山東專用2025版高考數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第九講離散型隨機變量的均值與方差正態(tài)分布學案含解析

PAGE16-第九講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測學問梳理學問點一離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.(1)均值：稱E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．(2)方差：稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的__標準差__.學問點二均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__.(2)D(aX＋b)＝__a2D(X)__.*(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.學問點三兩點分布與二項分布的期望與方差(1)若X聽從兩點分布，則E(X)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__.學問點四正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up7(\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)．我們稱函數(shù)f(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，期望為μ、標準差為σ的正態(tài)分布通常記作__X～N(μ，σ2)__.(2)正態(tài)曲線的性質：①曲線位于x軸__上方__，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線__x＝μ__對稱；③曲線在__x＝μ__處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為__1__；⑤當σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿著x軸平移；⑥當μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越__集中__；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越__分散__.(3)正態(tài)總體在三個特別區(qū)間內取值的概率值：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__0.682_6__；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__0.954_4__；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要結論計算均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差和標準差，可干脆用定義或公式求；(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標準差，可干脆用均值及方差的性質求；(3)如能分析所給隨機變量聽從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，則可干脆利用它們的均值、方差公式來求．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結論中正確的是(ABC)A．隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定B．隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小C．正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差D．若X～N(0,1)，則P(x<－eq\f(1,2))<P(x≥eq\f(1,2))題組二走進教材2．(P68A組T1)已知XX－101Peq\f(1,2)meq\f(1,6)設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(A)A．eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1[解析]E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).3．(P75B組T2改編)設隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，則實數(shù)a等于(B)A．7 B．6C．5 D．4[解析]由題意知eq\f(a－5＋a＋1,2)＝4，∴a＝6.題組三考題再現(xiàn)4．(2024·南通模擬)已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.1587，則P(2<X<4)＝(A)A．0.6826 B．0.3413C．0.4603 D．0.9207[解析]∵隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，∴正態(tài)曲線的對稱軸是直線x＝3，∵P(X≥4)＝0.1587，∴P(2<X<4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.3174＝0.6826.故選A．5．(2024·全國Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝__1.96__.[解析]由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×0.98＝1.96.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一離散型隨機變量的均值與方差的概念與性質——自主練透例1(1)(2024·課標Ⅲ，8)某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(B)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3(2)(2024·甘肅蘭州一中月考)從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(B)A．eq\f(8,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,5)(3)(2024·浙江卷，7)設0<a<1.隨機變量X的分布列是X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當a在(0,1)內增大時，(D)A．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大[解析](1)由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)<P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4?(1－p)2<p2?p>0.5，∴p＝0.6，故選B．(2)由題意知，X～B(5，eq\f(3,m＋3))，∴E(X)＝5×eq\f(3,m＋3)＝3，解得m＝2，∴X～B(5，eq\f(3,5))，∴D(X)＝5×eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(6,5).故選B．(3)隨機變量X的期望E(X)＝0×eq\f(1,3)＋a×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(a＋1,3)，D(X)＝[(0－eq\f(a＋1,3))2＋(a－eq\f(a＋1,3))2＋(1－eq\f(a＋1,3))2]×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)(a2－a＋1)＝eq\f(2,9)(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,6)，當a∈(0，eq\f(1,2))時，D(X)單調遞減，當x∈(eq\f(1,2)，1)時，D(X)單調遞增，故選D．名師點撥?若X是隨機變量，則Y＝f(X)一般仍是隨機變量，在求Y的期望和方差時，嫻熟應用期望和方差的性質，可以避開再求Y的分布列帶來的煩瑣運算．〔變式訓練1〕(2024·遼寧省丹東質量測試)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.85，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望E(X)＝__300__.[解析]設沒有發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則有X＝2Y，由題意可知Y聽從二項分布，即Y～B(1000,0.15)，E(Y)＝1000×0.15＝150，E(X)＝2E(Y)＝300.考點二求離散型隨機變量的均值與方差——多維探究角度1二項分布的均值、方差問題例2(2024·沈陽模擬)某新建公司規(guī)定，聘請的職工須參與不小于80小時的某種技能培訓才能上班．公司人事部門在聘請的職工中隨機抽取200名參與這種技能培訓的數(shù)據(jù)，按時間段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](單位：小時)進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求抽取的200名職工中，參與這種技能培訓時間不少于90小時的人數(shù)，并估計從聘請職工中隨意選取一人，其參與這種技能培訓時間不少于90小時的概率；(2)從聘請職工(人數(shù)許多)中隨意選取3人，記X為這3名職工中參與這種技能培訓時間不少于90小時的人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望E(X)和方差D(X)．[解析](1)依題意，培訓時間在[90,95)小時的人數(shù)為200×0.06×5＝60，在[95,100)小時的人數(shù)為200×0.02×5＝20，故滿意題意職工人數(shù)為80人，所求概率估計為P＝eq\f(60＋20,200)＝eq\f(2,5).(2)依題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125)，則隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∵X～B(3，eq\f(2,5))，∴E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25).角度2非二項分布的均值、方差問題例3(2024·青島一模)為迎接2024年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動，該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．[解析](1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為(1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，(1－eq\f(1,6)－eq\f(2,3))＝eq\f(1,6).兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)設甲、乙所付費用之和為ξ，ξ的可能取值為0,40,80,120,160，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.D(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).名師點撥?(1)求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟①理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部取值；②求ξ取每個值的概率；③寫出ξ的分布列；④由均值的定義求E(ξ)；⑤由方差的定義求D(ξ)．(2)二項分布的期望與方差假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計算量．〔變式訓練2〕(1)(角度2)(2024·包頭模擬)廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取肯定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以確定是否接收這批產(chǎn)品．①若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中隨意取出4件進行檢驗，求至少有1件是合格品的概率；②若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定商家從這20件產(chǎn)品中任取2件，進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ)，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．(2)(角度1)(2024·甘肅天水一中模擬)某商場實行有獎促銷活動，顧客購買肯定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．①求顧客抽獎1次能獲獎的概率；②若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．[解析](1)①記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事務A，用對立事務eq\x\to(A)來算，有P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.24＝0.9984.②ξ可能的取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,17),C\o\al(2,20))＝eq\f(68,95)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,17),C\o\al(2,20))＝eq\f(51,190)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,20))＝eq\f(3,190)，故ξ的分布列為ξ012Peq\f(68,95)eq\f(51,190)eq\f(3,190)E(ξ)＝0×eq\f(68,95)＋1×eq\f(51,190)＋2×eq\f(3,190)＝eq\f(3,10).記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事務B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率P＝1－P(B)＝1－eq\f(68,95)＝eq\f(27,95).所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為eq\f(27,95).(2)①記事務A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}，A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}，B1＝{顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}．因為P(A1)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(B2)＝P(A1eq\x\to(A2)＋eq\x\to(A1)A2)＝P(A1eq\x\to(A2))＋P(eq\x\to(A1)A2)＝P(A1)P(eq\x\to(A2))＋P(eq\x\to(A1))P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]·P(A2)＝eq\f(2,5)×(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(2,5))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).②顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為eq\f(1,5)，所以X～B(3，eq\f(1,5))．于是P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(4,5))3＝eq\f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,5))1(eq\f(4,5))2＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,5))2(eq\f(4,5))1＝eq\f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,5))3＝eq\f(1,125).故X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)X的數(shù)學期望為E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).考點三均值與方差在決策中的應用——師生共研例4(2024·廣東揭陽模擬)某地政府擬在該地一水庫上建立一座水電站，用泄流水量發(fā)電，下圖是依據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量K(單位：萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X∈[0,120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計．(1)請把頻率分布直方圖補充完整；(2)該水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能都運行，但每30萬立方米的日泄流量才夠運行一臺發(fā)電機，如60≤X<90時才夠運行兩臺發(fā)電機，若運行一臺發(fā)電機，每天可獲利潤為4000元；若不運行，則該臺發(fā)電機每天虧損500元，以各段的頻率作為相應段的概率，以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù)，問：為使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝多少臺發(fā)電機？[解析](1)在區(qū)間[30,60)的頻率為eq\f(156,364)＝eq\f(3,7)，eq\f(頻率,組距)＝eq\f(3,7×30)＝eq\f(1,70).設在區(qū)間[0,30)上，eq\f(頻率,組距)＝a，則(a＋eq\f(1,70)＋eq\f(1,105)＋eq\f(1,210))×30＝1，解得a＝eq\f(1,210).補充完整的頻率分布直方圖如圖所示．(2)記水電站日利潤為Y元．由(1)知，無法運行發(fā)電機的概率為eq\f(1,7)，恰好運行一臺發(fā)電機的概率為eq\f(3,7)，恰好運行兩臺發(fā)電機的概率為eq\f(2,7)，恰好運行三臺發(fā)電機的概率為eq\f(1,7).①若安裝一臺發(fā)電機，則Y的全部可能取值為－500，4000，其分布列為Y－5004000Peq\f(1,7)eq\f(6,7)E(Y)＝－500×eq\f(1,7)＋4000×eq\f(6,7)＝eq\f(23500,7).②若安裝兩臺發(fā)電機，則Y的全部可能取值為－1000，3500，8000，其分布列為Y－100035008000Peq\f(1,7)eq\f(3,7)eq\f(3,7)E(Y)＝－1000×eq\f(1,7)＋3500×eq\f(3,7)＋8000×eq\f(3,7)＝eq\f(33500,7).③若安裝三臺發(fā)電機，則Y的全部可能取值為－1500，3000，7500,12000，其分布列為Y－15003000750012000Peq\f(1,7)eq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)E(Y)＝－1500×eq\f(1,7)＋3000×eq\f(3,7)＋7500×eq\f(2,7)＋12000×eq\f(1,7)＝eq\f(34500,7).因為eq\f(34500,7)>eq\f(33500,7)>eq\f(23500,7).所以要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝三臺發(fā)電機．名師點撥?利用均值與方差解決實際問題的方法(1)對實際問題進行詳細分析，將實際問題轉化為數(shù)學問題，并將問題中的隨機變量設出來．(2)依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的詳細事務，求出其相應的概率．(3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應的期望與方差值．(4)依據(jù)期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的說明．〔變式訓練3〕(2024·廣東化州模擬)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行嘉獎，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額．(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：①顧客所獲的嘉獎額為60元的概率；②顧客所獲的嘉獎額的分布列及數(shù)學期望；(2)商場對嘉獎總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的嘉獎額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．[解析](1)設顧客所獲的嘉獎額為X(單位：元)．①依題意，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎額為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，X的全部可能取值為20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，故X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的嘉獎額的數(shù)學期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(2)依據(jù)商場的預算，每位顧客的平均嘉獎額為eq\f(60000,1000)＝60(元)，所以先找尋數(shù)學期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的狀況，假如選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以數(shù)學期望不行能為60元；假如選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數(shù)學期望也不行能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的狀況，同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設顧客所獲的嘉獎額為X1(單位：元)，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)所以X1的數(shù)學期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60(元)，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3)(元)．對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設顧客所獲的嘉獎額為X2(單位：元)，則同理可求得E(X2)＝60(元)，D(X2)＝eq\f(400,3)(元)，由于兩種方案的嘉獎額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2的嘉獎額的方差比方案1的小，顧客所獲的嘉獎額相對均衡，所以應當選擇方案2.考點四正態(tài)分布——自主練透例5(1)(2024·四川遂寧一診)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)＝(B)A．0.3 B．0.35C．0.5 D．0.7(2)(2024·山東新高考質量測評聯(lián)盟聯(lián)考)在2024年中學學生信息技術測試中，經(jīng)統(tǒng)計，某校高二學生的測試成果X～N(86，σ2)，若已知P(80<X≤86)＝0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成果大于92分的概率為(D)A．0.86 B．0.64C．0.36 D．0.14[解析](1)由P(ξ<2)＝P(ξ>6)知，μ＝4，∴P(2≤ξ<4)＝0.5－P(ξ<2)＝0.5－0.15＝0.35.故選B．(2)由題意P(86<x≤92)＝P(80<x≤86)＝0.36，∴P(X>92)＝0.5－0.36＝0.14，故選D．[引申]本例(2)中若有1000名學生參與測試，則測試成果在80分以上的人數(shù)為__860__.[解析]1000×P(X>80)＝1000×[1－(0.5－0.36)]＝860.〔變式訓練4〕(1)(2024·山東濰坊期末)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<4)＝0.9，則P(－2<ξ<1)＝(C)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6(2)(2024·云南昆明質檢)某市一次高三年級數(shù)學統(tǒng)測，經(jīng)抽樣分析，成果X近似聽從正態(tài)分布N(84，σ2)，且P(78<X≤84)＝0.3，該市某校有400人參與此次統(tǒng)測，估計該校數(shù)學成果不低于90分的人數(shù)為(B)A．60 B．80C．100 D．120[解析](1)由P(ξ<4)＝0.9，得P(ξ≥4)＝0.1.又正態(tài)曲線關于x＝1對稱．則P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.1，所以P(－2<ξ<1)＝eq\f(1－Pξ≤－2－Pξ≥4,2)＝0.4.故選C．(2)由題意知P(X≥90)＝P(x≤78)＝0.5－P(78<x≤84)＝0.5－0.3＝0.2.∵0.2×400＝80，∴選B．名師點撥?關于正態(tài)總體在某個區(qū)間內取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升正態(tài)分布的實際應用問題例6(2024·廣西柳州鐵路一中、玉林一中聯(lián)考)從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標，由檢測結果得如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這1000件產(chǎn)品質量指標的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品(質量指標值Z∈(175.6,224.4))的定價為16元；若為次品(質量指標值Z?(175.6,224.4))，除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元，若該公司賣出100件這種產(chǎn)品，記Y表示這些產(chǎn)品的利潤，求E(Y)．附：eq\r(150)≈12.2，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.[解析](1)由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150.即樣本平均數(shù)為200，樣本方差為150.(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝eq\r(150)≈12.2，∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6<Z<224.4)＝P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95②設X表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，題意得X～B(100,0.95)，∴E(X)＝95，∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.名師點撥?解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特別區(qū)間，從而求出所求概率〔變式訓練4〕(2024·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi＝9.97，s＝eq