引入了復(fù)介電常數(shù)、復(fù)磁導(dǎo)率和等效復(fù)介電常數(shù)的概念，以表征介質(zhì)的極化、磁化和導(dǎo)電損耗。本節(jié)主要討論平面電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的導(dǎo)電損耗。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率σ≠0，ε、μ為實常數(shù)，對于正弦波，則無源、無界的導(dǎo)電媒質(zhì)中麥克斯韋方程組為(6-38)(6-39)(6-40)(6-41)由式(6-38)有(6-42)其中(6-43)式中，εc是復(fù)數(shù)，稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)，它是一個等效的復(fù)數(shù)介電常數(shù)。εc的實部與前面講述的理想介質(zhì)的ε具有相同的物理含義，而虛部是一個具有電磁能量損耗的電參量。引入等效復(fù)介電常數(shù)后，導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組和無耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組具有完全相同的形式。所以有耗媒質(zhì)中的波動方程與無耗媒質(zhì)中的波動方程在形式上相同，即

(6-44)(6-45)式中，γ2=ω2μεc。γ是復(fù)數(shù)與無耗媒質(zhì)中的k不同，可見有耗媒質(zhì)中的波動方程與無耗媒質(zhì)中的波動方程相比，兩者不同的只是將其中的實常數(shù)ε換成等效復(fù)介電常數(shù)εc。復(fù)介電常數(shù)可以寫為(6-46)|εc|是εc的模，δe是導(dǎo)電媒質(zhì)的損耗角，其正切值為(6-47)實際上，損耗角正切相當(dāng)于導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流與位移電流之比，即(6-48)如，即傳導(dǎo)電流遠(yuǎn)小于位移電流，則認(rèn)為該媒質(zhì)為電介質(zhì)。，即傳導(dǎo)電流遠(yuǎn)大于位移電流，則認(rèn)為該媒質(zhì)為導(dǎo)電媒質(zhì)。6.2.2有耗媒質(zhì)中的均勻平面波的傳播特性

在直角坐標(biāo)系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強(qiáng)度只有Ex分量，那么電場強(qiáng)度的波動方程式(6-44)的解為

E=exE0e－jγz

(6-49)

因γ為復(fù)數(shù)，故令γ=β－jα，將它代入式(6-49)得電場的復(fù)矢量為

E=exE0e－j(β－jα)z=exE0e－az·e－jβz

(6-50)

因E0=Emejj0，所以電場強(qiáng)度的瞬時值可以表示為

E(z，t)=exEme－azcos(ωt－βz+j0)

(6-51)其中，Em、j0分別表示電場強(qiáng)度的振幅值和初相角。

由式(6-50)和式(6-51)可見，電場強(qiáng)度的振幅以指數(shù)

e－αz隨z的增大而減小，表明α是每單位距離衰減程度的常數(shù)，稱為電磁波的衰減常數(shù)。單位是Np/m(奈培/米)；而β是相移因子，β表示波行進(jìn)單位距離相位的變化量，稱為相位常數(shù)，單位是rad/m(弧度/米)。γ=β－jα稱為傳播常數(shù)。

因為γ2=ω2μεc，(β－jα)2=ω2μ[ε－j(σ/ω)]，故有

即有

由以上方程解得(6-52)(6-53)有耗媒質(zhì)的波阻抗為復(fù)數(shù)(6-54)式中(6-55)(6-56)磁場強(qiáng)度可寫為(6-57)其瞬時值為(6-58)磁場強(qiáng)度的相位比電場強(qiáng)度的相位滯后θ，其振幅也隨z的增加按指數(shù)函數(shù)e－αz衰減。導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的相速為(6-59)而波長導(dǎo)電媒質(zhì)中的坡印廷矢量的瞬時值、時間平均值和復(fù)坡印廷矢量分別為

(6-60)(6-61)(6-62)導(dǎo)電媒質(zhì)中平均電能密度和平均磁能密度分別為(6-63)(6-64)不難看出，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，平均磁能密度大于平均電能密度?？偟钠骄芰棵芏葹?6-65)能量傳播速度為(6-66)可見，導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的能速與相速相等。有耗媒質(zhì)中的均勻平面電磁波傳播如圖6-5所示。圖6-5導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的電磁場6.2.3良導(dǎo)體中均勻平面波的傳播特性

在靜態(tài)場，我們將電導(dǎo)率σ=107~108S/m的導(dǎo)體稱為良導(dǎo)體，而在時變場如σ/ωε≥100，則將該導(dǎo)電媒質(zhì)稱為良導(dǎo)體。良導(dǎo)體中的均勻平面電磁波的波動方程及其電磁場的表示式在形式上與導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動方程及其電磁場表示式完全一樣，只不過，良導(dǎo)體中的電磁波能量損耗更大。這里對幾個電參量進(jìn)行討論。

由(6-43)式知:因σ/ωε≥100，它遠(yuǎn)大于1，所以上式可近似為(6-67)而傳播常數(shù)(6-68)對等式(6-68)兩邊平方，可解出β和α(6-69)可見，在良導(dǎo)體中相移常數(shù)β和衰減系數(shù)α在量值上相等。波阻抗為(6-70)在直角坐標(biāo)系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強(qiáng)度只有Ex分量，其電磁場為

(6-71)(6-72)瞬時場為(6-73)(6-74)在上式中，β=α，。復(fù)功率流密度矢量和平均功率流密度分別為(6-75)(6-76)(6-77)

在z=0處平均功率流密度為例6-5

海水的電磁參數(shù)εr=81、μr=1、σ=4(S/m)，一頻率為3kHz和30MHz的平面電磁波在緊貼海平面下側(cè)處的電場強(qiáng)度為1V/m。求電磁波向海水中傳輸時：

(1)電場強(qiáng)度衰減為1(μV/m)處的深度，應(yīng)選擇哪個頻率進(jìn)行潛水艇的水下通信？

(2)頻率3kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度。

解

(1)當(dāng)f=3kHz時，因為，所以海水對依此頻率傳播的電磁波呈現(xiàn)為良導(dǎo)體，故

當(dāng)f=30MHz時，因為，所以海水對此頻率傳播的電磁波呈現(xiàn)為不良導(dǎo)體，故

由此可見，選30MHz的電磁波衰減較大，應(yīng)采用3kHz的電磁波為水下通信頻率。

(2)平均功率流密度為

例6-6

證明均勻平面電磁波在良導(dǎo)體中傳播時，波行進(jìn)一個波長場強(qiáng)的衰減約為－55dB。

證明因為良導(dǎo)體滿足條件σ/ωε≥100，而β=α=

，設(shè)均勻平面電磁波的電場強(qiáng)度的復(fù)矢量為

E=E0e－αze－jβz

那么z=λ處的電場強(qiáng)度振幅與z=0處的電場強(qiáng)度振幅比為即例6-7

已知海水的電磁參量σ=51S/m、μr=1、

εr=81,作為良導(dǎo)體欲使90％以上的電磁能量(緊靠海水表面下部)進(jìn)入1m以下的深度，電磁波的頻率應(yīng)如何選擇。

解對于所給海水，當(dāng)其視為良導(dǎo)體時，其中傳播的均勻平面電磁波為

式中良導(dǎo)體海水的波阻抗z為因此沿+z方向進(jìn)入海水的平均電磁功率流密度為故海水表面下部z=l處的平均電磁功率流密度與海水表面下部z=0處的平均電磁功率流密度之比為

依題意考慮到良導(dǎo)體中衰減常數(shù)與相移常數(shù)為：從而有

6.3電磁波的極化

6.3.1直線極化

設(shè)在直角坐標(biāo)系中，均勻平面電磁波向z方向傳播，電場有x方向的分量Ex和y方向的分量Ey兩個分量，即

Ex=Exmcos(ωt－kz+fx)

(6-78)

Ey=Eymcos(ωt－kz+fy)

(6-79)

在空間任取一固定點z=0的波陣面上，則式(6-78)和式(6-79)變?yōu)?/p>

Ex=Exmcos(ωt+fx)

Ey=Eymcos(ωt+fy)

我們將Ey稱為垂直分量，將Ex稱為水平分量。直線極化波就是電場的水平分量Ex與垂直分量Ey相位相同或相位差為π的波。為了討論方便，取fx=fy=f0。

合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量的模為(6-80)合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量與x軸正向夾角α的正切為(6-81)它表明矢量E與x軸正向夾角α保持不變，如圖6-6(a)所示。合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量的模隨時間作正弦變化，其矢端軌跡是一條直線，故稱為直線極化。圖6-6直線極化波同樣的方法可以證明，當(dāng)fx－fy=π時，合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量與x軸正向夾角α的正切為(6-82)此時合成平面電磁波的電場強(qiáng)度矢量E的矢端軌跡是位于二、四象限的一條直線，故也稱為直線極化，如圖6-6(b)所示。6.3.2圓極化

圓極化波是電場的水平分量Ex與垂直分量Ey振幅相同，相位差為π/2或3π/2的波。

設(shè)Exm=Eym=Em，fx－fy=±π/2，那么式(6-78)和式(6-79)變?yōu)?/p>

Ex=Emcos(ωt+fx)

消去t得該式是一個圓方程。合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量E的模和幅角分別為

(6-83)(6-84)可見合成電磁波的電場強(qiáng)度的大小是常數(shù)，而其方向與x軸正向夾角α將隨時間變化，因此合成電場強(qiáng)度矢量的矢端隨時間t變化的軌跡是一個圓，故稱為圓極化。如果α=+(ωt+fx)，則矢量E將以角頻率ω在xoy平面上逆時針方向旋轉(zhuǎn)。如果α=－(ωt+fx)，則矢量E將以角頻率ω在xoy平面上順逆時針方向旋轉(zhuǎn)。圖6-7圓極化波在工程上，經(jīng)常將圓極化波分為左旋圓極化波和右旋圓極化波，規(guī)定如下:

電場強(qiáng)度矢量E矢端的旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向符合右手螺旋關(guān)系的稱為右旋圓極化波；而電場強(qiáng)度矢量E矢端的旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向符合左手螺旋關(guān)系的稱為左旋圓極化波；如圖6-7所示。6.3.3橢圓極化

更一般的情況是Ex和Ey及fx和fy之間為任意關(guān)系。在z=0處，聯(lián)立解式(6-78)和式(6-79)并消去式中的t，得(6-85)式中f=fx－fy。上式是以Ex和Ey為變量的橢圓方程。因為方程中不含一次項，故橢圓中心在直角坐標(biāo)系原點。當(dāng)f=f

x－fy=±π/2時橢圓的長短軸與坐標(biāo)軸一致，而當(dāng)f

=

f

x－fy≠±π/2時，則不一致，如圖6-8所示。圖6-8橢圓極化由圖可見，在空間固定點上，合成電場強(qiáng)度矢量E隨時間變化不斷改變其大小和方向，其矢端軌跡為橢圓，故稱為橢圓極化。顯然，直線極化和圓極化可看做是橢圓極化的特例。橢圓極化波也有左旋和右旋之分。由于矢量E和x軸正向的夾角α為(6-86)因而，矢量E的旋轉(zhuǎn)角速度為例6-8

判斷下列均勻平面電磁波的極化狀態(tài):

(1)E=E0(－ex+jey)e－jkz；

(2)E=E0(jex-2jey)e－jkz；

(3)E=E0(ex+3jey)e－jkz；

(4)E=E0(ex+jey)ejkz。

解

(1)E=jE0(jex+ey)e－jkz，Ex和Ey振幅相等，且Ex相位超前Ey相位π/2，電磁波沿+z方向傳播，故為右旋圓極化波。

(2)E=jE0(ex－2ey)e－jkz，Ex和Ey相位差為π，故為直線極化波。

(3)Eym≠Exm，Ey相位超前Ex相位π/2，電磁波沿+z方向傳播，故為左旋橢圓極化波。

(4)Ex和Ey振幅相等，Ey相位超前Ex相位π/2，電磁波沿－z方向傳播，故為右旋圓極化波。例6-9

證明任一線極化波總可以分解為兩個振幅相等旋向相反的圓極化波。

解假設(shè)直線極化波沿+z方向傳播。不失一般性，取x軸平行于電場強(qiáng)度矢量E，則上式右邊第一項為一左旋圓極化波，第二項為一右旋圓極化波，而且兩者振幅相等，均為E0/2。例6-10

證明橢圓極化波E=(exE1+jeyE2)e－jkz可以分解為振幅不等、旋向相反的兩個圓極化波。

證明令

比較可見E1=E′+E″，E2=E′－E″解上式得其中E－表示左旋圓極化波；E+表示右旋圓極化波。

6.4電磁波的相速和群速

我們知道，相速是電磁波沿某一參考方向上等相位面的推進(jìn)速度，如均勻平面波的電場為

Ex=Emcos(ωt－βz)

恒定相位點為

ωt－βz=常數(shù)

相速為(6-87)電場強(qiáng)度x分量表達(dá)式為合成電磁波的場強(qiáng)表達(dá)式為(6-88)可見，合成波的振幅是受調(diào)制的，上式是調(diào)制系數(shù)M=100%的雙邊帶調(diào)制波。式中有兩個余弦因子，表示有拍頻存在，一個慢變化疊加在一個快變化之上。將上式寫成復(fù)數(shù)形式則有(6-89)式(6-89)可以看成是角頻率為ω，振幅按cos(Δωt－Δβz)緩慢變化的向z方向傳播的行波。圖6-9表示在固定時刻，合成波隨z坐標(biāo)的分布(這里f=1MHz，Δf=100kHz，Em=1V/m)，可見這是按一定周期排列的波群。隨著時間的推移，波群沿z方向運(yùn)動。合成波的振幅隨時間按余弦變化，因而是一調(diào)幅波，調(diào)制的頻率為Δω，這個按余弦變化的調(diào)制波稱為包絡(luò)波(圖中的虛線)。群速vg的定義是包絡(luò)上某一恒定相位點推進(jìn)的速度。已知包絡(luò)波為2Emcos(Δωt－Δβz)，如令其相位為常數(shù):

Δωt－Δβz=常數(shù)

可得

當(dāng)Δω→0時，上式可寫為(6-90)圖6-9相速與群速由群速和相速的定義知從而得(6-91)可見，只有當(dāng)dvp/dω=0時，才有群速等于相速vg=vp，這便是無色散的情況。而當(dāng)dvp/dω≠0，即相速是頻率的函數(shù)時，vg≠vp。當(dāng)dvp/dω<0時，vg<vp，這類色散稱為正常色散；當(dāng)dvp/dω>0時，vg>vp，這類色散稱為非正常色散。

6.5各向異性媒質(zhì)中的平面電磁波

6.5.1等離子體中的平面電磁波

1.等離子體的等效介電常數(shù)

分析等離子體中電磁波傳播問題的方法是把等離子體等效地看成介質(zhì)，首先確定其等效介電常數(shù)，然后分析電磁波在其中的傳播規(guī)律。

當(dāng)一正弦電磁波在等離子體中傳播時，電磁波的電磁場將對帶電粒子產(chǎn)生作用力。等離子體中的電子和離子在電場作用下形成運(yùn)流電流。這一運(yùn)流電流將決定等效介質(zhì)的介電常數(shù)的大小。由于一般離子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子，因此，運(yùn)流電流主要是由電子運(yùn)動引起的，而離子的緩慢運(yùn)動可以忽略。為簡單起見，分析時只考慮電子的運(yùn)動，忽略正離子的運(yùn)動，也忽略電子與正離子和中性粒子之間的碰撞。設(shè)等離子體單位體積中的電子數(shù)目為N，電子在外電場作用下運(yùn)動的平均速度為v，電子電量為e=1.602×10－19(C)，則運(yùn)流電流密度為

J=－Nev

(6-92)

由麥克斯韋第一方程有(6-93)如果把等離子體中的運(yùn)流電流的作用等效為介電常數(shù)，則式(6-93)的右端可以表示為(6-94)式中‖ε‖是一張量，表示等離子體的等效介電常數(shù)。設(shè)在電磁波傳播方向上(+z方向)有縱向恒定磁場B0=ezB0,并忽略高頻電磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的作用(因在一般情況下，恒定磁場，例如地磁場，遠(yuǎn)大于高頻磁感應(yīng)強(qiáng)度，即|B0|>>|B|)則在電磁波的電磁場和外加恒定磁場的共同作用下，電子的運(yùn)動方程為(6-95)式中m是電子的質(zhì)量。

對于時諧場，考慮到時間因子ejωt，式(6-95)可寫為三個標(biāo)量式

(6-96)(6-97)(6-98)式中ωc=(e/m)B0，稱為回旋頻率。從式(6-96)~式(6-98)解得(6-99)(6-100)(6-101)將式(6-94)寫成分量形式，并代入式(6-99)～式(6-101)，就可以求出‖ε‖的全部分量則x分量為將式(6-99)中的vx代入得令上式兩邊Ex、Ey、Ez的系數(shù)相等得

(6-102)(6-103)(6-104)(6-105)ωp稱為等離子體的頻率。同理，可由其他兩個分量(y分量和z分量)導(dǎo)出(6-106)故等離子體的等效介電常數(shù)為(6-107)可見，當(dāng)磁場不存在時，B0=0、ωc=0，式(6-107)中對角線上各項相同，對角線外各項為零，此時等效介電常數(shù)為一標(biāo)量，可見外磁場是介電常數(shù)變?yōu)閺埩康脑?。因此等離子體(外加恒定磁場的等離子體)的特性可以用下列本構(gòu)關(guān)系表示:

D=‖ε‖·E，B=μ0H即其磁特性與真空相同，而電特性由張量介電常數(shù)‖ε‖決定，‖ε‖與頻率有關(guān)，因而磁化等離子體是色散媒質(zhì)。

2.等離子體中的平面電磁波

現(xiàn)在我們來討論等離子體中平面電磁波的傳播問題。這里，僅討論TEM波的情況，且在均勻平面電磁波的傳播方向(+z方向)有外加恒定磁場B=ezB0。

仿照以前的方法，由麥克斯韋方程

消去H，可得到電場強(qiáng)度矢量E的波動方程為

上式對應(yīng)的矩陣形式為

(6-108)設(shè)電場強(qiáng)度矢量只有Ex分量，即E=exEx(線極化波)，將這一線極化波代入波動方程并且展開得(6-109)(6-110)欲使式(6-110)成立，應(yīng)有ε21=0或Ex=0，但ε21≠0，所以只有一種可能就是Ex=0。這說明在等離子體內(nèi)沒有直線極化波的解，故E=exEx的假設(shè)不能成立。對于圓極化波是否有解呢?這里以右旋圓極化波為例進(jìn)行討論。設(shè)右旋圓極化波的電場為

E+=E+(ex－jey)e－γz將該電場代入式(6-108)有

它的x分量為利用式(6-103)～式(6-105)可解出故有(6-111)同理，假設(shè)左旋圓極化波的電場為

E－=E－(ex+jey)e－γz

可求得(6-112)左旋圓極化波的解也是成立的，左旋圓極化波也可以存在于磁化等離子體內(nèi)。從式(6-111)和式(6-112)可以看出兩個圓極化波的相速不一樣。為了與前面的符號一致，這里讓γ+=jβ+,γ－=jβ－，β+和β－分別表示右旋圓極化波和左旋圓極化波的相位常數(shù)。一個線極化波可以分解為兩個等幅的向反方向旋轉(zhuǎn)的圓極化波。在各向同性媒質(zhì)中這兩個圓極化波的電場矢量以相同的角速度旋轉(zhuǎn)。但在各向異性媒質(zhì)中，由于右旋圓極化波和左旋圓極化波的相速不同，在傳播一段距離后，合成波的極化面(合成波的E和傳播方向所構(gòu)成的平面)已不是原來的方向，如圖6-10所示，即合成波的極化面在磁化等離子體內(nèi)以傳播方向為軸不斷旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象被稱為法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。現(xiàn)說明此現(xiàn)象并求出旋轉(zhuǎn)角。圖6-10法拉第極化旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象設(shè)z=0點，電場強(qiáng)度矢量為

E=exE0ejωt

(6-113)

即電場強(qiáng)度矢量沿x軸的方向。該直線極化波可以分解成頻率、振幅相同，而旋轉(zhuǎn)方向相反的兩個圓極化波，即

式中右旋圓極化波和左旋圓極化波的相位常數(shù)分別為β+和β－。t時刻在離原點為l處電場強(qiáng)度矢量可以表示為(6-114)

比較式(6-113)和式(6-114)可見，E|z=0和E|z=l均為線極化波，但是E|z=l比E|z=0在相位上滯后(β－+β+/2)l，這時的極化方向與x軸夾角的正切為(6-115)最后指出，當(dāng)外加恒定磁場不存在時，即B0=0，回旋頻率ωc=0，這時等離子體的等效介電常數(shù)是標(biāo)量。右旋圓極化波和左旋圓極化波在等離子體中以同速度傳播，合成波為直線極化波，沒有法拉第效應(yīng)，此時電磁波的相移常數(shù)為(6-116)(6-117)εer稱為等離子體的等效相對介電常數(shù)，式中的N為電子密度。6.5.2鐵氧體中的平面電磁波

電子自轉(zhuǎn)時相當(dāng)于有沿其反自轉(zhuǎn)方向的電流流動，因而產(chǎn)生磁矩pm。若令電子動量矩為J，則它們之間的關(guān)系為(6-118)式中e為電子電荷的絕對值，m為電子質(zhì)量，γ=e/m稱為迴磁比。由式(6-118)可看出，