山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四講函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案含解析

PAGE10-第四講函數(shù)的奇偶性與周期性ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)?f(x)為偶函數(shù)；(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)?f(x)為奇函數(shù)．2．對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，最小正周期為T(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2|a|；(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2|a|；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，則T＝|a－b|.3．函數(shù)圖象的對稱關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)滿意關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；(2)若函數(shù)f(x)滿意關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(a＋b,2)，0)對稱．4．一些重要類型的奇偶函數(shù)(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為奇函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－a－x,ax＋a－x)＋eq\f(a2x－1,a2x＋1)為奇函數(shù)；(3)函數(shù)f(x)＝logaeq\f(b－x,b＋x)為奇函數(shù)；(4)函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))為奇函數(shù)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的為(BCD)A．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0B．若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱C．若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱D．2π是函數(shù)f(x)＝sinx，x∈(－∞，0)的一個(gè)周期題組二走進(jìn)教材2．(必修1P35例5改編)函數(shù)f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝eq\f(1,x)＋|x|中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是2.3．(必修1P45T6改編)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則它在[－b，－a]上是減函數(shù)；若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則它在[－b，－a]上是減函數(shù)．4．(必修4P46T10改編)已知函數(shù)f(x)滿意f(x＋3)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log3(x2＋3)，則f(2024)＝1.題組三考題再現(xiàn)5．(2024·全國卷Ⅱ，5分)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝(D)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]解法一：依題意得，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，選D．解法二：依題意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，結(jié)合選項(xiàng)知，選D．6．(2024·全國卷Ⅱ，5分)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(C)A．－50 B．0C．2 D．50[解析]解法一：∵f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選C．解法二：由題意可設(shè)f(x)＝2sin(eq\f(π,2)x)，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性考向1推斷函數(shù)的奇偶性——自主練透例1推斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0；))(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(6)已知函數(shù)f(x)對隨意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.[分析]先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域內(nèi)，解析式帶肯定值號的先化簡，計(jì)算f(－x)，再推斷f(－x)與f(x)之間的關(guān)系．抽象函數(shù)常用賦值法推斷．[解析](1)由題意得eq\f(1－x,1＋x)≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)不存在奇偶性，為非奇非偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≥0，,1－x2≥0))得x＝±1，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(3)函數(shù)的定義域x∈(－∞，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)．(4)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．(5)去掉肯定值符號，依據(jù)定義推斷．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0.))故f(x)的定義域?yàn)閇－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且有x＋2>0.從而有f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，這時(shí)有f(－x)＝eq\f(\r(1－－x2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(6)已知對隨意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，不妨取x＝0，y＝0，則有2f(0)＝2[f(0)]2，因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)＝1.取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)．又y∈R，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．名師點(diǎn)撥?推斷函數(shù)的奇偶性的方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，則馬上可推斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，再推斷f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，據(jù)此得出結(jié)論．(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對稱．(3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．(注：利用上述結(jié)論時(shí)要留意各函數(shù)的定義域)考向2函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用——多維探究角度1利用奇偶性求參數(shù)的值或取值范圍例2(1)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝(B)A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(2)已知f(x)＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2x＋1)是R上的奇函數(shù)，則f(a)的值為(A)A．eq\f(7,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)[解析](1)依題意b＝0，且2a＋(a－1)＝0，∴a＝eq\f(1,3)，則a＋b＝eq\f(1,3).(2)因?yàn)閒(x)＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2x＋1)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2)＝0，得a＝3，所以f(x)＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2x＋1).所以f(a)＝f(3)＝eq\f(3,2)－eq\f(3,9)＝eq\f(7,6).故選A．角度2函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合例3(1)若f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且x∈[0,1)時(shí)f(x)為減函數(shù)，則不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))<0的解集為(C)A．(eq\f(1,4)，＋∞) B．(－1，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，1) D．(eq\f(1,2)，1)(2)(2024·新疆烏魯木齊診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿意f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范圍是(A)A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)) B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))[解析](1)由已知得f(x)在(－1,1)上為遞減，∵f(x)＋f(x－eq\f(1,2))<0，∴f(x－eq\f(1,2))<f(－x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)>－x，,－1<x－\f(1,2)<1,－1<－x<1))解得eq\f(1,4)<x<1，故選C．(2)由y＝f(x)圖象知，x離y軸越近，函數(shù)值越小，因此，|2x－1|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，故選A．角度3函數(shù)奇偶性與周期性結(jié)合例4已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，當(dāng)1<x≤3時(shí)，f(x)＝coseq\f(πx,3)，則f(2020)＝－eq\f(1,2).[分析]先由已知條件求出函數(shù)的周期，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，把f(2020)轉(zhuǎn)化為f(4)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為f(2)，把x＝2代入即可．[解析]由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－eq\f(1,fx＋3)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為6，∴f(2020)＝f(6×336＋4)＝f(4)．∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，則f(4)＝f(1＋3)＝－eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,f－1)＝f(2)＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，∴f(2020)＝－eq\f(1,2).角度4單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合例5已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－4)＝－f(x)且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(D)A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)[分析]eq\x(\a\al(由fx在定義域R上滿意fx－4＝,－fx))→eq\x(得fx－8＝fx，可知fx是以8為周期的周期函數(shù))→eq\x(結(jié)合fx的奇偶性和單調(diào)性，即可得出選項(xiàng))[解析]因?yàn)閒(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿意f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．名師點(diǎn)撥?函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略1．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．留意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．2．周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．3．周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2024·北京，13,5分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝－1.(2)(角度2)(2024·廣東省廣州市高三測試，9)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則x·[f(x)－f(－x)]<0的解集為(D)A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}(3)(角度3)(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，則f(eq\f(4039,2))＝(D)A．eq\f(9,4) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(9,4) D．－eq\f(1,4)(4)(角度4)(2024·湖北、山東部分重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考，8)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)為偶函數(shù)，若f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是(B)A．f(－4.5)<f(3.5)<f(12.5)B．f(3.5)<f(－4.5)<f(12.5)C．f(12.5)<f(3.5)<f(－4.5)D．f(3.5)<f(12.5)<f(－4.5)[解析](1)∵f(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0，即e－x＋aex＋ex＋ae－x＝0，∴(a＋1)(ex＋e－x)＝0，∴a＝－1.(2)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以x·[f(x)－f(－x)]<0等價(jià)于2x·f(x)<0，由題設(shè)知f(x)在R上是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又f(－3)＝0，所以f(3)＝0，且f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，即f(x)在(－∞，－3)上小于零，在(－3，0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零．又x·[f(x)－f(－x)]<0，所以x與f(x)的符號相反，由x>0可得x∈(0,3)；由x<0可得x∈(－3,0)，所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3<x<0或0<x<3}，故選D．(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)－f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，所以f(eq\f(4039,2))＝f(2020－eq\f(1,2))＝f(－eq\f(1,2))＝－f(eq\f(1,2))．因?yàn)樵赱0,1]上有f(x)＝x2，所以f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，故f(2019eq\f(1,2))＝－eq\f(1,4)，故選D．(4)易知函數(shù)f(x)的最小正周期T＝6，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5)．又f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，∴f(3,5)<f(－4.5)<f(12.5)，故選B．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性——自主練透例6(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(2)＝2－eq\r(3)，且對隨意的x都有f(x＋2)＝eq\f(1,－fx)，則f(2022)＝2－eq\r(3).(2)已知定義在R上周期為3的奇函數(shù)f(x)，則f(1.5)＝0.(3)設(shè)f(x)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x(1－x)，當(dāng)－4≤x≤－3時(shí)，f(x)＝－2(x＋4)(x＋3)，當(dāng)2019<x<2020時(shí)，f(x)＝2×(2_020－x)(x－2_019).[解析](1)f(x)＝－eq\f(1,fx＋2)＝f(x＋4)，∴y＝f(x)的周期T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2－eq\r(3).(2)f(1.5)＝－f(－1.5)＝－f(－1.5＋3)＝－f(1.5)，∴f(1.5)＝0.(3)設(shè)－4≤x≤－2，f(x)＝f(x＋4)＝2(x＋4)[1－(x＋4)]＝－2(x＋4)(x＋3)，設(shè)2024<x<2020，f(x)＝f(x－2020)＝f(2020－x)＝2×(2020－x)(x－2019)．名師點(diǎn)撥?利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升函數(shù)三大性質(zhì)的綜合應(yīng)用例7已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于隨意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，給出下列命題：①直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；②函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)；③函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個(gè)零點(diǎn)．其中全部正確命題的序號為①③.[解析]①對于隨意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，則f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期為6，又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期為6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸，故①正確．②當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－