【八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)滬科版】練習(xí)題-15.3 等腰三角形

15.3等腰三角形專題一等腰三角形知識(shí)的應(yīng)用1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn).2.如圖,已知△ABC為等邊三角形,延長BC到D,延長BA到E,并且使AE=BD,連接CE、DE.求證:EC=ED.專題二等腰三角形操作題3.在正方形網(wǎng)格圖①、圖②中各畫一個(gè)等腰三角形．要求：每個(gè)等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為格點(diǎn)Ａ，其余頂點(diǎn)從格點(diǎn)Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中選取，并且所畫的兩個(gè)三角形不全等．圖①圖①圖②4.東風(fēng)汽車公司沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，如圖1，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車零件的成本，變廢為寶，把這些廢料加工成紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠粉碎機(jī)上的零件，銷售給紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠，這些零件的形狀都是矩形.現(xiàn)在要把如圖1所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割次數(shù)最多兩次（切割的損失忽略不計(jì)）。（1）請你設(shè)計(jì)兩種不同的切割焊接方案，并用簡要的文字加以說明；（2）若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），則該三角形應(yīng)滿足什么條件？專題三等腰三角形探究題5.下面是數(shù)學(xué)課堂上的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請回答下面的問題:學(xué)習(xí)等腰三角形后，龐老師請同學(xué)們討論這樣一個(gè)問題上：“已知等腰三角形的兩邊長分別是7㎝，8㎝，請你求出三角形的周長．”同學(xué)們經(jīng)片刻思考交流后，李剛同學(xué)舉手說“三角形的周長為22㎝”；王明同學(xué)說：“是23㎝”，還有一些同學(xué)也提出了不同的看法．．．．．．．(1)假如你也在課堂上，你的意見如何？為什么？(2)通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？(用一句話表示)6.已知△ABC為等邊三角形，在圖①中，點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N線段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點(diǎn)．（1）請猜一猜：圖①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點(diǎn)分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件不變，如圖②所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如不成立，請說明理由．參考答案1.證明:∵三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn),∴∠1＝∠ABC.又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∴∠ACB＝2∠E,即∠1＝∠E.∴BD＝BE，又DM⊥BC，垂足為M,∴M是BE的中點(diǎn).2.證法一:延長BD到F,使DF=BC,連接EF,如圖2.則BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF為等邊三角形,從而可證△BCE≌△FDE,∴EC=ED.證法二:過E作EF∥AC,交BD的延長線于F,如圖2,則△BEF為等邊三角形,以下同證法一.證法三:在AE上截取EF=BC,如圖3.則AF=CD,故AC∥DF,從而△BDF是等邊三角形,DF=BF=AE,可證△ACE≌△FED,∴EC=ED.證法四:過D作DF∥AC交AE于F點(diǎn),如圖3,以下同證法三.證法五:作EF∥BC交CA的延長線于F,如圖4.則△AEF是等邊三角形,從而可證△CEF≌△EDB,∴EC=ED.證法六:作DF∥AB交AC的延長線于F,連接EF,如圖5.則△CDF是等邊三角形,故AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,從而∠AEF=∠AFE=30O,∠DFE=30O,即EF是等腰△CFD的頂角平分線,∴EF垂直平分CD,由此得EC=ED.證法七:作EF⊥BD,垂足為F,如圖6.則∠BEF=30O,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,從而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF為CD的垂直平分線,∴有CE=ED.3.以下答案僅供參考4.方案一：如圖1（1）所示。（虛線AM’為等腰三角形ABC底邊上的高）方案二：如圖1（2）所示，（虛線為切割線，M、N為AB、AC中點(diǎn)，MP⊥BC）;（2）若要把該三角形只切割一次后焊接成正方形零件，則該三角形應(yīng)為等腰直角三角形.5.(1)該三角形的周長應(yīng)該為22cm或23cm.∵當(dāng)腰長為7cm時(shí),周長=7+7+8=22(cm);當(dāng)腰長為8cm時(shí),周長=8+8+7=23(cm);(2)考慮問題要全面.(其他符合題意的話都可以)6.（1）∠BQM=60°；（2）題的證